第一节 狄拉克推荐师事福勒
东西文化，荟萃一堂。邃密群科，求真探美。
——清华校歌
人与自然的和谐是自然科学的主要追求，也是物理学的主要追求。物理学是真实、完善、优美的化身。求真、求善、求美，构成了物理学追求的最高境界。在这种追求中，物理学家同时也在修炼和成就自己心灵的真、善、美。
1934年夏天，王竹溪考取了第二届“中美庚款”（即清政府对“八国联军”的庚子赔款，美国后来把这笔钱退还中国，用作办清华和选派赴美留学生的费用），准备在研究生毕业后出国留学。
狄拉克在与薛定谔分享了1933年的诺贝尔物理学奖之后，1934年到1935年到美国普林斯顿（Princeton）高级研究院做访问学者。工作结束后，他到加州大学伯克利分校（Berkeley）奥本海默（J.R.Oppenheimer）处作短暂停留访问，然后与海森伯一同乘船赴日本，在日本访问结束后，1935年7月应邀访华。来到北平，他在清华大学分别以《电子理论》和《正电子理论》为题作了两次演讲，这是使他获得诺贝尔奖的主要工作，当时由学校指定王竹溪做笔记。演讲完毕后，狄拉克将笔记拿来仔细阅读，感到很惊奇，从内心钦佩这个做笔记的学生，因为要做好这样的笔记，不仅要有相当的物理知识，还要有过硬的英语功底。狄拉克连连伸出拇指，称赞中国竟有如此优异的人才。通过一段时间的接触，狄拉克了解到王竹溪已考取了留美学生，但要求到英国剑桥大学学物理。在这次活动中，狄拉克和王竹溪发现，他们既有学术上的共同语言，又在业余活动方面有着同样的兴趣：下围棋，研究棋谱。狄拉克这下算遇到了知音，因此两人结为知心朋友。同时，狄拉克还得知王竹溪在清华读研究生期间发表过有关流体力学湍流问题的出色论文，因此答应推荐王竹溪到英国剑桥大学留学，介绍王竹溪到他的导师、世界著名统计物理学开拓者之一福勒（R.H.Fowler）教授门下做物理博士研究生。
了解狄拉克的人都知道，他十分内向，习惯独自一个人推理、演绎和思索，极少与人合作。他一生发表的两百多篇论著中，只有早期的四篇论著有合作者，而其中三篇发表于1933年以前。
剑桥大学的一位流体力学专家审阅了王竹溪的论文《旋转体后之湍流尾流》，给予了“有水平”的评价。于是，王竹溪的留学机会就从留美转为留英，具体落实到了剑桥大学。
剑桥大学（University of Cambridge）位于英格兰的剑桥镇，是英国也是全世界最顶尖的大学之一。英国许多著名的科学家、作家、政治家都来自于这所大学。剑桥大学也是诞生最多诺贝尔奖得主的高等学府。剑桥大学和牛津大学（University of Oxford）齐名，为英国的两所最优秀的大学，被合称为Oxbridge。剑桥大学还是英国的名校联盟罗素集团（Russell Group of Universities）和欧洲的大学联盟科英布拉集团（Coimbra Group）的成员。
这次，王竹溪梦寐以求的愿望达到了，他从此登上了一个更高的新台阶。
第二节 绕道苏联奔赴剑桥
1935年8月，秋高气爽，王竹溪满怀希望，踏上了出国留学的路途。当时，坐火车穿越西伯利亚，是那个年代去欧洲最省钱、最方便的途径。西伯利亚大铁路一直通到中国“东三省”，而当时“东三省”属于“满洲国”，在山海关要办理入境手续，在哈尔滨停留和备足八九天的干粮，从满洲里出关后，就进入了苏联的远东地区了。
当时与王竹溪一同出国的有乔冠华、季羡林、谢家泽、梁祖荫等，他们均为清华的同学。乔冠华到德国学哲学，后来任外交部长；季羡林到德国学梵文，属于清华和德国交换的研究生，后来与王竹溪一同做过北大的副校长。
