第一节 受聘联大返回祖国
“千秋耻，终当雪；中兴业，须人杰……多难殷忧兴国运，动心忍性希前哲”
——《国立西南联合大学校歌》
王竹溪虽身在英伦，却心系华夏，和国内的师长与亲友保持着密切的联系。那时还没有互联网，没有电子邮件，只有少数人拥有电话，越洋电话还是十分昂贵的消费，王竹溪靠传统的纸媒书信与国内联系，通过报纸获取国内的信息。他的母校清华大学也一直关注着自己在海外留学的毕业生。
1937年“卢沟桥事变”后，日寇大举入侵中国，北京大学、清华大学、南开大学先迁至湖南长沙，组成长沙临时大学，同年10月25日开学；1938年4月又西迁至昆明，改称国立西南联合大学，5月4日开始上课，设立文、理、法商、工、师范5个院26个系，有两个专修科和一个选修班。北大、清华、南开原均为著名的高等学府，它们有各自独特的经历，有各自的教学作风，组成联大以后，汇集了一批著名的专家、学者、教授，师资充实，人才济济。他们在极其艰苦的条件下，坚持严谨的治学态度，树立优良学风，是当时中国规模最大的著名高等学府。
1938年7月，王竹溪获得剑桥大学哲学博士学位。清华大学立即寄给他聘书，请他担任西南联大清华大学物理系教授。
拿到剑桥的博士，王竹溪即启程回国。他乘坐海轮途经地中海和苏伊士运河，在新加坡短暂停留，拜访蔡星洲、蔡五常兄弟之后，就取道安南（今越南），转乘法国人修建的窄轨滇越铁路火车来到祖国的西南城市昆明。
这一年，与王竹溪同在英伦留学的华罗庚和钱钟书也受聘回到清华任教。华罗庚在剑桥的身份是进修访问学者，并没有修学位。鉴于他的学术水平和才华，国内不少大学都争相聘请。当时，清华大学数学系主任杨武之聘华罗庚为正教授。
钱钟书于1935年考取“中英庚款”，到英国牛津大学埃克赛特学院（Exeter College）英文系留学。两年后他以《十七、十八世纪英国文学中的中国》一文获得学位，随即转赴法国巴黎大学做研究。他于1938年回国，被清华聘为外国语文系教授。
当时清华文学院院长冯友兰在给校长梅贻琦的一封信中，说到了聘请王竹溪、华罗庚和钱钟书的事：
钱钟书来以航空信，言可到清华，但其于9月半方可离发，又须先到上海，故要求准其于年底来校。经与公超、福田商酌，拟请其于十一月底来或下半年第二学期来，弟嘱其开在国外学历。此航空信说已有一信来，但尚未接到。弟意或可即将聘书寄去，因其别处约钱者有外交部、中山文化馆之《天下月刊》及上海西童公学，我方须将待遇条件先确定与说。弟意名义可与教授，月薪三百。不知近聘王竹溪、华罗庚条件如何，钱之待遇不减于此二人方好……
值得一提的是，这篇文章说王竹溪“归国时无博士头衔而直接聘为教授者”，事实不是这样。一个人名气越大，关于他的故事与传闻也就越多，其中难免会有一些演绎、夸大甚至臆想、虚构的失实成分。
一所学校之优劣就看主讲教师水准之高下。延聘良师任教，历来是主持校政者的主要任务。就像叶企孙创建清华理学院时聘请研究有成的萨本栋、吴有训、周培源一样，联大时期的清华陆续聘到王竹溪、华罗庚、钱钟书等，形成清华新的一代教授精英团队。
梅贻琦在西南联大时曾作过《大学一议》的演讲。他说：“所谓大学者，非谓有大楼之谓也，有大师之谓也。”西南联大虽然校舍多是茅草顶土坯墙，像是贫民窟，却大师云集，群贤毕至。尽管没有大楼，但有了大师，再加上当时的时势，西南联大就成了名垂青史的一代名校。
第二节 伉俪情深共渡难关
早在1933年7月，正在清华大学研究院继续攻读的王竹溪，即与公安县女子涂福玉结为伉俪。此后的半个世纪，二人相濡以沫，同舟共济，相伴终生。作为王竹溪学业、事业、生活的贤内助，历史赋予了她不朽的篇章。涂福玉的父亲涂平阶与王竹溪的父亲是同窗好友，二人志趣相投，且门第相当。涂家住在长江边上的青吉泓，与王家相距20里，经常你来我往。王竹溪10岁时，学业出众，引人注目，涂家二姑娘圆（爱称圆姑）将近11岁，眉清目秀，乖巧伶俐。王才俊早就看在心里。一次，王才俊到涂平阶家去，二人谈话兴趣正浓，便开口讲出意结亲家的意愿，涂平阶早对竹溪喜爱不已，听王才俊一说，正中下怀。儿女亲事就这样定下了，二人都饱读儒家之书，认为儿女婚事应听父母之命，这是天经地义的。于是，王涂二家择定良辰吉日，男家送礼，女家发“八字”，正式结为亲家，此后来往更加密切。王竹溪出门求学，一心专注学业，父亲给他写信谈到订婚的事，他没有表明态度，算是默认了这件事。初中毕业后，王竹溪到涂家去过，男女双方都满意。
此时，行将出国留洋的王竹溪正22岁，风华正茂，一表人才。涂圆从私塾读到小学，品貌佳丽，知书达理，还学得一手挑花秀朵的好手艺，此时已届23岁。俗话说：“男大当婚，女大当嫁。”双方父母都在为儿女的婚事筹划着，看到时下潮流日新，社会上提倡文明结婚，年轻人思想行为不断变化，双方家长更为担心。因此，王竹溪父亲数次写信到北平，劝王竹溪乘学校暑假时期，回家结婚。王竹溪在父亲的再三催促下，向学校老师请了一个礼拜的假，回乡探亲。
王竹溪回到家中的第二天，就由继母聂氏和二姐治静，请了媒人徐幼成一起来到青吉泓涂家台，与涂平阶夫妇商量竹溪和圆的婚事。二姐治静还特别告知竹溪这次回来结婚只有一个礼拜的假期，双方定了日期，并商量婚事从简办理。
洞房花烛之夜，竹溪开口道：“圆这个名字不雅，我给你按排行取名‘福玉’好不好？”圆笑眯眯地点头表示同意。从此，涂圆就改名为“涂福玉”了。
在洞房里，新郎还给新娘写了毛笔大字做引本，让她练习写大字，新娘含笑，提笔照引本写了几个大字。
新婚刚刚几天，新郎就要回学校了，这是多么难舍难分的时刻！福玉是个善解人意的女子，对丈夫的求学上进给予全力支持，一点儿也不为儿女之情所纠缠。王竹溪回到清华大学继续求学，接着，到英国剑桥大学求学，获得博士学位。福玉留在家里从事劳动和家务。岂料这一别竟分离了2200多个日日夜夜。
福玉时刻惦念身在异国的丈夫。公安有句俗语：“新来的媳妇不上算，娘屋里住多半。”因丈夫常年在国外，福玉新到婆家，不大习惯，许多知心话只好回娘家向母亲倾吐，并不时从父母口中听到一些外面的消息和丈夫的情况。
1938年夏季的一天，涂平阶老人从亲家王才俊家回来，心情格外激动，一踏进屋，就迫不及待地告诉老伴傅氏：“你的女婿在剑桥大学毕业了，还获得了和过去状元一样值钱的博士学位，西南联合大学已聘请他当教授，不久即将回国。”
涂福玉在一旁听到这一特大喜讯，真是心花怒放。这一夜，她久久不能入睡，思绪万千，回忆起他俩结婚拜堂和洞房中竹溪初次教她习文练字的情景，憧憬着不久将要夫妻团聚的美好生活。
1939年秋，王才俊老人收到王竹溪从昆明寄来的一封信，信中除了向父母问好外，还报告了学校教学和研究的情况，并说明因工作繁忙不能回家拜望父母。随信还寄回200吊钱给父母支用。竹溪在给父母的信中还夹有给妻子福玉的一封信，言明不能回家接她上昆明，她到王家来，将来日子还是好过的；如果要离婚，就不要再找读书人，找个商人，不要犹豫，免误她青春。
福玉当时住在娘家，拿到这一封信，似懂非懂，急忙去找住在青吉泓的二姐王治静。
二姐治静深知弟弟竹溪的品性，也了解福玉结婚后一直和娘家人同住的情况，看信后笑着对福玉说：“竹溪一心钻在学问上，绝不会有什么二心。”姑嫂俩说到上昆明的事，因路途遥远，二姐犹豫起来。福玉念头已定，决心上昆明。
那是战争年代，整个国家处于动荡和离乱之中。抗战初期，1937年12月，南京沦陷，中央政府临时迁到武汉；1938年10月，广州、武汉又相继失守，中央政府再迁到重庆。当时，昆明地处云贵高原，有群山环抱的天然屏障，尚属大后方。滇越铁路曾经是国际援华物资赖以运抵中国后方的唯一补给线。后来，1940年9月，日军在越南海防登陆，越南、法国屈服，云南暴露在日军枪口之下，日军欲断中国补给，封闭了滇越铁路。中国只能依靠那时先后开通的滇缅公路和“驼峰航线”与外界联络，而为了阻止日军进得云南，曾拆除中国境内的滇越铁路南段。滇越与滇缅边境均成为战火纷飞的前线，云南也不再是安全的后方，中央政府有再迁往兰州之议，1940年9月，西南联大也接到过“急迁四川”的电令，后来均未实行。为了应对战局的变化，一切均处于随时准备改变的状态中。
国难当头，许多人家破人亡，流离失所。王竹溪在这种状态下的个人生活也是居无定所，凡事因陋从简。
由于路途遥远，耗时需数月，王竹溪回国后一直未能返乡。他的妻子福玉在家乡筹措好旅费后，于1939年冬天动身起程，从公安县斗湖堤乘轮船到沙市，换船溯江而上，过三峡，入川到重庆，再换乘汽车入黔，经贵阳，过安顺，入滇到沾益，最后于1940年1月10日抵达昆明，那时已是深冬时节。当时，川、滇两省无铁路，从昆明到沾益的铁路尚未修通，车次并非天天都有，沿途还有强盗出没；从重庆到贵阳和从贵阳到昆明，汽车在云贵高原上翻山越岭，盘山道在崇山峻岭之间上下盘行，往往一天只能翻越一座大山，一路历尽艰辛，险阻无数，曾有军队高级将领在从昆明去重庆述职途中翻车葬身深谷。对那个年代从未出过远门的一位农村女子来说，只身上路，白天车上颠簸，夜晚投宿客栈，经常会有旅途劳顿、惊心动魄和途中等候而度日如年的情况，这无疑需要极大的决心、毅力、胆识和勇气。
到达昆明后，涂福玉几经打听，才得知西南联大的地址所在，通过询问门房，获悉王竹溪正在上课。王竹溪接到通知时，有些疑惑，毕竟与妻子分别了2200多天，在他的心目中，夫妻二人有一种陌生感。
但毕竟是家乡人，他叫上同在联大工作的二哥铭西，与福玉会面。当福玉看到一个头发往后梳、戴着眼镜的英俊青年站在自己面前时，她惊喜交集，这不就是自己日夜思念的丈夫竹溪吗？但她很快控制住了自己。于竹溪而言，面前的妻子比以前显得更美丽、成熟和稳重了，显得更加知书达理了，但他还是有陌生感。见此情景，福玉建议二人去见二哥，其实，二哥就在眼前。通过福玉与二哥的互相认知，竹溪这才明白眼前的俏丽女子就是妻子福玉。当时由二哥做东，到附近餐馆请弟媳二人进餐，为福玉接风洗尘。
昆明是一座山城，城中心是五华山，城北是螺峰山。因为螺峰山的南坡有圆通寺，所以螺峰山又称圆通山。五华山西面是翠湖，翠湖北面的山坡上是云南大学，西南联大就在云南大学的西北面。文化巷原名荨麻巷，位于翠湖北面，距离云大和联大不远，是联大有家眷的教师集中居住的几个宿舍区之一，数学系的杨武之，物理系的赵忠尧、霍秉权，化学系的刘云浦等教授均在这里住过。结婚六年半之后，王竹溪与涂福玉终于在这里有了自己的家。