当时，他们乘坐苏联经营的西伯利亚火车，9月4日从哈尔滨出发，第二天到满洲里，进入苏联后一路奔驰，9月14日晚抵达莫斯科。车上卧铺四人一间，六个中国学生分住两间，其中一间有两个铺位经常换客。下棋成了一路上娱乐的主要方式，王竹溪自然成了这个棋坛的擂主，无论是“一对一”还是“一对多”都所向披靡。后来，季羡林回忆说：“哲学家乔冠华的哲学也帮不了他的忙。在车上的八九天中，我们就没胜过一局。”按说他们都是清华园里出类拔萃的高才生，论谋略未必就不敌王竹溪，王竹溪的长处是具有数学家的严谨和细致缜密，外加超人的记忆力。
抵达英国后，王竹溪凭借过硬的考试成绩和狄拉克的鼎力推荐，顺利通过剑桥大学的考核，福勒同意接收王竹溪做博士研究生进行统计物理学方面的研究。
当时狄拉克推荐王竹溪跟随福勒，既看出了王竹溪的数学天赋与风格，也看出了王竹溪更适合于做统计物理这种有冗长、复杂的计算且需要耐心的工作。人生之旅复杂多变，充满了机遇与挑战，是一个不断选择的过程。王竹溪在人生的这个重要时刻幸会和结识了狄拉克，而狄拉克则帮他作出了到剑桥跟随福勒进行统计物理研究的选择。当然，美国是统计力学奠基人吉布斯（J.W.Gibbs）的故乡，又有像乌伦贝克（G.E.Vhlen-beck）这样从欧洲移居到美国的新一代统计物理学大师。中国的两位著名物理学家王承书（1912—1994）与王明贞（1906—2010）均是师从乌伦贝克进行统计物理研究的。不过，倘若没有遇到狄拉克，而是到美国留学，王竹溪很有可能就不是进行统计物理研究了。
与牛津大学相比，剑桥大学的自然科学占有更大的优势，曾培育出七十多位诺贝尔奖得主，差不多是美国哈佛大学和耶鲁大学两校之和。“我现在已成为剑桥大学的一名学生，我要刻苦学习，致力于剑桥的发展，以剑桥为荣。”每一位剑桥学生，都会牢牢记住入学时宣读的这一誓词。
第三节 中国同学相处情深
1934年，考取第二届“中英庚款”的有26人，其中学物理的还有钱临照、李国鼎、张文裕等。
钱临照（1906—1999）是江苏无锡人，1906年出生，1929年毕业于上海大同大学物理系。1934年抵英后，他在伦敦大学学院先后进行流体力学和晶体范性形变的实验研究，他是从北平研究院物理研究所出国的。1937年回国后，他成为我国金属范性形变和晶体缺陷研究及物理学史研究的奠基人之一，1955年当选为中国科学院第一批学部委员。
李国鼎（1910—2002）是江苏南京人，1930年毕业于中央大学物理系。1934年赴英，在剑桥著名的卡文迪许（Cawendish）实验室做研究，1937年回国，从事高等教育与行政工作。1948年到中国台湾，他曾任中国台湾的财政部长、经济部长，是中国台湾地区经济腾飞的主要规划者、决策者和实施者之一，被誉为中国台湾的“科技教父”。
张文裕（1910—1992）是福建惠安人，1927年入燕京大学物理系，1933年获硕士学位。1935年，他到剑桥大学卡文迪许（Cawendish）实验室师从卢瑟福（E.Rutherford）。1938年回国后在四川大学和西南联大任教。1943年赴美，先后在普林斯顿大学和普渡大学做高能物理实验。1956年回国，曾任中国科学院高能物理研究所所长，1957年当选为中国科学院院士。
这时期在英国留学期间与王竹溪相识的同学还有初大告、蔡星洲、蔡五常、柳圣和、干毅、唐君伯、张宗燧、周长宁、席与和、席与中、吴中贤、吴征铠、戴文赛、叶和才、李旭旦、华罗庚、马仕俊等。
蔡星洲与蔡五常兄弟，来自新加坡，星洲学数学，五常学工程。王竹溪在1938年夏回国途中到新加坡，曾受到他们兄弟二人的招待。柳圣和后来在昆明与英国传教士办的惠滇医院院长埃文斯（M.Evens）牧师的女儿结婚，1943年还见过王竹溪。干毅于1936年到剑桥读机械工程，与王竹溪共同听过工学院高级讲师伦敦（Lodon）的“弹性力学”，回国后曾任华中理工大学的教授。席与和、席与中是上海来的孪生兄弟，在剑桥大学读本科。
吴中贤是湖北汉川人，1913年生于上海，1913年毕业于金陵大学化学系。1934年，他考取“中英庚款”，到剑桥跟随萨瑟兰（G.B.Sutherland）做光谱研究。他回国后先后任职于湖南大学、浙江大学、复旦大学、中国科学院原子能研究所等，曾任第二机械工业部科技局总工程师和中国光谱学会理事长，1981年当选为中国科学院学部委员。
戴文赛（1911—1979）是福建龙溪人，1932年毕业于福建协和大学数理系，1940年获英国剑桥大学博士学位。1941年回国，先后任职于中央研究院天文研究所、燕京大学、北京大学、南京大学，是南京大学天文系首席主任。他致力于太阳系演化的研究，提出了“宇观”这一概念，提出了按照中国二十四节气来修改现行阳历的建议。
华罗庚（1910—1985）是江苏金坛人，1925年毕业于金坛初中，1931年到清华算学系。美国著名数学家维纳（N.Weiner）来华任教，华罗庚跟他学傅里叶（Fourier）分析，得到了他的器重。1936年，华罗庚获中华文化基金会资助出国进修，维纳将他推荐给著名数学家哈代（G.H.Hardy）。他1938年回国，1946年赴美，1950年回国，曾任中国科学院数学研究所所长和中国数学学会理事长，1955年当选为中国科学院第一批学部委员。在剑桥时，他与王竹溪住在一起，他住楼上，王竹溪住楼下，离干毅的住处不远。
张宗燧（1915—1969）是浙江杭州人，1934年毕业于清华大学物理系。1936年，他到剑桥师从福勒做统计物理，是王竹溪的师弟。1938年秋，他去丹麦玻尔（N.Boar）和瑞士泡利处工作，研究方向转向量子场论，同时仍做统计物理。1940年春回国，任职于重庆中央大学物理系。1945年冬再赴剑桥，成为第一个在剑桥大学开课的中国人，1947年秋去美国普林斯顿高级研究院和卡耐基工学院。1948年冬回国，先后任北京大学和北京师范大学教授，1956年调入中国科学院数学研究所，曾任物理室主任，1957年当选为学部委员，在“文革”中含冤辞世。
马仕俊（1913—1962）生于北京，1935年获北京大学物理系学士学位。1937年，他考取“中英庚款”，到剑桥跟随海特勒（W.Heitller）做介子场论，1941年获博士学位。他回国后任教于西南联合大学，杨振宁和李政道都曾是他的学生，杨振宁对场论的兴趣就来自他的影响。1945年，马仕俊到美国普林斯顿高级研究院，1947年起先后在都柏林高级研究院、芝加哥大学物理研究所和加拿大国家研究室学习和研究。由于不能忍受美国移民局的种族歧视，他于1953年去澳大利亚，在悉尼大学物理系任教，因思念故土而找不到归国的途径，他在极度忧伤的心情中辞世。马仕俊是王竹溪在英伦众多同学中后来学问最出众而人生最悲怆的一位。
故土与乡情的观念属于文化的一部分，人到国外，改变的不仅是生活环境，也进入了一个新的文化氛围，这就是所谓的“文化冲击”（culture shock）。生活环境很容易适应，特别是由一个艰难的环境换到一个轻松的环境。文化的适应却很困难，因为文化需要自小长期的培养与熏陶，不可能一蹴而就。儒家文化崇尚“君臣父子”的人伦关系，把每一个人紧紧束缚在他的社会关系之中。身在异乡的中国人，也总是要在那里重建关系，而失去这种关系，就会产生失落的痛苦。西方文化崇尚人与自然的协调，认为人走到哪里都处于同一个上苍赐给的世界中。
其实文化本身也处于不断的变动之中，20世纪的华夏大地，文化经历了几次巨大的变化，形成了有如地质上的断层。像张宗燧这样深受传统观念熏染与栽培的一代，有多少因为这种变化而遭受人生悲剧的啊！
第四节 狄拉克之于物理学