以下是吴宓在日记中描述的他曾于1942年住过的北门街98号13室。
新居之室，为长条形，两隔多隙之板壁，为俗人夫妇，吸食鸦片，鼾谈并作。北窗（仅此一窗）外广场，粪土堆积，为一马店（该马店即在本宿舍之南邻，故宿舍内外恒有马粪气味。若马店之南邻，则为一公共厕所）之外厩。入夜，马曳板车二十余辆各归，卸至广场中，马既入外厩列槽而食。天将晓，车夫起，各各喂马套车，并修理车件之坏缺者，一一驱车出，为人运客货运。而车店主人，则戴皮冠，着皮衣，持鞭，列众车夫中督催挥斥。晨8：00后，车尽出。正午，有归休者，夕乃悉返此。白昼，则广场中又有做木工与磨舂米者，终日喧闹。以北窗外临土坡，甚低进，虑盗入，故每外出或就寝，必严闭木板窗，而纸糊多破，风扬沙土入室，蝇先时多集[其不洁，易致病，可想见……]。且今日半阴晴，风大，风力猛时，吹破玻璃，窗内开。[以绳子束之，风吹绳断]，书屋翻到，宓大苦之。
其中，方括号内的文字是吴宓的行内注。北门街在圆通街西侧山坡上，在联大东面不远，这是联大教授的一处宿舍，从中可以看出教授居住的一般情形。
联大后来改变做法，不再统一租宿舍给教职员住，而是发给房贴，让个人自租民房。为躲避日军之侵袭与轰炸，王竹溪搬出文化巷，租农民的房子，住在城外郊区。王竹溪与涂福玉在昆明安家不久，他们的第一个孩子出生了，这是一个男孩，王竹溪按排行给儿子取名世钊，小世钊后来不幸染上痢疾，不满一周岁即夭亡。1942年大女儿世铉出生，1944年二女儿世珍出生。抗战胜利后，西南联大撤销，清华回北平复校，世铉在从昆明返回北平途中染疾，在上海离开了人间。
当时，联大条件非常艰苦，为躲避日寇飞机轰炸，学校设在大西门外，校舍分散、简陋。夏天，教室如灯笼；冬天，寒风穿堂入室；雨天，铁皮屋叮咚作响，教师讲课需要用很大的声音方可，真可谓“风声雨声读书声声声入耳”。没有课桌，用大腿当课桌；一遇大雨，油布、脸盆、雨伞全用上。教授、学生很多均穿着补丁衣服，学生大多来自战区，只能以少许贷金度日，吃的是沙石俱全的“八宝饭”，有时连盐都吃不上。同学们只好找勤工俭学的门路，课余兼做中小学教员、家庭教师、报社编辑，还有的当电工、油漆工、邮差、售票员、广告员、卖报郎等。
当时，联大教师的供应补给非常困难，每月为了几十斤大米均需进城领取，然后背回家。
在如此艰难困苦的条件下，王竹溪安之若素。除完成物理系的教学任务外，还到工学院任课，工作相当繁重，但他仍然坚持科学研究，完成热力学、统计物理学等多方面的学术论文，在《中国物理学报》和国内外其他科学刊物上发表。
第三节 授业联大贡献卓越
联大物理系的课程分本科和研究生两大类，王竹溪到校后，为本科讲授“普通物理”、“热学”和“微子论”。其中，“普通物理”不仅为本系学生讲授，也为工学院等外系学生讲授。此为物理学最重要的基础课，讲授这门课的还有吴有训、赵忠尧、郑华炽、张文裕、马仕俊、徐浈阳，其中徐浈阳是师范学院此系的教授。“热学”是与“普通物理”分开的一门单独的课程，郑华炽和叶企孙也讲授这门课。“微子论”也就是气体分子运动论，讲授这门课的还有叶企孙和马仕俊。当时物理系的本科课程，除了上述三门外，还有“力学”、“电磁学”、“光学”、“无线电学”、“近代物理”、“实用无线电”、“应用电学”、“物理学”、“普通天文学”、“天文物理学”、“声学”、“大气物理学”及普通物理示教表演，分别由其他教授主讲。
从以下这段黄祖洽的回忆，可以看出王竹溪授课与学生相处的点滴。
理论力学第一学期由赵忠尧教授主讲，他出的习题有时较难，需分析方能做出。李政道在这方面比我强，他告诉我，他曾做过许多理论力学的难题，而且总是自己去想，做出来后再对答案，所以得到比较多的锻炼。第二学期的理论力学课，由于赵先生准备出国，改为王先生主讲。王先生于1935年赴英国剑桥大学师从Fowler演习统计物理，1938年获得博士学位后任西南联大物理系教授，当时年方27岁，是联大最年轻的教授之一。王先生治学严谨，上课时讲述清楚，板书工整。他讲理论力学的后半部分，包括刚体运动和分析力学，要求有偏微分方程和变分法的数学基础，他建议同学们学习Goursat编著的一套三本关于数学分析的书。当时听高班同学说，王先生曾亲自做过这本书上的习题，大家都觉得很了不起。
这学期，课后向王先生请教的问题越来越多。期末，在和他讨论到非完整系统的力学方程时，他建议我看Appell的法文原著。当得知我选修的第二外语是德语而不是法语时，他告诉我法语并不难学，于是借了一本《Complete French Grammar》给我，并且教了我法文字母的读音和拼法，建议我利用暑假自学法语。恰好，为准备复员迁校，5月4日学校就提前结业，暑假开始得早。我自己无法先行离校去北平，只能留校等待学校组织集体搬迁，留校的这段时间可以用来自学法语。自学了一段时间以后发现，有了英语的基础再学法语是比较容易的，经过两个月左右的努力，自学了《Complete French Grammar》一书，等迁校到北平清华大学复课后，果然已经能借助于字典看懂简单的法文教科书。
黄祖洽在1948年毕业后，先后跟随钱三强和彭桓武做研究生。研究生毕业后，他在原子能研究所和核武器研究所工作，对反应堆理论和氢弹理论均有重要贡献，成为我国著名的理论物理学家和核科学家，1980年到北京师范大学任低能核物理研究所所长，同年当选为中国科学院学部委员。
经教育部批准设立，西南联大的研究院于1939年开始招生，三校研究院分开管理各自招生，但课程统一开设。王竹溪为研究院讲授“统计力学”、“量子力学”、“动力学”三门课。其中，讲“量子力学”这门课的还有马仕俊。除了这三门课，研究生的课程还有周培源的“流体力学”、“广义相对论”，马仕俊的“理论物理”、“原子核、场论”，吴大猷的“物理学基础”、“高等力学”、“量子力学与原子光谱”、“量子化学”，吴有训的“X射线及电子”，饶毓泰的“光之电磁理论”及张文裕与霍秉权的“放射性与原子核物理”。
按照费曼的说法，物理学是当代真正文化的主体。讲授物理学，也就是传播当代的文化与文明。本科的基础课，特别是“普通物理”，对学生物理观念的形成、物理直觉的培养及物理思维与技能的训练，都是奠基性的，这关系到学生总的物理基础与责任，所以均是请物理学功底深厚、学识渊博的教授主讲；而研究院的课，特别是“量子力学”和“统计力学”这一类基础课，在当时都是紧贴物理学研究前沿的课程，就要请正在前沿工作、训练有素、运用娴熟的专家高手来讲授。
王竹溪同时承担本科与研究院的课程，任务相当繁重，特别是研究院的这三门都是深奥的理论课程，不仅要阐述物理的观念与思考，更有冗长的推演与计算。这种课程的准备与讲解要耗费大量的时间与精力。从上面的介绍可以看出，吴大猷、王竹溪和马仕俊是在研究院开课最多的三位教授。
第四节 教学之外醉心科研
一般人以为，讲课就是照本宣科，其实，这是最大的误解。如果粗略地将讲课的水准与境界划分为三个层次，那么照本宣科就是最低、最初浅的入门的层次，这还处于“邯郸学步”的阶段；一般成熟的讲课，教师至少要将内容完全掌握和吃透，按照自己的理解，用学生易于接受的方式和语言来讲解，这个层次的讲课，好的可以达到艺术的境界；最好的讲课就是不完全是在讲书上别人的东西，而是在所讲问题进行深入研究和探讨的基础上，加入和讲出自己钻研的成果，这是一种探索、开拓与创新的境界。对大学生的讲课不是“教书”，备课不是“背书”，而是包含有创造性的思维与研究。
杨振宁在他的《选集和后记》中，为他1945年的论文《超晶格统计理论中准化学方法之推广》写了一篇后记，其中有如下一段话。
冬天，我们的教室又冷又透风；上实验课时，我们只有少得可怜的一点设备；但总体来说，课程均非常有系统，而且均有系统的准备，内容均极深入。直到今天，我还保存着当年听王先生讲授量子力学时的笔记，它对我仍是很有用的参考资料。笔记本是用没有漂白过的粗纸，很容易撕破，今天它经常使我想起那些岁月里的艰苦物质条件。
这篇后记后来收入杨振宁的文集《读书教学四十年》，这本书是面向一般读者的，流传很广。
杨振宁在这里提到了王竹溪讲授量子力学但没有细说，而在1978年8月于庐山召开的中国物理学年会上，王竹溪代表理事会作过《关于修改会章的报告》之后，杨振宁有一个关于规范场的精彩演讲。他在演讲中说，他关于在曲线坐标系中量子化的知识，最早就来自于王竹溪先生的授课内容；他一直保存着当年在西南联大听课的笔记本，那是他自己用茅草纸订成的，他还经常翻阅，从中获益匪浅。
量子力学的量子化是指如何界定坐标算符与运动算符，如何确定它们相乘的交换规则。而坐标与动量的具体表述，与所用的坐标系有关，在笛卡儿直角坐标系中的表述不同于球坐标系，而在球坐标系中的表述又不同于柱坐标系。通常的做法是，先在直角坐标系中进行量子化，而后通过坐标变换，再将所得公式变换到球坐标系或柱坐标系等曲线坐标系中。换言之，量子化的原理是在直角坐标系中表述的，只给出了在直角坐标系中的量子化原则。
直接在曲线坐标系中进行量子化的做法，除了玻多尔斯基（B.Podolsky）1928年的原始论文，早期只有泡利在他1933年的名著《波动力学原理》中提到。在这篇长文的一段注释中，泡利给出了曲线坐标系中的量子化公式，但没有逻辑的推导与分析。如何在曲线坐标系中进行量子化，国内对这个问题直到20世纪80年代还在《大学物理》上进行热烈的讨论。这就可以看出王竹溪在西南联大讲授量子力学的水准与层次。他不是照本宣科地教书，也不是只讲述人所共知的内容，他讲授的内容中有他自己钻研过而鲜为人知的成果，所以数十年后杨振宁还要翻阅他当年的笔记。
讲授量子力学时，最初是周培源约王竹溪共同进行的，后来他无暇参与，完全由王竹溪一气呵成。王竹溪不仅思维敏捷，记忆力超群，而且对问题有清晰、准确的判断。哪些问题已经解决，解决到什么程度，哪些问题尚未解决，难点和症结何在，他都清清楚楚。没有解决的问题，他就记下存疑，留待以后时机与条件成熟时再行研究。二十多年后，在指导研究生读狄拉克的名著《量子力学原理》时，他还强调指出，按照狄拉克的讲法，量子化只在直角坐标系中进行。言外之意，为什么狄拉克不讨论在曲线坐标系中的量子化，这是一个值得认真思考的问题。
坐标系的选择与应用属于技术和技巧的层面。量子化涉及量子力学最基本的物理，属于物理原理的范围。量子化只在直角坐标系中进行，就意味着量子力学的物理原理与坐标系有关系。
如果只将量子力学当作一门演算的学问，当作一门精巧、严格的技艺，那么只在直角坐标系中进行量子化就不是什么问题。但是，如果将量子力学视作最基本的物理理论，作为一门学问来看待，像狄拉克一样追求理论的普遍与完美，以逻辑和数学的美作为判断的重要标准，那么量子化依赖于坐标系这一点，就是一个需要认真考虑的问题。
王竹溪的风格与品位与狄拉克相同，具有同样的境界与追求，在他的教学中，自然会将这种境界和追求传染给学生。听他的课，就不仅仅是在学一些精巧、严谨的技艺，而是在接受这种科学境界和求索精神的培育与熏陶。
其实，这是物理学中技术层面的一些细节问题，也留给讲授者很大的研究与发展空间。并非已经没有任何值得探讨的没有解决的问题，严谨、认真和细心的教授在这方面同样可以发现问题，进而研究从而作出贡献。在那个时期王竹溪发表的论文中，有一些就是他在教学中发现和研究的问题。
有一篇论文《求对换积分之法》，显然是他在量子力学的讲授中完成的工作。问题是从海特勒和伦敦1927年关于氢分子的量子理论中提出来的，这个著名理论是“量子力学”课程的标准内容之一，是量子化的奠基性工作。其中的一项积分，是构成分子的两个原子波函数在交换电子坐标后相乘的重叠积分，称为交换积分和对换积分。由于两个氢原子中心不重合，分开一段距离，这种积分是很难算的。经过数学变换，王竹溪把它化成解泊松方程的问题，并引进共焦椭圆坐标系，算出了具体表达式。在实际工作中遇到难解的积分，人们往往是进行数值计算，这种经过数学变换解决问题的做法，总是令人叹为观止的。
还有一篇《热力学中之一问题》，则是吴有训和王竹溪提出和讨论的。用活塞把圆筒分割成两部分，两边气体的初始压强、体积、温度不同，最后达到平衡时，共同的压强和两边的温度及体积是多少？这是一个热力学问题，它与活塞是否传热有关，还要考虑在趋于平衡的过程中用来平衡两边压强差的外源的作用，气体绝热过程只在准静可逆过程态才能使用。这个问题初看很简单，看似一道热力学的问题。第三种情形，由于从高温到低温的热传导可逆过程，总的熵不是常数。王竹溪对这种情形又重新讨论，并写了相应文章。事隔六七年之后，他在一份算草中又进一步从动力学角度来讨论这个问题，并且指出较准确的计算是用统计力学。这种对学问锲而不舍的执著与追求，正是他治学严谨、踏实的重要方面。这份算草用铅笔写在一张普通白纸上，夹在当年那期杂志中他的论文之处，岁月流逝，纸已发黄。
还有几篇热力学的论文，最后汇总成了王竹溪的《热力学》。
第五节 主持讨论举办演讲
大学里教授与学生之间的互动有多种方式，课堂讲学只是其中主要的一种；此外，还有讨论会、学术演讲和论文等。讨论在国外叫作seminar，这是一种定期或不定期的聚会，由一些人发起或主持，围绕某一主题，每次请专人进行演讲，参与者自由提问和讨论。例如，海森伯1925年首次访问英国发表著名演讲《谱向动物学与塞曼植物学》的场合，就是剑桥大学卡皮查俱乐部的一次讨论会。
王竹溪在西南联大时，与数学家陈省身和华罗庚共同主持过一个李群讨论班。2000年12月18日，在纪念华罗庚诞辰90周年的国际数学会议开幕式上，陈省身作了《我与华罗庚》的演讲，其中有如下一段话。
可在那个情形之下，在昆明西南联合大学，大家的精神很好，有很多很多的朋友。例如，我们跟物理系的王竹溪先生有一个seminar（讨论班）。我想那是1940年的样子，那时候西南联合大学的数学系出了几个很好的学生，如王宪钟、钟开莱、严志达、王浩、吴光磊，所以假使有人有这个精神，即使环境差一点，也还是可以做很多工作的。
课堂教学是一个正规的环节，有学分和学时的规定，要对学生进行考核，成绩要记入学籍档案，作为最后毕业和授予学位的依据。讨论会不同，不分学时和学分，也没有学分，参加者是自由的，完全出于兴趣和爱好。讨论会与学术演讲也不同，讨论会的论题很专门，也很具体，参加的人数很少，可以有很充分和很深入的讨论，参加者往往形成一个松散的集体，有更多研究前沿的知识、技巧与经验供交流，所以更接近于西方科学研究的workshop；而学术演讲则面向广泛得多的听众，参与者主要是从演讲中获得一般的观念和信息，不必完全听懂和掌握，彼此也不一定相识和相关。
王竹溪从剑桥归来，围绕相变的统计力学研究，他作了一系列演讲。受他演讲大的影响，林家翘、应崇福、李荫远、梅镇岳等就常跟他研究统计力学，迈出了他们进行物理研究的第一步。下面是杨振宁的一段回忆。
我在统计力学和多体方面的兴趣源自我在西南联大读书时跟王竹溪先生学习的时候。大概讲起来是这样的，1942年我进入昆明西南联大研究院，那时在研究院念两年，就可以得到硕士学位。为获得硕士学位，需要写一篇论文，我为此去找王竹溪先生。那时候王先生从英国念完博士学位回国，他曾是福勒的学生，他所研究的问题是相变问题，所以很自然地，他把我引到相变问题这个研究方向上来。
但我对相变问题产生兴趣并不是仅仅因为我跟他做论文，在我进入研究院以前，王先生曾作过一系列演讲，在当时是很轰动的。为什么呢？在20世纪30年代中，大家对相变发生了很大的兴趣，所以福勒让王先生做相变问题。在座的也许知道张宗燧教授（已故去很久），他和王先生年纪差不多，也是福勒的学生，并且也做相变问题。
第六节 指导学生学术研究
指导青年学生做论文，是教授与学生之间最紧密的一种互动，是一种一对一的互动关系。学生进入大学后，需要完成两个过渡。首先，要完成从中学的被动学习方式向大学的主动学习方式之间的过渡，在中学是“受教”，在大学要变成“求学”。这个过渡是在大学伊始就要尽快完成的，完成得越快越好，越慢越被动。帮助和指导新生完成这一过渡，是基础课教师与学生指导员的首要任务。其次，经过三四年基础课与专业课的学习，学生已经完成了学业，需要进一步完成从学习到研究的过渡，这是从吸取知识、训练技能到创造知识、获取经验的过渡。完成这个过渡的途径就是做论文，所以论文导师担负了引导学生完成这个过渡的任务。中国学生在国外留学，很会读书考试，而往往进入研究较困难，就是因为第二个过渡没有很好完成。所以，在大学毕业后，青年人仍有必要经有研究经验的人指点与帮助，才能顺利进入研究工作。
林家翘1937年毕业于清华大学物理系，毕业后留校任助教。王竹溪给他的题目，是研究二元合金超点阵体系中原子之间相互作用能与排列布置之间的关系。在合金超点阵的统计理论中，贝特与派尔斯只考虑了紧邻原子之间的相互作用，王竹溪和张宗燧则考虑了其他原子间的相互作用，而在他们的理论中均隐含着一个假设，即假设相互作用能与原子在点阵上的布置无关。这个假设使得用相互作用能来进行的统计力学计算得以简化，从而能算出具体结果。但它并不符合物理的直觉，因为一个原子周围布置不同的原子，所受的作用显然不同。
考虑由A与B两种原子构成的超点阵，根据物理直觉的猜测，林家翘作了两种假设。他假设相互作用能是合金中这两种原子的线性函数，在这种假设中都包含了一些可以适当调整的系数，对于AB型超点阵，他发现仅当这些系数满足一定关系时，两种原子成分相等时的温度（临界温度）才是极大的。对于AB型超点阵，只要适当调整这些系数，在任何原子组分临界温度都可达到极大。这就希望消除这方面理论与实验的分歧。为简单起见，他采用了布拉格-威廉姆斯理论。在整个研究中，林家翘得到了王竹溪很大的帮助，并和叶企孙进行了很多有益的讨论。
这个工作写成论文《在二元合金中原子间相互作用之能量与其排列之关系》，发表于《中国物理学报》。这是林家翘的第一篇论文，在统计物理领域的这段研究经历，对他后来研究天体物理有很大帮助。林家翘1940年赴加拿大多伦多大学，1941年获硕士学位，1944年获加州理工学院博士学位，1962年成为美国国家科学院院士，在力学、天体力学和应用数学方面均有重要贡献，被誉为“清华四杰”（指清华物理系毕业的王竹溪、彭桓武、林家翘、杨振宁）之一。
王竹溪让杨振宁研究铜与金的二元合金。这种合金的超点阵在无序时是面心立方结构，而在有序时是四面体结构，分别计算出它的相互作用能，就可以研究晶体相互作用能如何随着晶格常数和有序度的改变而改变。威尔逊曾经在1938年用贝特的超点阵理论研究过晶格结构的这种变化，结果与戈尔斯基的实验测量一致。为了得到在给定压强下达到平衡时的超晶格常数，威尔逊采用的条件是在保持熵不变时能量取极小，但在当时并不知道贝特理论中熵的表达式。威尔逊将熵不变换成了长程序不变，这相当于采用了布拉格-威廉姆斯理论的熵来作为近似，所以威尔逊的工作并未将贝特的理论贯彻始终。
王竹溪回国后，继续研究晶体有序无序相变，推出了贝特理论中自由能的公式，写成论文《有序无序相变统计理论之自由能》。所以，杨振宁可以用王竹溪的公式来算出这个问题，把贝特的理论贯彻始终。与威尔逊不同，杨振宁采用的条件是在恒温下，自由能取极小。显然，晶格常数的改变会影响到原子之间的相互作用能，从而使得晶体组态能和比热发生相应的改变，杨振宁具体计算了在压强不变时比热随晶格常数的变化。
原子布局的改变也会对相互作用能产生影响，莫特在1937年研究过这个问题。实际上，超点阵作用能与有序度之间的关系相当复杂。1939年，林家翘曾经假设平均相互作用能与有序度之间成线性关系，用来解释当两种原子数之比为1：3时面心立方合金相变临界温度达到极大的现象。而杨振宁指出，根据王竹溪的上述工作，可用贝特理论的自由能来考察林家翘的这个假设。杨振宁发现，作为有序度的函数，相互作用能必须满足一组自治的条件，用这种自治条件所给出的方程就可计算晶体能量，而不必像林家翘那样借助布拉格-威廉姆斯理论。
杨振宁的这个工作得到了中国教育文化促进基金的支持，写成论文《二元合金超晶格中原子相互作用能与格常数及原子排列之关系》，于1944年发表于《中国物理学报》第5卷。那时的教育、文化没有分家，没有把文化理解和界定在一个很小的范畴内，研究超点阵的有序无序变化，对教育和文化均有促进。