除了中国同学，王竹溪在剑桥接触最多的，当然还是英国人和其他各国来的留学生。他后来一再教育他的学生，到国外留学一定要尽量多地接触外国人，争取融入他们之中。这既是学习与研究的需要，也是为了应对与化解所面对的文化冲击。在剑桥三年中，王竹溪与狄拉克成了好朋友。除了在学习与研究中向狄拉克请教并与之讨论外，他还是狄拉克的棋友，并经常在周末随狄拉克驱车到郊外享受大自然的优美开阔与宁静恬淡。
狄拉克比王竹溪年长9岁，1902年出生于港口城市布列斯托（Bristol），父亲是瑞士人，母亲是英国人。他能讲地道流利的法语，1918年进布列斯托大学，1921年获电气工程学学位，1923年获应用数学学士学位，同年转到剑桥大学圣约翰学院，1926年获博士学位，导师是福勒。1926年至1927年在哥本哈根大学和德国哥廷根大学。1927年至1969年在剑桥大学，期间1930年至1931年在普林斯顿大学，1934年至1935年在普林斯顿高级研究院，1932年成为剑桥大学圣约翰学院成员和卢卡斯数学教授，1930年成为英国皇家学会会员。1969年，他移居美国，在佛罗里达州大学，1984年长逝。
剑桥大学卢卡斯讲席的第一任是牛顿（I.Newton）的老师巴罗（Barrow），第二任是牛顿，狄拉克的前任是著名的拉莫爵士（J.Larmor），而狄拉克的后任者中有当今大红的霍金（S.Hawking）。狄拉克是对20世纪物理学发展有巨大贡献和影响的大物理学家。杨振宁曾经不止一次谈到，爱因斯坦、狄拉克与费米（E.Fermi）是他在中国做学生时就最佩服和仰慕的三位近代物理学家。狄拉克对物理学的主要贡献，是创立和发展量子力学。作为20世纪物理学两大理论支柱之一的量子力学，是于1925年至1927年创立的。量子力学的创立有三条不同的路线，殊途同归：第一条路线是属于以玻恩为代表的哥廷根学派的，第二条路线是属于德布罗意和薛定谔的，第三条路线是狄拉克一个人单独完成的。1925年7月28日，海森伯在剑桥的卡皮查（Kapitza）俱乐部演讲，题目是《谱向动物学与塞曼植物学》。在演讲后的私下交谈中，他向英国物理学家解释了他关于量子力学的想法。9月初，福勒把海森伯的论文副本寄给他在度假的研究生狄拉克，使狄拉克得以了解海森伯的最新工作进展。狄拉克从福勒的讲课和索莫非的教科书《原子结构和光谱》中已经学过哈密顿力学变换理论。他假设在微观系统的力学中代表观测量的量是不同于经典力学中的一种量的量。一般地说，彼此不对易，立即在对应原理的指导下从以经典力学柏松括号的对应，得到了与玻恩、约旦两个人的文章相同的结果。接着狄拉克进行了系统、深入的研究，与玻恩、海森伯和约旦小组独立地创立了量子力学，论文发表于《伦敦英国皇家学会会刊》。
在创立量子力学后，狄拉克于1926年与费米独立地指出用完全反对称波函数描述满足泡利不相容原理的电子体系，创立了量子统计力学中的费米-狄拉克统计法。此后，他提出了电子的相对论性波动方程（1928年）和电磁辐射的量子理论（1927年），并于1932年进行了创立量子电动力学的先驱性工作。
除了上述在物理学史上具有里程碑意义的几个奠基性工作，狄拉克在理论物理学研究中提出的许多独到和深邃的物理思想，对20世纪物理学发展产生了巨大影响，成为物理学研究在许多重要方面的思想源泉和出发点。为了消除狄拉克方程的负能解，他提出真空是所有负能态被电子填满的态，这意味着真空并不是一无所有的，而是具有复杂的物理结构的，引起了后来量子场论和高能物理对物理真空持久而又深入的研究。同时，狄拉克在这个负能解问题的研究中的正反粒子概念，成为量子物理概念的基础，开始了粒子物理中动力学对称性的研究。1933年狄拉克在与经典力学作用量原理类比的基础上提出的量子力学作用量原理，成为20世纪40年代末费曼为解决量子电动力学的发散困难而提出的量子力学路径积分形式的基础。