在王竹溪离开剑桥两年之后，福勒与古根海姆在一项研究中表明，原本是用于正规溶液的准化学方法，同样适用于具有长程序的超点阵理论。与布拉格-威廉姆斯方法相比，这个方法朝着严格理论的方向又迈进了一步；而且在数学上，这个方法也比贝特和柯克伍德（J.G.Kirkovd）的方法简单。但这个方法的原始形式只能处理紧邻原子对，而且没有给出一个自洽的逐级近似方案，所以还不能当作严格计算合金组态自由能的方法。
杨振宁针对这两个问题进行了研究。他发展了一种新的方法，将准化学方法推广到可以处理更多的紧邻原子对。用这个推广了的新方法能得到晶体自由能的逐级近似。在贝特方法和准化学方法中都包含着很复杂的积分运算，而在这个推广了的新方法里，可用一个勤让德变换来避免。他计算了给定长程序的原子排列布置数，还具体计算了面心立方晶体Cu3Au的近似自由能，包括贝特的近似。
王竹溪对这个工作给予了很高的评价。下面这段文字，摘自他1944年9月投给美国《物理评论》的一篇论文。
最近，杨振宁先生对福勒和古根海姆的准化学方法进行了很出色的推广。这个方法非常有用，它恐怕将会取代贝特的方法。它的主要优点，是可以从一个封闭的表达式很容易地得到近似的配分函数。现在杨先生正在进一步研究这一方法。
杨振宁将这一工作写成论文《超点阵统计理论中准化学方法之推广》，于1941年11月投给美国的《物理化学杂志》，论文发表于第13卷上。此篇论文与上篇论文合起来，构成了他的硕士论文的主要部分。
第一篇论文是运用已有的公式具体计算物理问题，第二篇论文是推广和发展已有理论。于初入道的研究生而言，这是训练的两个阶段和层次。可以看出，王竹溪指导研究生进入研究状态，是按部就班、循序渐进的。而青年人往往少年气盛，一开始就想进行发展理论的开创性工作。他后来指导过的一位研究生，自己选择了一个发展理论性的题目，久久做不出来，王竹溪耐心引导，告诉他不必担心，“作为研究生的论文，即使得不到正面肯定性的结论也是有意义的，可让后来者知道此路不通，不再走弯路”。而在这位研究生终于解决了问题之后，王竹溪才告诉他：“最好是有了一定研究经验后，再来做这种类型的题目。”
师傅领进门，修行在个人。杨振宁毕业后，还继续在这个领域进行研究，于1945年完成了《二元超格结晶临界温度及比热突变》，于1947年与李荫远合作完成了《二元合金中超格学说中准化学方法之推广》，分别发表于《中国物理学报》第6卷（1945年）和第7卷（1947年）上。李荫远1943年毕业于西南联大物理系，1945年到1946年在西南联大物理系做助教，1947年赴美留学，1951年在伊利诺伊州立大学（香槟小区）获博士学位，1956年回国后一直在中国科学院物理所工作，1980年当选为中科院数学物理学部委员，是中国固体物理理论的开拓者之一。这两个工作均得到王竹溪的鼓励与支持，而杨振宁一直在统计力学相变领域研究，最终导致发现Yang-Baxter方程，使他不仅享誉物理学界，也因为对数学产生巨大影响从而饮誉数学界。
应崇福是比杨振宁早一年入学的研究生，王竹溪指导他研究吸附作用，题目是《吸附作用统计理论之配分函数》。他应用王竹溪关于确定吸附层组分配函数的近似理论，对具有偶极相互作用的平方点阵，采用两种方法计算了组分配函数及吸附等温线和吸附热，在具有紧邻相互作用的六角点阵情形，他与柯克伍德方法的结果进行了比较，上述发表的论文是根据他的硕士论文删节而成的。
应崇福1918年生于浙江宁波，1940年毕业于当时迁到云南大学里的华中大学物理系，1944年在清华大学物理系获硕士学位，1952年在美国布朗大学获博士学位，1940年至1941年和1943年至1948年任教于华中大学物理系，1951年至1955年在布朗大学应用数学系进行超声学研究，1956年回国后先后在中科院物理所、电子所、声学所任职，1993年当选为中科院院士，曾任中国声学会理事长。他在超声在固体中的散射、超声压电的换能行为、压电晶体和人体软组织中的超声传播、功率超声、激光超声等方面进行过研究，其中关于固体散射的论文是国际上这个领域的奠基性工作。
此外，在清华迁回北平后，王竹溪还指导过徐亦庄。徐亦庄于1924年生于上海。王竹溪给他的题目是《平面方格及立方格中AB型超格之理论》。他将王竹溪《推广的贝特超点阵理论的近似配分函数》一文的理论用于平方和简单立方的AB型超点阵，只考虑紧邻原子的相互作用，算到二级近似；他计算了临界温度与合金成分的关系，并在A、B原子数相等的情形下计算了不同温度下的有序度、内耗和比热，结果与用贝特二级近似算得的相比，相差无几，对于简单立方点阵，比热的突变仅比用贝特方法得到的稍大。在这些研究的基础上，他写成了上述发表的论文。
这是徐亦庄的硕士论文，他获得硕士学位后赴美，入芝加哥大学，1950年回国后工作于清华大学物理系，1952年院系调整后先后任物理教研室和理论物理教研室主任，后来曾任物理系副主任和原子分子物理教研室主任。他给学生讲量子力学，几乎从不用备课笔记，在偌大的黑板上写了又擦，擦了又写，一堂课推导的公式无数，极少出错，也是一位记性过人的人。“文革”期间，他同王竹溪一样到江西鄱阳湖鲤鱼洲劳动，那是血吸虫疫区，他下水田劳作，因为怕挨批评不敢穿防护胶靴，不幸染上血吸虫病，于1993年过早地离开了人世。
第七节 高瞻远瞩助徒择业
1944年，杨振宁获得硕士学位后，投考了当年清华第六届“中美庚款”，被录取在物理学门高压电专业。这个专业实际上是培养以高压倍增器和加速器等高压设备为基础的实验核物理人才，将来发展中国的核物理。这反映了叶企孙等人站在国家与民族之立场的高瞻远瞩。鉴于核物理成为物理学发展的前沿，抗战胜利后回到北平，叶企孙于1947年4月与清华校长梅贻琦商定，拟拨5万美元（这大约是当时美国一个大学教授四五年的年薪），由钱三强在国外为清华购置核物理研究设备，并谋求北京大学与北平研究院合作，促成了1948年北平研究院原子学研究所（中国科学院近代物理研究所前身，也是中国原子能研究所前身）的成立。而杨振宁1971年首次回国时要求拜见叶企孙，终未能成，他于1945年去美国时与叶企孙的辞行竟是永别，人世间的沧桑在学界的象牙塔里也未能得免。
但是杨振宁的基础与素质更适合理论物理，另外在当时的美国，主要核物理实验室均属国防机密部门，不让外国人进入。两年后国民政府国防部门派吴大猷带李政道和朱光亚赴美，也未能进入与核物理相关的实验室。考虑到主客观两方面的原因，当清华大学校长梅贻琦函嘱赵忠尧与王竹溪对杨振宁的留美计划加以指导时，他们与杨振宁数次商谈后，建议杨振宁改学核物理理论。赵忠尧是实验核物理方面的专家，也是杨振宁的老师。赵忠尧、王竹溪至梅贻琦的信，信中开头的称谓“月涵”是梅贻琦的字，从字体来看，这封信是王竹溪的笔迹。
1945年11月下旬，杨振宁到达美国纽约，几经周折，终于在芝加哥大学的教室里见到了仰慕已久的费米教授。杨振宁要求跟他做实验物理，但费米的实验室是保密的，外国人不能进去，所以费米将他介绍给艾利逊。在艾利逊的实验室里，杨振宁和另外几位研究生一起，协助艾利逊建造一台400keV的高压倍增器，进入了高压电专业。下面是杨振宁在《读书教学四十年》中对这段经历的回顾。
在做了十八个月的工作以后，我的实验不太成功。这倒不完全是我的错误，因为那个题目是一个做不出来的题目。有一天，泰勒来找我。他问：“你做的实验是不是不大成功？”我说：“对了。”他说：“你不必坚持一定写出一篇实验论文，你急，已经写出了理论论文，那么就用一篇理论论文作为毕业论文吧！我可以做你的导师。”我听了这话很失望，因为我确实是一心一意想写一篇实验论文的。我说需要想一想，想了两天，决定接受他的建议。做了这个决定之后，我如释重负。这是我今天不是一个实验物理学家的道理。有的朋友说，这恐怕是实验物理学的幸运。
他坚持一定要做实验的这种执著与追求，以及后来对他年少时的朋友邓稼先的事业之心仪与注重，可以说都隐含了被“中美庚款”录取在物理学门高压电专业的这个情结。如果他变通一点要求跟费米做理论，那么恐怕又是一种结果。“生我者父母，知我者师友”，他在实验室中的上述经历及后来选择到理论物理圣地普林斯顿寻求发展，在他出国之前就已经被赵忠尧和王竹溪预先为他想到了。
第八节 超晶相变精深研究
王竹溪归国后，继续研究超晶格相变，推出了贝特理论中自由能的公式，这是杨振宁第一篇论文的基础。这个工作完成于1940年，写成论文《有序无序相变统计理论之自由能》，辑入《清华大学科学报告》A系列第Ⅳ卷第4～6期（1941年4月）。这是清华30周年纪念的专刊，当时正是抗战最困难的时期，专刊印出后，拖到1947年才刊行。
布拉格-威廉姆斯理论是关于超晶格相变的第一个成功的统计理论，贝特对它进行了改进。合金的有序度是这个理论的重要概念，有序无序相变理论，就是要确定有序度作为温度的函数，定出有序度突变成零的临界温度。贝特表明，为了说明存在一个有限的临界温度，只考虑紧邻原子相互作用就行了。王竹溪则进一步推广，考虑了非紧邻原子之间的作用。
贝特理论并没有计算配分函数，有序度的平衡值是一种间接的方法，然而配分函数是统计力学计算的基础。对于某些问题，相应于一个稳定的平衡态，理论给出的有序度不止一个，为了确定有序度的值，就需要知赫姆霍兹或与之等价的配分函数。而对于吸附作用中的临界的凝聚现象，面心立方点阵的真实临界温度及分解成多相等的研究，配分函数本身是不可替代的，贝特理论就无能为力了。
在贝特理论的基础上，根据统计力学的普遍理论，王竹溪从配分函数的一个近似公式出发，求得赫姆霍兹自由能的表达式，具体的计算包括对一组微分方程求积分。只考虑紧邻原子的作用时，要求相互作用能满足一定的微分方程。作为一个简单的运用，王竹溪具体讨论了吸附作用的问题。
在完成这个工作的基础上，写出了上述论文之后，除了让杨振宁用它来计算二元合金的有序无序相变以外，王竹溪还继续研究了这个问题。他又发现，这个工作还有两个缺点：首先，为了完成积分的可积条件从而存在配分函数，假设贝特方法用于紧邻相互作用是自洽的，虽然在当时所考虑的情形是对的，但在贝特第二级近似及面心立方点阵的情形却不对；其次，在实际应用中，配分函数的数值计算工作太繁重，难以算出有价值的结果。