1931年狄拉克对磁单极的研究，成为20世纪70年代初胡夫特（G.Hooft）与伯利亚科夫（A.M.Polyakom）研究非阿贝尔（non-Abelian）规范场中单极子的量子力学对应。1948年狄拉克提出的具有奇异拉格朗日（Lagrange）函数的系统量子化方案则可联系到20世纪60年代末法捷耶夫（L.D.Faddeev）用路径积分解决规范场量子化的工作。而他在广义相对论和宇宙论中提出的大量假设，引起了这一领域科学家极大的兴趣。
狄拉克身材颀长，性情温和，沉默寡言，言简意赅，思想深邃而逻辑清晰简洁。他话不多，你问他三句，他回答一句。一次，他到一所非常出名的学校演讲，讲完后，主持人说：“你们有什么问题可以问狄拉克教授。”有位同学站起来问：“刚才您在黑板上写的那个方程我看不懂。”狄拉克没有回答，于是主持人问：“狄拉克教授，您可不可以回答这个问题？”狄拉克说：“那不是一个问题。”他在另一次演讲中，经过系列讨论最后得出了一个结论，讲完后，一位同学站起来说：“我没有听懂这一点，您可不可以再解释一下？”狄拉克又解释了一下，那位同学说：“您现在的解释与刚才的解释完全一样。”狄拉克说：“对了，因为这是最好的解释。”一次在英国开会，一位从欧洲大陆来的物理学家到得较早，看到会场中只有狄拉克一人坐着，想到英国人寒暄总是从天气开始，于是道：“外面风真大！”狄拉克未接话，站起来去外面看了看，回来坐下才说：“外面风确实很大。”在得知获诺贝尔奖后，为了避免在媒体曝光成为公众人物，狄拉克曾打算拒绝瑞典人给的这份荣誉，是卢瑟福说服了他，卢瑟福说：“你如果拒绝授奖，那么就会成为更加轰动的公众人物！”
在狄拉克读过陀思妥耶夫斯基的《罪与罚》之后，卡皮查问他喜不喜欢，他回答：“很好！不过有一章作者错了，他描写太阳在同一天里升起了两次。”狄拉克追求真、善、美，在物理上尽力用简单的方式去理解困难的问题，不能理解像文学家那样为了营造一种氛围而采取的夸大事实的描写。他每发表一篇短短几页的论文，演算的算稿总要有厚厚的一摞，直到找到一种最好的结果和一种最清晰、最简洁的表述。他的文章没有一点瑕疵，英文里有一个形容词“classical”（经典的），但只有一个名词“quantun”（量子），而没有相应的形容词，狄拉克对此不是很满意，于是自造了一个形容词“quantal”（量子的）。为了清晰、简洁地表述态矢量、观测量算符和波函数之间的关系，他在《量子力学原理》第二版中引入了一套括号和规则，到第三版正式定型，成为物理学家熟知的狄拉克括号。与此同时，为了叙述狄拉克括号，他又自造了两个新词“bra”和“ket”（合起来就是“bracket”一词）。为了叙述、区分可对易的经典的数与不可对易的量子的数，他引入了c-数与q-数等，看狄拉克的文章就像听贝多芬和莫扎特的音乐一样，绝对是一种享受。为了把“bra”和“ket”译成中文，我国老一辈物理学家建议用“刁矢”和“刃矢”，后来又有人用“彳矢”和“亍矢”，以保留和体现狄拉克造这两个词的精神，终究没有流行，这就像对于“邮政编码”这个词一样流行的就简称含义不清的“邮码”，而不是单独使用也有清楚意义的邮码。
杨振宁多次指出，狄拉克的物理学有他非常特殊的风格，他把量子力学的结构牢牢记在心中，然后用非常清晰和简单的逻辑，你跟着他走觉得轻松自如，非这样不行。狄拉克对问题的看法也常常能一针见血，他的出发点都是一些简单的不能再简单的理由和事实，他的逻辑与别人的不一样，但是非常有吸引力。你跟着他走了一步，就觉得非跟着他走下去不可，最后得出一个非常稀奇的结果，却是没有人能预先想到的，会使你吃惊得目瞪口呆。