于是，王竹溪对他的理论又作了改进，在运用贝特理论时，他不用通常的配分函数，而是用所谓的“局域巨配分函数”。他在前一工作中已普遍地论证过，超点阵理论运用于巨配分函数，对于从贝特理论得到近似配分函数的过程，为了弄清其中某些要点，这里只需对以前的理论作一些微小的改变。这样，在推广到包含长程相互作用的贝特理论里，王竹溪得到了配分函数的一个近似公式，表述为能量近似表达式的积分，他也考虑了能量表达式的别的形式，处理了高阶近似，并且运用于吸附作用的问题。这个理论是完全普遍的，适用于各种情形，数值计算的工作量也大为减少，从而可以实际应用于具体问题，这个工作的论文发表于1945年2月美国《物理评论》第67卷的第3、4期。
在前面所述福勒与古根海姆的准化学方法时，提到了柯克伍德方法。这是1938年提出的，王竹溪虽然已离开剑桥回国，但一直紧紧跟随着国际上超点阵理论的发展，工作在这个理论的最前沿，很快就熟悉和掌握了柯克伍德的方法。
梅镇岳1939年清华毕业后留校任助教，就来跟王竹溪合作一同用柯克伍德理论研究吸附作用中的超点阵问题。他后来考取“中英庚款”，于1945年赴英，1950年获伯明翰大学哲学博士学位，同年到加拿大读博士后，1952年回国，先后任职于中国科学院近代物理研究所和中国科技大学，是我国著名的实验核物理学家。
柯克伍德沿着贝特的路线，在超点阵的统计理论中发展了一个计算配分函数的方法。王竹溪与梅镇岳则是用柯克伍德理论来研究吸附中形成超点阵的现象，是张宗燧教授最新从理论上进行研究的，他既运用比较初步的布拉格-威廉姆斯理论，也用了更精细的贝特理论。
如果基底上的吸附原子杂乱无章地分布，在两种点阵位上平均数相等，那么就是完全无序的，没有形成超点阵；而当吸附原子分布有序时，就形成了超点阵。仅当原子间的相互作用能为正时，才能形成超点阵，这从物理上容易理解，如果吸附原子互相排斥，那么在一个吸附原子的邻位就更可能是空穴而不是另一个吸附原子。
用统计理论来处理吸附作用的这种现象，中心问题是构造出吸附原子的配分函数。王竹溪和梅镇岳一方面用柯克伍德方法构造出吸附层的配分函数，然后用它计算吸附等温线和吸附热；另一方面他们也用贝特理论进行了相应的计算，包括不同形式的贝特第一级近似。结果表明，两种理论虽然在定量上有一定差别，但在定性上是一致的。他们发现，由于形成超点阵，吸附等温线变得很低，再覆盖原子变得很艰难，而吸附热出现突变，存在一个临界温度。
这个工作完成于1941年5月。他们将上述成果写成一篇长文《有序无序相变的柯克伍德理论对吸附作用之应用》，投给《中国物理学报》。在论文的最后，他们对柯克伍德和贝特两种理论进行了讨论和比较，柯克伍德理论虽然在数学上清晰严谨，容易判断理论的误差，但是贝特理论第一级近似所含的数学推演与数值计算比柯克伍德的近似要少得多，从实用的角度看，贝特理论优于柯克伍德理论。
完成与梅镇岳的这个合作后，王竹溪继续深入研究柯克伍德理论，于1941年11月写成论文《关于超点阵柯克伍德理论之注释》，1942年在《科学记录》上发表。为了计算配分函数，柯克伍德引进了一个变换，其中包含在点阵任一组态邻位附近的A原子对数，并且将这个原子对数写成两种形式，初看起来第一种形式优于第二种，而王竹溪在这篇论文中表明，对任何阶的严格计算来说，这两种形式同样好用。此外，他还指出了在计算中特别要注意的几点，并且给出了一个公式的形式之证明。
科学家做研究和工人做工、农民种地一样，是一步一步完成具体而微的“活计”的，每做完一件工作，就向前迈进了一步。物理学家就像一个自由松散的国际大团队，大家齐心协力，为物理学这幢大厦添砖加瓦，物理学家每件工作所作的贡献，就相当于是一块砖、一片瓦。王竹溪在超点阵这个领域辛勤耕耘，锲而不舍，一步一步，留下了一个个深沉而实在的脚印。
很多人认为，科学家做学问就是坐而论道，高谈阔论，不着边际，其实并非如此。有些人认为研究物理就是提出一些假设，推翻某个原理，这是学过一点物理没有入门者的肤浅之想。这种想法源于我们传统的思维，以儒家学者、圣人模式来想象科学家与科学工作，没有意识到这赛先生（science）完全是从西方引来的舶来品，在我们传统的思维里是很难找到对应的。
在亚里士多德的众多著作里，有一本书专门阐述物质世界具体而微的学问，书名是Physics；还有一本书阐述抽象思维富于哲理的学问，则书名为Metaphysics。现在将physics译为“物理学”，将metaphysics译为“物理之上的学问”，哲学家将之译为“形而上学”。抽象和富于哲理的思辨不是真正的物理，做物理离不开具体而实在的世界。
第九节 热力学研究之勒夏特列原理
一个物体与另外两个物体都分别达到平衡时，这另外两个物体之间一定也达到了热平衡，这个事实就是所谓的热力学第零定律。热力学的另外三条基本定律，也是极为简单而普遍的经验事实之概括，将这四条作为第一性的物理原理。以它们为基础和出发点，可以逻辑地演绎出一套完整而优美的理论体系，再辅以实验测定的状态方程，就能用来解释一切热现象。这简直就是欧几里得几何学的“克隆”版，是追求逻辑严谨与完美简洁的理论物理学所能达到的理想境界。区别于根据物理原理和构造模型来解释具体现象的结构性理论，爱因斯坦将他的相对论与热力学归到同一类，称为原理性理论。
欣赏与追求热力学、相对论与量子力学这一类原理性理论逻辑严谨与简洁之美，是理论物理学家爱美的天性。王竹溪在剑桥大学留学期间写的第二篇论文《被吸附原子间有相互排斥作用的吸附膜之性质》就已经表现便显出他的这种品位与追求。这种品位与追求，在他为本科生讲授“普通物理”与“热学”，以及为研究生讲授“统计力学”等课程的备课与授课过程中，自然会体现出来。他回国以后进一步对热力学进行研究，是合乎逻辑的自然选择。
1884年，在研究了外界对系统平衡态影响的大量实例后，勒夏特列（A.Le Chatelier）归纳出了一条原理。1887年，布劳恩（F.Braun）又对它作了一些推广，将他们的表述归纳起来就是，将系统平衡态的某一因素加以改变以后，将使平衡态向抵消原来因素改变的方向转移，这就是勒夏特列原理，也称为勒夏特列-布劳恩原理。
勒夏特列原理所回答的问题，是系统平衡态在外界扰动下的变化方向问题，而这个问题可以根据热力学第二定律来回答。勒夏特列原理不是一个独立的第一性原理，应能从热力学基本定律出发推导出来。在物理学发展的历史上，当初发现的原理后来发现是某些更基本的原理或定律的推论，这种例子很多，最著名的是光波传播的惠更斯原理，现在大家知道它可从电磁学麦克斯韦方程组推导出来。
按照此思路，王竹溪根据热力学定律对勒夏特列原理进行了仔细分析。他将勒夏特列原理涉及的情形分成三类，并指出这三类情形的严格分析均依赖于热力学体系平衡态的稳定条件。他发现，在大多数情形下，勒夏特列原理给出的回答都与热力学理论给出的一致；但他也举出两个要用到热力学麦克斯韦关系（简称麦氏关系）的例子，勒夏特列理论与热力学理论给出的相反。于是，他提醒说：“由此可见，在应用勒夏特列原理时必须十分小心，最好是在麦氏关系上不用这个原理。”
实际上，勒夏特列原理是模仿楞次（Lenz）定律而表述的，但是却不如楞次定律那样明确，并且在实际应用时容易引起混淆。归纳对三种情形研究的结果，王竹溪最后得出结论：“由于不能毫无意义地应用这个原理，看来最好是把它完全忘掉，在所有的情形下都采用热力学的严格推导。”
王竹溪的这项研究完成于1943年，写成论文《关于勒夏特列与布劳恩原理》，发表于当年的《科学记录》。这项研究显然源自教学。他在论文中引用的九篇文献，除了勒夏特列与布劳恩的原始论文、吉布斯的论文集及他自己尚未发表的《热力学中平衡与稳定之理论》以外，其余的分别是爱普斯坦（P.S.Epstein）、古根海姆、普朗克、罗伯茨及肖特基（W.Schottky）、伍里希（H.Ulich）和瓦格拉（C.Wagner）的热力学教本。
虽然源自教学，但这并非通常意义上的教学研究。物理理论的逻辑体系、理论结构与文字表达，这在国外是一个重要的基础性科学研究领域，有专门的学术刊物和会议。此种研究之结果，往往会在新教材上反映出来。
理论家在从物理现象概括、归纳出原则、定律和原理的时候，往往希望能够包罗万象，越普遍越好；但越普遍的陈述往往也越抽象不具体，而物理是研究具体现象的学问，不是形而上学。海森伯提出的“一个完善的理论必须以可观测量为依据”，常常被解释为要求剔除所有不能直接测量的量。玻恩对此提出批评：“将原理表述得那么普遍和笼统，就一点用都没有，甚至还会招来误解。”与玻恩一样，王竹溪是研究具体现象的物理学家，不是玩弄概念与词句的人，原理是要用来解决实际问题的，当然不能容忍笼统含糊、容易引起歧义、不准确、不好用的陈述。这也是称赞他严格和严谨的一个方面。
第十节 热力学研究之高级相变
生活中我们熟悉的相变过程，如水冷冻成冰或沸腾成水蒸气，要放出或吸收热量，即所谓的“相变潜热”，并伴随着体积的改变。而自然界中也有一些相变过程，既没有相变潜热，也没有相变过程（体积的改变），这最早是在液氦的蒸发中发现的，后来在超导电性等许多低温现象中出现。
在水吸热变成水蒸气的相变中，如果保持水蒸气处于饱和状态，则随着压强的降低，沸点也相应降低，此即高原效应。基色姆（W.H.Keesom）和伍尔夫克（M.Wolfke）在1927年发现，在液氦沸腾变成蒸气的过程中，若沿饱和蒸气压曲线降温，当温度降到217K时，沸腾会突然中止，液面变得十分平静，此时液氦发生相变，从一种与普通液体类似的正常相Ⅰ变到另一种与普通液体不同的超流相Ⅱ。液氦从正常相变到超流相的相变，既没有相变潜热，又没有体积改变，但热容量和大热率却随着温度的下降而突然增大，发生不连续改变，而黏滞性完全消失，成为超流体。
在牛顿力学里，可用重力势来判断重力场中物体是否平衡和稳定。高度处处相同的平台重力势处处相等，物体在这个平台上是平衡的。与此类似，在热力学里有一个量叫化学势，可用来判断化学过程或相变过程是否平衡。化学反应的初态与末态或物体的两相达到平衡时，它们的化学势与化学势的变化率要相等。虽然水与水蒸气的化学势相等，但其化学势的变化率却并不相等，这是存在蒸发热和体积改变的原因。液氦的情形不同，液氦在正常相与超流相之间发生改变时，两相不仅化学势相等，化学势的变化率也相等，所以才既无相变潜热，亦无体积变化。
在数学上，一个量的变化率是用它对自变量的微商来描述的。如果既无相变潜热，也无体积改变，那么不仅两相化学势相等，化学势的一阶微商也相等。荷兰物理学家艾伦菲斯特于1933年提出一个理论，把两相化学势相等而其一阶微商不完全相等的相变称为一级相变，把两相化学势及一阶微商均相等而二阶微商不完全相等的相变称为二级相变。艾伦菲斯特的这个理论得到基色姆的实验证实，而他认为，液氦在正常相与超流相之间的相变是一种二级相变。
在那个年代，低温和相变问题是基本物理研究的一个前沿和热点。在艾伦菲斯特提出二级相变并被基色姆的实验证实之后，1934年冯·劳厄（M.Von Laue）又提出另外一个理论。他指出，所有的偶数级相变在自然界中都不可能发生，液氦Ⅰ与液氦Ⅱ之间的相变是三级相变。冯·劳厄的这个理论看起来是如此干净、漂亮，似乎将一切都弄清楚了，但却没得到公认。
艾伦菲斯特和冯·劳厄的理论有一个共同的假设，在发生相变大的两相达到平衡时，压强与温度有一一对应的关系，由此可画出一条压强对温度的曲线，称为相变平衡曲线，简称相变曲线和平衡曲线。艾伦菲斯特和冯·劳厄均假设，既无相变潜热又无体积改变发生于连续变化的整段平衡曲线上，亦即在平衡曲线上的每一点均是二级相变。
他们没有考虑到，也有可能只在平衡曲线上的一个点上相变潜热与体积改变才为零。爱普斯坦在1937年首先指出，二级相变也可能只发生在平衡曲线上的一点上。王竹溪对这种情形进行了研究，通过定量地分析化学势在平衡曲线上及在平衡曲线附近的变化情形，王竹溪指出，如果二级相变只出现于平衡曲线上的一点上，那么这一点可能为尖点（cusp），这实际上有可能观察到；而如果平衡曲线一整段曲线上的每个点都既无相变潜热又无体积改变，则相变不可能发生。
作为从自然界实际出发的高级相变，王竹溪进一步讨论了超导体在正常相与超导相之间的相变。这种情形有磁场存在，磁场强度是超导体系的有序度参数。由于多了这个因素，王竹溪定量分析的结果表明超导体的这种相变为二级相变。他把这些结果写成论文《关于高级相变的注释》，发表于1946年的《科学记录》第一期。在论文的结尾，他特别指出，简并理想气体的爱因斯坦-玻色（Einstein-Bose）凝聚是一种在整个相变曲线上都出现的三级相变。
王竹溪的这篇论文，实际上是1943年完成并投稿的，拖到抗战胜利时才登出来。由于战时信息的闭塞，他没有看到朗道的工作。朗道在1937年从晶体的有序无序相变性质入手，又提出了二级相变的理论，在物理模型的数学结构上，朗道讨论的晶体有序无序体系与磁场中的超导性完全相同，所以也得出二级相变。得知朗道的理论以后，王竹溪后来在写他的《热力学》时，“高级相变”这一节除了介绍艾伦菲斯特与冯·劳厄的理论和他自己的分析外，也介绍了朗道的理论。
朗道是20世纪物理学一奇才。1935年，在卡文迪许卢瑟福那里做低温物理已经出名的卡皮查回苏联探亲，被斯大林留下。卢瑟福将卡皮查在剑桥使用的整套低温实验设备运到莫斯科送给卡皮查，苏联则专门为卡皮查成立了物理问题研究所。卡皮查考虑研究所理论部主任的人选，玻恩、狄拉克和韦斯新普夫都没有请到，最后将位置给了当时只有27岁还在哈尔科夫的朗道。1937年，卡皮查发现氦Ⅱ的超流性以后，需要理论家作进一步的研究与分析，而朗道在完成上述二级相变理论后，却遇到了政治上的麻烦，被斯大林的秘密警察逮捕。卡皮查先后写信给斯大林和莫洛托夫为朗道说情，还给内务部长贝利亚写了保证书，一年以后终于将朗道从狱中保了出来，卡皮查接着又推荐他做苏联科学院院士。朗道也没让卡皮查失望，于是就有了使他赢得1962年诺贝尔物理学奖的氦Ⅱ的二流体模型。看来，压力和磨难能改变人。
抗战时期的西南联大，虽然仍旧是学者们的象牙塔，却深受战时环境与氛围的影响，完全融入整个国家与民族的行动中。
在西南联大，有一首学堂乐歌（20世纪初随着新学堂在中国的兴起而出现的一种歌唱文化）被杨振宁、邓稼先等学子们广为传唱。这首歌是五四时期的一首歌曲，歌名叫《中国男儿》，歌词为：
中国男儿，中国男儿，要将只手撑天空。
睡狮千年，睡狮千年，一夫振臂万夫雄。
长江大河，亚洲之东，
峨峨昆仑，翼翼长城，
天府之国，取多用宏，
黄帝之胄神明种。
风虎云龙，万国来同，
天之骄子吾纵横。
中国男儿，中国男儿，要将只手撑天空。
睡狮千年，睡狮千年，一夫振臂万夫雄。
我有宝刀，慷慨从戎，
击楫中流，泱泱大风，
决胜疆场，气贯长虹，
古今多少奇丈夫。
碎首黄尘，燕然勒功，
至今热血犹殷红。
广大学子们在任人宰割的年代里，唱着这首令人振奋的歌曲，苦苦追寻着强国之梦。
1945年5月7日，德国法西斯无条件投降，同年8月，抗日战争的喜讯频频传到昆明：中国战场取得了重大胜利，美国在日本投掷原子弹，苏联对日本宣战……
8月15日，日本无条件投降，抗日战争结束，昆明和全国其他地方一样，沉浸在一片狂欢气氛中。王竹溪和西南联大的师生们，欢欣鼓舞，参加庆祝游行。满城鞭炮齐鸣，唢呐狂欢，狮子龙灯共舞，少数民族跳起了芦笙舞，西南联大“爱国、民主、科学”的旗帜迎风招展，“千秋耻，终当雪；中兴业，须人杰”的校歌响彻行云。
1946年7月11日，著名爱国民主人士李公朴（1900—1946）在昆明遭暗杀。他是中国民主同盟昆明负责人，原籍江苏扬州，生于镇江，1936年曾因参加抗日救国运动被捕，抗战期间积极参加民主运动。闻此，西南联大的师生们义愤填膺，时隔四天，联大中文系教授闻一多又遭毒手。闻一多是湖北浠水县人，曾在清华大学、西南联大任教，积极参加争取民主的斗争，是现代著名的诗人、学者。
著名数学家华罗庚曾在昆明愤慨地写道：
寄旅昆明日，
金瓯半缺时。
狐虎满街走，
鹰鹯扑地飞。
为李公朴、闻一多先后被暗杀，西南联大的师生们举行罢课游行示威，要求当局严惩凶手。整个昆明及云南全省各地纷纷罢课响应，全国各地愤起积极声援。
王竹溪看到两位民主战士在自己身边倒下，心中无比悲愤、压抑，无情的现实促使王竹溪的思想开始起了变化。他回忆自己三十年来的经历和信仰，依稀感到在新的道路上，有人在向他召唤。在工作上，王竹溪显得非常刻苦、努力，在物理学的研究上完成了大量工作，取得了出色的成果。在他那个时代，在他那一辈学者中，像他那样勤奋和多产的，为数不多。就像量子力学的能级一样，朗道按照贡献和成就大小，将物理学家分成五个级别，他选择的标尺是对数坐标，第一级物理学家的成就比第二级的大十倍，第二级比第三级的大十倍，以此类推。按照这个朗道级，在中国的物理学家中，王竹溪可以排在第一级。王竹溪在中国物理学界的声望与所受到的尊重，来自他的学识与人品，当然也来自他这个时期的工作。
第十一节 热力学研究之范氏气体的性质
我们在日常生活中常看到，往车胎或球胆里打气的时候，打进去的空气受到压缩，体积缩小，而压强相应增大。定量地说，在温度不变的情况下，气体的压强与体积近似成反比。这是早在17世纪就被发现了的玻意尔-马略特（Boyle-Mariotte）定律。选择温标适当定义温度之后，玻意尔-马略特定律就是联系气体压强、体积与温度的方程。压强、体积与温度是描述气体状态的参数，所以这个方程称为气体的物态方程。由于这个方程只是近似地描述了实际气体的性质，物理学家把这个方程描述的气体称为理想气体，而将这个方程称为理想气体物态方程。
物态方程是描述物体热学性质的基本关系的，在热力学的理论框架下完全由实验确定，属于具体的经验规律。由于理想气体物态方程只是实际气体的近似，特别是它不能描述实际气体的气液相变，所以对它有各种不同的改进。早期对理想气体物态方程最著名的改进，就是范德瓦尔斯方程，范德瓦尔斯因此获得1910年诺贝尔物理学奖。范德瓦尔斯方程所描述的气体称为范德瓦尔斯气体，简称范式气体。其最重要的改进就是包含有气液相变。
王竹溪研究了范式气体的一些性质，他采用的是改进和推广了的范德瓦尔斯方程。范德瓦尔斯方程包含了两个由实验确定的参数，对不同的气体数值不同。在改进和推广了的范德瓦尔斯方程中，还包含一个新的参数n。当n=0时，这个方程简化为范德瓦尔斯方程；当n=1时，这个方程简化为所谓的伯瑟洛（Berthelot）方程。
对于这个方程所描述的体系，王竹溪首先算出了体系的热力学函数。除了体积、压强与温度等状态参数，以及物态方程本身含有的三个参数，这个热力学函数还包含有积分常数。他要求当压强趋于零时热力学函数约化为理想气体的结果，用这个条件定出了积分常数。接着，他用这个热力学函数讨论了气体凝聚为液体的相变、气液两相共存的区域、等温膨胀过程的焦耳-汤姆孙（Joule-Thomson）效应及多种气体的混合。他还讨论了范德瓦尔斯方程两个参数与化学组分的关系。由于他采用的物态方程多一个参数，算得的焦耳-汤姆孙效应与实验符合的程度可以比范德瓦尔斯方程好。他选择不同的参数值，把算得的结果与洛布克（J.R.Roebuck）和俄斯特伯（H.Osterberg）1935年的实验结果进行了比较。
调整理论模型中参数的数值，使得计算结果尽量接近与符合实验数据，这种做法叫作拟合实验。用包含有一些可调参数的公式来拟合实验数据，这是实验家分析处理实验数据的重要步骤，也是理论家联系与结合实验的重要环节。如果用来拟合实验数据的公式没有任何理论依据，完全根据猜测，那么这样最后得到的公式就称为经验公式，它所表示的规律称为经验规律。例如，牛顿的万有引力公式与定律，其中的万有引力常数就是通过与实验观测数据的拟合确定的。
如果用来拟合实验数据的公式是根据某种理论推演出来的，那么这个公式与实验拟合的好坏就被用来作为检验理论的一个判据。一位真正和彻底的理论物理学家必须把他的理论与实验进行比较，也就是做这种拟合实验的工作。
对于范氏气体性质的研究这项工作，王竹溪完成于1945年2月，写成论文《范德瓦尔斯气体之数种性质》，发表于《中国物理学报》1945年的第6卷。
第十二节 热力学研究之平衡与稳定的理论
王竹溪在《关于勒夏特列与布劳恩原理》这篇论文中，引用了他当时尚未发表的论文《热力学中平衡与稳定之理论》，这是一篇长文，后来又放置和继续推敲了五年，一直到1948年4月才拿到《中国物理学报》发表。那时，抗战已胜利，西南联大已撤销，他随清华大学回到北平两年多了。一篇文章写好以后，先将它放下一段时间，而不是立即发出去，这是王竹溪的一个习惯，称为“藏拙”，让兴奋的头脑冷却下来，才能作出冷静的分析与判断。王竹溪处事的审慎，由此可知。