杨振宁将这种情况称为“神来之笔”，就像“秋水文章不染尘”，没有任何渣滓，直达深处，直达宇宙的奥秘。当时极负盛名的海森伯看了狄拉克的文章，为狄拉克有如此“神来之笔”惊叹不已。狄拉克一生从事纯理论研究，从未参加过军事研究，他对文艺、哲学很少关心。在他看来，物理本身就是一门艺术，他性格内向，不擅社交，喜欢独自工作。
对比王竹溪和狄拉克，可以看出许多相似的地方，例如，数学功底踏实而深厚，思想清晰而深邃，逻辑严谨而缜密，措辞自然而准确，表达流畅而简洁，追求理论体系的简单与完美。真、善、美同样也是王竹溪的刻意追求，这种相似有的是来自狄拉克对王竹溪的影响，而更多的是因为他们有共同的天赋。王竹溪的气质、禀赋与风格更接近玻恩、薛定谔与狄拉克。
第五节 福勒其人福勒学派
狄拉克在布列斯托大学时，正值“欧战”刚刚结束，爱丁顿（A.Eddinton）组织观测队分赴非洲与巴西拍摄日全食的照片，验证了爱因斯坦光线在太阳附近发生偏折的惊人论断。爱丁顿时任英国皇家学会会长，狄拉克从布列斯托转入剑桥，就是想跟爱丁顿研究相对论，没有得到机会，他改变初衷，跟了福勒。
福勒（1889—1944）于1911年毕业于剑桥大学，1914年起在剑桥任教，1922年起任教授，1925年当选为英国皇家学会会员。狄拉克来找他时，他才三十多岁，是剑桥风头正盛的“少壮派”，是当时英国置身于统计力学和量子力学两大前沿的一位主要人物，由于他对量子论的兴趣与关注，得以把海森伯的论文副本转给狄拉克，使狄拉克成就了量子力学的伟业。
福勒的主要工作是在统计力学和热力学方面，并且致力于把统计力学和量子理论应用于天体物理的研究。他发展了统计力学的方法，并且把这些方法应用于研究高温电离气体的平衡态。特别是于1922年提出计算统计积分的方法，即著名的达尔文-福勒（Darwin-Fowler）法，又称最速下降法，是今天任何一本统计物理教科书都要讲授的基本算法，并且被广泛运用于物理学其他领域。
福勒还是天体物理学的奠基人之一，1926年，他根据费米-狄拉克统计法而断言，白矮星是由高密度的“简并”气体组成的，使这种高密度气体能够保持稳定的原因是泡利不相容原理。现在我们知道，这是存在白矮星和中子星这类致密星体的物理基础。此外，他又发展了相变和磁性物质、合金及溶液中的集体现象的理论，他还运用量子统计和电离理论研究了高温高压下物质的状态。1928年，他根据量子力学的隧道效应说明了电子从金属上冷发射的现象，这在后来被称为福勒-诺德海姆（Fowler-Nordheim）模型。
福勒建立了一个物理学派，他的宏幅巨著《统计力学》出版于1929年，1936年出了第二版。从原理到应用，这部近千页的专著囊括了当时统计力学及其应用各个领域的方方面面，是在这个领域工作的物理学家必备的经典，也是他们放在案头随时备查的资料库。古根海姆（A.Guggenhein）与福勒合著于1939年出版的《统计热力学》，则是这个领域又一部出色的专著与教科书。
王竹溪到剑桥后，成了福勒学派中的第一位中国人，而于次年来到剑桥的张宗燧则成为该学派中的第二位中国人。福勒让王竹溪研究的第一个问题是关于气体通过金属的扩散问题。
第六节 求真之论文
车胎里的气体不会泄漏出来，除非车胎被扎了一个孔，然而，从车胎物质的分子结构来看，它并不是一个严密不透的容器，而是像泡沫、海绵一样布满密密麻麻的小孔，气体之所以不会泄漏出来，是由于气体分子比这些小孔稍大，没有足够的压力就挤不出来，如果车胎足够薄，气体的压力足够大，情况就会不一样。物理学家就是要研究这种在日常生活中不易看到的情况。