大家都知道，在上凸的球面上放一个小球，可以非常小心地找到一个平衡点，把它放住；但这极不稳定，稍有扰动，小球就会滚动。这是力学体系的平衡与稳定问题。用文火加热一壶平静、纯净的水，可以超过沸点还不沸腾，仍然保持水与水汽的平衡；但这个平衡是十分脆弱的，稍有微小的扰动，如撒入一些细沙，水就会突然暴涨、沸腾。这则是热学体系的平衡与稳定问题。
平衡与稳定可以说是热力学最基本的一个主题。平衡态趋向平衡的过程，达到平衡与稳定的条件，这是经典力学的基础与核心。这方面的研究也具有基本的意义，有可能在这门学问中留下一道永久的印痕。但是，这种机会并非对每一位研究者都是敞开的。具有基本意义的问题，多数都已经被热力学的开创者们透彻地研究过了。
关于平衡与稳定的问题，热力学的奠基人吉布斯和普朗克都已经仔细地研究过了。王竹溪的这项工作是对他们理论的改进、推广与应用。改进首先体现在理论的逻辑结构与推演方面。
水与水汽接触达到平衡时，首先，它们的压强必须相等，以保证没有宏观的运动，这称为力学平衡条件；其次，它们的温度也必须相等，以保证没有热量的传导，这称为热学平衡条件；最后，它们的化学势还必须相等，以保证没有相变和化学反应方程，这称为化学平衡条件。这是热力学体系达到平衡的三个必要条件，可以从热力学的基本原理普遍而逻辑地推演出来。
吉布斯进行推演时所用的主要是能量极小判据：在总的熵与体积保持不变时，体系的能量取极小。此处所说的“熵”是热力学中用来描述体系无序混乱程度的基本概念与物理量。而普朗克进行推演时所采用的是熵增加原理，所有的平衡与稳定条件都得自一个单独的判据：在总的内能和体积保持不变时，体系的熵取极大。王竹溪指出，吉布斯的理论普遍而完整，但论据不是十分直接，读者跟随起来相当困难；普朗克的理论表述非常清晰，但其数学处理相当繁重，因为在熵的表达式中温度出现在分母。
王竹溪倾向于普朗克的熵判据。因为对孤立系统来说，容易满足能量和体积不变条件，而很难保持熵为常数。但是这两个判据导致相同的结果，人们会自然想到数学上更方便的做法。吉布斯证明了这两个判据是等价的，但在他的证明中没有明确说出总体积不变这个条件，从熵定理出发推出了吉布斯判据，并且是考虑有限大小的变化。这个做法十分清晰、简洁，用他自己在论文中的话说，“我相信是更清晰地表现了基本的思想”。当然，这里没有对与错的分歧，王竹溪在这里追求的是思想的简单与逻辑的完美。
整个理论的关键是引入“化学势”的概念，这是吉布斯对热力学的一大贡献。对于氦氧混合气体这样的二元体系及包含多个组成单元的多元系，总的内能、体积和熵都与各种组元的成分相关。吉布斯在单元系热力学第二定律的公式中加入了与组元成分成正比的项，比例系数就是相应组元的化学势。在这样推广以后的理论中，体系总的内能和熵均与各组元成分有关。对内能而言，这个关系很容易从热力学第一定律得到。对熵而言，热力学第二定律本身并不能直接给出熵与组元成分的关系，实际的做法要用到“两相平衡时化学势相等”这一条件。王竹溪指出，这在实际上虽然解决了问题，但在原则上却不能令人满意。因为从逻辑推演的次序上看，在推出“化学势相等”这一条件之前，必须先引进和确定化学势。
王竹溪的论文从化学势的引入着手，根据单元的热力学第二定律，先定义每种组元的化学势，然后将半透壁（semipermeablewall）用于一个可逆绝热过程，证明了在容许两个多元系之间有物质交换时，总的熵也等于各个的熵相加，从而给出熵与组元成分的关系。这个证明同时也给出了“两相平衡时化学势相等”的结论。论文接着又简单地推出了均匀系统化学反应的平衡条件，半透壁可以让某一组元通过，但是挡住不让其他组元通过。例如，铂可以让氢通过而不让氧通过，生物细胞膜可让水分子通过而不让糖分子通过。普朗克在确定混合气体的熵时，就采用了半透壁这种设置。
再引入化学势和确定熵与组元成分之间的关系后，王竹溪接着从熵定理出发，推出了吉布斯判据。这样，他就对吉布斯和普朗克的理论在逻辑结构和推演上作出了改进。
接下来，王竹溪用一种简单的方法从吉布斯判据推导出任意多元系的平衡与稳定条件。为此，他用到了二次型为正的充分必要条件和在附加条件下求函数值的拉格朗日乘子法两个数学定理。对于后者，他在论文中给出了证明。而为了不同问题的需要，他将所得的稳定条件表达成多种不同的形式。
王竹溪的这篇论文的第三大部分，就是将得到的平衡与稳定条件运用于一些具体热力学体系的平衡与稳定问题。首先，他考虑二元系的平衡，将普朗克所得的方程表达成更对称的形式。接着，他将理论推广到多元复相系，得到了一组表达各个组元成分变化的方程。然后，他又将关于二元溶液的一般理论推广到包含有多种溶质的溶液。最后，他还将普朗克关于单元系不同共存相数目相对稳定性的理论推广到多元系的情形。
这是一项关于热力学基本问题的研究。这篇论文既表现了王竹溪在理论物理研究上的追求、风格和品位，也再现了他表述的简单、直接与完美。实际上，解决问题取得成功的做法在原则上未必能够完全令人满意和被完全接受，而对物理理论的这种态度和解析，既是一种追求的境界，也是不同品位的分野。而最能表现王竹溪在理论物理上的品位与追求的，还有他对重正化理论的看法。
在电子和光子相互作用的量子理论计算中，遇到了一些无限大。为了消除这些非物理的发散结果，可以在原始的理论模型中相应地引入一些无限大，使得它们与最后算出的无限大互相抵消，这种引入抵消项来消除无限大的做法称为重正化，是20世纪中期理论物理的一大进展，费曼、施温格和韩永振一郎因此获1965年诺贝尔物理学奖。这是迄今为止能够消除这些发散的唯一方法，并且得到了与实验在极高精度上符合的结果。王竹溪在跟随这一理论的进展时，曾经进行过很多重正化的演算。但他又多次指出：“重正化是耍赖皮，明明有一项无限大，它硬是被死皮赖脸地拿掉了！”这是在很小范围的讨论中说的，措辞未加修饰。确实，如果加入的抵消项有确定的数值，那么这就是在修正物理模型，是很正常的研究方法。但是如果这一项是无限大，则在物理与理论上都无法接受。物理学研究的对象是实在的，从而也是有限的；无限是数学研究的对象。
狄拉克的看法与此十分类似和接近：“人们能够找出一些抛弃无限大的规则。然而，即使根据这些规则得出的结果与观测符合，但毕竟是人为的规则。”狄拉克所说的“抛弃”与王竹溪所说的“拿掉”是一个意思，均是指非自然的手工操作，而理论家的最高追求恰恰是消除这些手工操作的痕迹。重正化的创立者费曼本人也说过：“我们弄明白了，借助某种生硬的技巧，有可能将那些无限大藏到地毯下，而暂时我们仍然能够继续作计算。”费曼追求的同样是理论的优美。将理论物理看作一种优美的学问，还是一套娴熟的技巧，这则是两种文化的分野，技巧可以训练与学习，学问只能靠个人的悟性与环境的熏陶，大师不是培训出来的。
在20世纪初的那一代物理学家中，玻恩是数学功底最好也是最注重数学的结构与形式表述的一位，玻尔则完全欣赏物理的直观与直觉。王竹溪显然是玻恩的类型而不是玻尔的类型。1925年7月，玻恩曾经邀请泡利合作一起研究量子力学。泡利认为过多的数学形式会淹没真正的物理，因而拒绝玻恩的邀请，从而失去了直接参与创建量子力学伟业的机会。数学是物理学的语言，不仅物理理论之美离不开数学，物理学的深沉理解也同样植根于数学。大家知道，相对论是闵可夫斯基（Mikowski）空间的物理，量子力学是希尔伯特（Hilbert）空间的物理，对量子力学的深入理解正是大数学家冯·诺依曼（J.Von Neumann）完成的。
看王竹溪的论文与看狄拉克的论文一样，可以一步一步地跟下来，叙述简单明了，思路清晰可循，没有思路与逻辑推演的跳跃与省略，简单与清晰也是一种美。现在写论文，跳跃与省略成了惯例，很少考虑多数读者能否跟得上，主要面对同行并在同一领域研究的读者。时代不同，文化也不同，现在看论文往往是辛苦的事，而看王竹溪这样的论文就是一种享受。
第十三节 开创论文名震后世
在清华大学理学院建立初期，为了开展应用研究，除了土木工程系外，在理学院设立了农业研究所。1936年，清华大学成立特种事业筹划委员会，增设无线电研究所和航空研究所；抗战开始后又设国情普查研究所和金属研究所；1939年成立特种研究所委员会，领导上述五个研究所。1940年前后，农业、金属和无线电三个研究所迁到昆明北郊大普集村不久，金属所的余瑞黄教授发起在三个研究所的部分同人，和家住在附近梨园村在联大教课的朋友，每月定期（星期天）在大普集村与梨园村之间的一家茶馆聚会，每人轮流报告自己的工作或进行专题讨论，每次聚会结束时推举下一次的召集主持人。当时余瑞黄刚从英国回来不久，他在第一次聚会上说：“英国皇家学会（The Royal Society， London）是由少数几个热心的科学家以友谊集会学术交流的方式开始的。”因此，这个聚会也被戏称为“中国皇家学会”。这个聚会的参加者有吴有训、任之功、余瑞黄、范续筠、孟昭英、赵忠尧、黄子卿、华罗庚、王竹溪、赵九章、殷宏章、娄成后、汤佩松、张文裕、戴文赛等十五人左右，包括数学、物理、化学、天文、地球、生物、无线电等科学技术领域，促成了不同学科的交叉与合作。其中一项就是王竹溪与汤佩松合作对植物细胞水分关系的研究。
细胞如何与外界交换水分，是生理学领域中最基本的问题之一，这涉及细胞壁内外的水分穿过细胞壁的流动与平衡。考虑一个浸泡于水中的孤立活细胞，细胞壁可以让水分自由地通过，但细胞原生质的膜具有半透性，只让水分通过不让溶质通过。所以，从物理上看，这是一个复杂而精细的流体力学系统。一个实际的流体力学系统，既要考虑流体的动力学，也要考虑流体的热力学。如果略去动态过程，这就只需要考虑静力学，将它当作一个单纯的热力学体系，运用热力学的基本理论。
根据热力学的基本理论，一个热力学体系达到平衡，意味着力学、热学、与化学三个方面均达到平衡。力学平衡的条件是双方的压强相等，热学平衡的条件是温度相等，而化学平衡的条件是化学势相等。如果偏离了平衡，流体将从压强高的一方流向低的一方，热量将从温度高的一方传向低的一方，而吉布斯自由能将从化学势高的一方传向低的一方，即从化学势高的一相转变为低的一相，直到达到平衡为止。此处所说的“吉布斯自由能”是吉布斯引入的一个热力学概念，也称为吉布斯函数。