在金属薄片一边的气体，在高压下会透过金属逸出到另一边去，这就是气体通过金属的扩散现象。里查孙（O.W.Prichardsun）于1904年用统计理论从理论上推出公式表明，气体分子的扩散率与压强的平方根成正比，与金属的厚度成反比，比例系数与温度相关，在温度一定时，压强越高，金属片越薄，气体的扩散率就越高。里查孙是英国著名物理学家，因为研究电子从加热灯丝上的发射而获1928年诺贝尔物理学奖。电子从加热的灯丝上发射出来，打到荧光屏上形成亮点，这正是电视的物理基础。
物理公式的推导与几何命题的证明一样，要从一些假设的前提出发，这一般就是物理模型；在推导中还要用到一些已知的性质与公式，这通常属于物理的基本原理；当然还要用到和遵循逻辑的规则，不过这属于思维科学，而不属于物理。与几何不同的是，在物理推理中往往要采用一些简化与近似，就是作为出发点的物理模型也是从现实物理中抽象、简化出来的。所有这些原理、模型、简化与近似是否符合物理的实际，是不是真的如此，都要通过实验来检验。
斯米色斯（Smithells）和冉莱斯（Ransley）做了一系列实验，发现在气体压强高时里查孙公式与实验符合得很好，而在压强低时，扩散率比里查孙公式给出的要高。他们猜测，这是由于里查孙公式没有考虑气体在金属表面的吸附，而只有吸附在金属表面的气体才进一步进入金属从而发生扩散，由于吸附力随着压强的增大而增大，就可能解释为什么在压强低时扩散率比里查孙公式的高。
不过，斯米色斯和冉莱斯的这个猜测经不起仔细的推敲，随着压强的增大，金属表面的吸附层逐渐扩大，最后会覆盖整个金属表面。如果扩散的气体仅仅来自吸附层，则扩散率会趋于一个饱和的极限而不再上升。但是在实际中，斯米色斯和冉莱斯发现，对于氢气通过镍片的扩散，即使压强增到112atm，扩散率仍然会像里查孙公式那样与压强的平方根成正比地上升，丝毫没有达到饱和的迹象。他们还做了氧气通过镍片的实验，氧气会分解镍的晶格，问题就不像氢气那么单纯了。
在论文发表前，斯米色斯和冉莱斯将手稿给王竹溪看过。王竹溪要做的，就是找出真实的物理过程，解释出为什么压强低时实际扩散率比里查孙公式预言的要高。这是一个与实验紧密配合的真正的和非常物理的问题。
在气体压强低时实际扩散率要比原来公式预言的高，这说明在原来的物理模型和推理中忽略了某种重要的物理过程，使得其认识失真。为了求得这种在原来分析中丢失了的“真实的物理”，首先需要把原来的分析弄清楚。
氢气是双原子分子气体，它从金属外面扩散进入金属的过程包括两步：首先，它分解原子而吸附在金属表面；然后，被吸附的原子再扩散进入金属内部。当然，还存在着相反的过程，吸附在表面的原子又结合成氢分子，蒸发回到氢气当中。在金属面的另一侧面，也会发生类似的过程，不同的是另一侧的氢气很稀薄，密度和压强均近似于零。在金属内部，氢原子密度从一侧到另一侧逐渐下降。
这是大量原子参与的过程，在每一瞬间，从一侧进入金属内部的氢原子数与从金属回到氢气的氢原子数不会完全相等，但是在一段短时间内的统计表明，在体系处于平衡时，这两个数目的平均值是相等的。这是统计物理的基本概念。
利用从一侧进入和离开金属的氢原子数这两个数字，可以写出两个方程，另一侧同样也可以写出两个方程。在金属内部从一侧到另一侧的氢原子密度下降服从扩散规律，又可以写出一个方程。这样一共有五个方程，可以联立求解。王竹溪发现，结果正如前所述，在低压时，扩散率比里查孙公式预言的要高，而高压时趋于饱和的极限。仔细检查这个分析的每一步，没有查出问题，所以问题可能出在作为推理出发点的物理模型假设上。王竹溪想到，进入金属的氢原子可能又回到金属表面，与吸附于表面的一个原子结合成氢分子，回到氢气当中；在金属的另一侧也可能有类似的过程，于是还可以再写两个方程。