在细胞生理学实验中，通常是保持温度恒定来观测细胞的各种生理变化的。从物理上看，这就是在达到热学平衡的前提下研究趋于力学和化学平衡的过程。在科学史上，力学的发展早于热学的发展。在实验技术上，力学的测量也比热学的容易实现。所以，生理学家测量细胞内外的压强，逐渐形成了一些关于压强的概念，并希望从中找出经验的规律。
压强的概念虽然简单、直观，但是因素复杂。由于细胞原生质的膜是一种半透膜，在其内外存在溶质的差异，半透膜与细胞壁都不是平面，液体表面张力会产生与曲率有关的附加压强，细胞内外液体的组元成分不同，各种组分贡献的分压也不同。这就使得压强的描述十分复杂，很难发现简单的经验规律，并且容易造成概念和术语上的混乱。而化学势的概念虽然抽象、不直观，但比较简单，且容易运用，特别是对于水分关系这样单纯的问题。以下是汤佩松与王竹溪合作写出的论文的第一段话。
渗透压计的简单概念，已经方便地运用于水分对动物细胞的渗透性，以及研究植物细胞的水分关系。虽然这个概念对这些研究是有用的，但在分析植物水分关系时，术语“膨胀压”、“吸水压”、“壁压”、“渗透压”等运用的混乱表明，用别的方法或许可以把活细胞水分处理得更加清晰透彻。在这方面，我们借助于热力学的确定关系，分析了水分穿过孤立活细胞的运动。
“处理得更加清晰透彻”，这正是狄拉克所说的用简单的方式来理解复杂的事情，这也是王竹溪在清华的学生时代就开始的偏爱与追求，是他的拿手专长。为了做到这一点，汤、王二位与当时植物生理学界的传统和时尚不同，他们不是用简单的力学，而是采用更高层次的热力学作为分析处理的理论基础和出发点，从而将整个问题纳入一个简单而统一的概念框架之中。
论文首先分析细胞膨胀的三个不同阶段，写出了各个阶段力学平衡的压强关系。随着细胞原生质的胀大，原生质与细胞壁二者的表面张力相继对原生质产生附加压强，使得水分压强在原生质与细胞外产生落差。接着讨论渗透平衡或化学平衡的条件，根据吉布斯自由能取极小的判据，一步一步详细地推出了达到平衡时细胞内外水分化学势相等，化学势不相等时水分将从化学势高的一方流向化学势低的一方的结论。
于是，汤、王二位在论文中明确提出，水分化学势在细胞内外的差，可以作为水分是倾向于流入或流出细胞的量度，他们将这个水分化学势的差称为细胞水分流动的趋势，并指出这相应于通常文献中说的“吸水压”、“吸水力”及“扩张压亏损”。不过，这个量并不等于水分在细胞内外的压强差。在理想溶液近似下，他们推出这个量正比于细胞内外水分蒸汽压差的对数。由此可以看出，压强并不是用来描述细胞水分关系最直接和恰当的概念。
但在实验上研究和处理活细胞水分关系的传统做法，还是利用压强概念画出体积-压强图。所以，他们从细胞内外水分化学势相等（即细胞水分流动的趋势为零）这一条件出发，又推出压强对体积的变化关系，据此讨论细胞膨胀各阶段压强随着体积增大而上升的情形。进一步，他们还根据哈维（E.N.Harvey）1932年的观察，假设表面张力系数与表组织的增加成正比，给出了两个可以通过实验来检测的公式。
汤、王合作的这篇论文于1940年8月投给美国《物理化学杂志》，发表于次年的第45卷，题目是《孤立活细胞水分关系的热力学形式》。文章问世后，没有得到响应，用汤佩松的挚友费孝通的话来说，“却如石落深山”。
十多年后的1956年至1958年间，中国植物学界有过一次关于植物细胞水分运动的讨论。这次，汤、王二位再次联手，为了检验和验证他们的热力学理论分析，汤佩松与梅慧生用浸泡在蔗糖水溶液中的马铃薯做实验，在恒温下测量不同浓度的糖水中马铃薯的膨胀。里昂（C.J.Lyon）在1936年做过同样的实验。王竹溪则是先把汤佩松与他的理论从细胞浸泡在水中的特殊情形推广到浸泡在一般溶液中的情形，接着将理论表述成通常惯用的“渗透压”形式。他在讨论渗透压近似公式的适用范围之后，进一步具体分析和处理里昂和汤-梅的实验数据，最后画出了实验测得的膨胀压图。于汤、王二人1941年的两个近似公式，但数据精度不高，看不出哪一幅图更接近线性关系，因而实验还不能判别哪一个公式更好。
这里又一次表现了王竹溪对实验工作的熟悉和对实验家的尊重。植物生理学在当时还是以观察和实验为主的实验科学，压强是在实验中最直接的观测量，通过对温度、压强、体积、浓度等观测量的测量，才能计算出水分化学势。化学势是抽象的理论概念，实验家倾向于压强概念是十分自然和可以理解的，这就像在光学里，实验家多用波长的概念，而理论家则更偏爱波数和波矢量的概念一样。为了将理论与实验联系和比较，王竹溪不仅推出了渗透压的近似公式，还作了许多通常属于实验工作的数据分析与推理。在分工越来越细的今天，兼通理论和实验也越来越难了，这才有了李政道的“物理学家二定理”：“没有实验物理学家，理论物理学家就要漂浮不定；没有理论物理学家，实验物理学家就会犹豫不决”。
王竹溪将这项研究的结果写成论文《关于植物细胞吸水的热力学理论》，在1958年的《科学记录》中文版与英文版上同时发表。在面向国内读者的中文版中，论文中植物细胞吸水的热力学理论和渗透压的近似公式写得更详细。汤、王的实验数据发表于1957年的《植物生理学报》。遗憾的是，汤、王二位这次的努力仍然没有得到响应。
两年后，与汤、王相同但独立地，斯莱梯耶（R.O.Slatyer）和泰勒（S.A.Taylor）在英国《自然》杂志上著文，提出用水分化学势描述植物含水状态，用水分化学势梯度描述植物细胞水分运动的趋向和限度。六年后，即1966年，克拉默（P.J.Kramer）等人进一步在美国《科学》杂志上发表文章，肯定和完善了水分化学势的描述体系。自此，用水分化学势描述植物水分关系的热力学体系才取代了用压强描述的力学体系，成为植物生理学界的主流。现在，植物生理学界将水分化学势简称为水势。从1941年到1966年，汤、王二位的工作整整超前了四分之一世纪！
科学在人类社会中传播与普及的现象和规律，与科学本身同样有趣和值得研究。这方面还没有系统的学说和理论，只有一些散见于各种书籍文献中的零星叙述和归纳。例如，经常被人戏说的普朗克原理，“一些重要的发明创造，很少是通过逐渐争取和转变他的对手获得成功的，扫罗（Saul）变成保罗（Paul）是罕见的事。一般的情况是，对手们逐渐故去，成长中的一代从一开始就熟悉这种观念。这是未来属于青年的又一实例”。汤、王二位的工作超前的四分之一世纪时间，在科学上足足经历了几代人的成长与交替。
在19世纪与20世纪之交，普朗克与吉布斯完成的热力学，在生理学家当中的传播与普及，经历了半个多世纪。汤佩松能够超前，是因为他在大学阶段就辅修了物理和化学，有比他的前辈和同辈好得多的物理特别是热力学基础，而他做研究生选择约翰·霍普金斯大学的一个原因，就是因为在那里，利文斯顿（Livingston）在探索渗透压原理及其在水分关系中的作用等问题中所用的物理化学方式吸引了他。王竹溪则是率先从物理学领域进入生理学领域的一位先驱。众所周知，波动力学的创始人薛定谔也在那前后进入生命起源的探索，写出了影响几代人的《生命是什么：活细胞的物理学观》。物理学在发展成熟之后，逐渐向其他自然甚至社会、人文科学领域渗透、传播和普及，成为当代真正文化的主体与核心，这已是不争的事实。
第十四节 淡泊明志宁静致远
1918年4月，在柏林物理学会为普朗克60岁生日举办的庆祝会上，爱因斯坦有一篇演讲，其中一段是关于“探索的动机”。在这篇演讲里，爱因斯坦对这个题目作了一个精彩的说明。他说，在科学的殿堂里有许多楼阁，住在里面的人各式各样，而引导他们到那里去的动机也各不相同。有许多人爱好科学，是因为科学给他们带来了在智力上超过常人的快感，科学是他们的一种特殊娱乐，他们在这种娱乐中寻求生动活泼的经验，和对自己雄心壮志的满足。换言之，他们将科学殿堂当作竞技场，当成显示他们功力的场所。
爱因斯坦接着说，在这座殿堂里，另外还有一些人，他们将自己智力的产品奉献到祭坛上，则是为了纯功利的目的，亦即科学殿堂是他们的名利场，研究科学是为了成名或赚钱。
爱因斯坦说，如果科学殿堂里只有这两类人，那么这座殿堂绝不会存在，正如只有蔓草不能成为森林一样。爱因斯坦指出，还有一类人，将他们吸引到科学殿堂中来的力量，首先，就像德国哲学家叔本华所言，是要逃避日常生活中的庸俗与沉闷，是要摆脱各种欲望的桎梏。一个修养有素的人，总是渴望逃避世俗生活，而进入理性知觉和思维的境界。这就好比城里人总是想逃避熙来攘往的喧哗，而到深山去享受幽寂与宁静。
除了这种消极的动机外，爱因斯坦说，还有一种积极的动机，人们总是希望以最适合自己的方式，画出一幅简单而可以理解的世界图像，然后就用这个体系来代替和主宰经验的世界，以此作为感情生活的中枢，找到个人的经验中所不能找到的宁静和安定。这就是画家、诗人、思辨哲学家和自然科学家各自按照自己的方式去做的事。
爱因斯坦最后说，决定他们的世界体系的，是在现象和理论原理之间的先天的和谐。渴望看到这种先天的和谐，是无穷的毅力和耐心的源泉。促使人们去做这种工作的精神状态，与宗教信徒和恋爱中的人相似，他们每日的努力并非来自于预先设定的目标或计划，而是来自于激情。爱因斯坦说，普朗克就是这样的一位物理学家。
由此可知，王竹溪也是这样的物理学家。这类人有点像出家的修行者，也有点像坠入爱河的恋人。对他们而言，科学是他们的兴趣所在，是他们精神和感情生活不可或缺的一部分，研究科学是他们修炼、完善自我或倾注自己情感的一种方式和过程。他们为自己营造的精神氛围与物质环境都晶莹、剔透、典雅、高尚，俗称“象牙塔”。
西南联大的校园景观，远远比不上它南面翠湖边上达官显贵们一幢一幢的豪宅和花园洋房。教授们的寓所偏僻、破旧，生活常无隔日之炊。然而，他们却是生活在融学术与抗战于一体的一座特殊的象牙塔里。荒凉冷落、杂草丛生的荨麻巷，因为有他们居住，就成为“文化巷”，此乃文化之影响与力量。
王竹溪属于营造象牙塔的高尚的一群，他淡泊宁静，志在科学，默默追求，他追求的是真、善、美，是人类社会共同永恒的主题。