这个看法对不对，只有算出才知道。原来的五个方程，再加上新增的两个，一共是七个方程，联立这些方程可以解出扩散率与压强的关系。结果表明，在压强很高时，扩散率与压强的平方根成正比；在低压时，扩散率比里查孙公式预言的要高。这些结果与斯米色斯和冉莱斯的实验相符，这就解释了里查孙公式与实验的偏离。这说明，已经扩散进入金属的氢原子又回到金属表面与表面上的吸附原子结合成氢分子，是真实而且需要认真考虑的物理。
物理学的研究就是这样一个求真的过程，检验和判断我们的认识是否真实的唯一依据就是实验，这是物理学的价值观。虽然里查孙是地位和名望都很高的大物理学家，但地位与名望并不能作为检验与判断的筹码和依据。崇尚权势与威望的权威思想与物理学的价值理念是背道而驰的。在大自然面前，人人平等，这种建立在近代物理学基础上的价值理念，已成为当代文化观念的主要部分。费曼在加州理工学院的演讲中就说过：“我想尽力让你们欣赏这个美妙的世界，以及鉴赏物理学家看待它的方式，我相信这才是当代文化的真正主体。”通过物理研究，王竹溪在这种潜移默化的熏陶、培养与训练中，逐渐接触、了解、采纳和信奉了这种价值理念，这就从传统儒教的等级伦理观念中脱胎换骨，完成了从华夏的传统文化到当代文化的转换。他后来一再反复地告诫他的学生们，在进行物理判断的时候，只能根据实验事实和来自实验的最基本的原理与原则，而不能有其他的依据，特别是不能根据地位、名望和人气来判断，这不是物理的规则，也不是其他任何科学与技术问题的判断规则。近代中国知识分子作为一个群体的特征，并不在于他们拥有一些知识，而在于他们的文化与价值取向。
在研究中，除了福勒外，王竹溪还得到罗伯茨（J.K.Roberts）的指导与帮助。王竹溪写成的论文《气体通过金属的扩散》，由罗伯茨推荐，发表于1936年的《剑桥哲学学会会刊》。
第七节 求善与求美之论文
1937年3月，王竹溪的另一篇论文《被吸附原子间有相互排斥作用的吸附膜之性质》发表于当年的《伦敦英国皇家学会会刊》。该会刊是英国最高层次的学术刊物，在其上发表的论文，需要经英国皇家学会会员的推荐，除非作者本人就是英国皇家学会会员。给王竹溪做推荐的，是他的导师福勒。此篇所说的吸附膜的性质，是王竹溪在剑桥的第二项研究。
按术语解释，氢原子吸附在镍片表面形成的薄膜是一个热力学体系，薄膜与相应的气体处于热平衡状态时，可以用温度、压强和衬底表面被吸附膜覆盖的覆盖率来进行描述。这三个量之间存在一个确定的关系，在研究三个量之间的关系时，总是先保持一个恒定不变，而研究另外两个之间的关系。在保持温度不变时，压强与吸附膜覆盖率的关系，称为吸附等温线。
最早研究吸附等温线的，有美国通用电器公司研究实验室的朗缪尔（I.Langmuir），他在1916年给出了单分子吸附等温线。1936年，运用布拉格-威廉姆斯（Bragg-Williams）方法和贝特（H.Bethe）方法，福勒和派尔斯（R.Peierls）对于紧邻吸附原子之间的相互作用能力为负，亦即它们之间存在吸引的情形，研究了吸附等温线。福勒和派尔斯的结果表明，当温度低于一定的临界温度时，理论算出的等温线有一个不稳定的区域，在此区域内，固体表面的吸附膜覆盖率会突然从小变大，发生不连续的改变。这是在金属蒸汽凝聚在固体表面上时已观测到的实验现象，福勒与派尔斯的工作对此作出了解释。
布拉格-威廉姆斯方法又称布拉格-威廉姆斯近似，贝特与派尔斯对它作了改进，后来成为贝特-派尔斯近似，用来考虑紧邻吸附原子之间的相互作用能力为负，亦即它们之间存在吸引的情形的吸附等温线。
从物理上看，当温度低于临界温度时，吸附膜覆盖率突然从小变大的不连续改变，是一种二维空间的相变，这相当于三维空间的气、液相变。就像水蒸气凝聚成水而密度发生不连续的增大那样，能够发生这种相变，意味着凝聚粒子之间存在着相互吸引。如果吸附膜的粒子之间不是吸引而是排斥，就不可能发生这种相变。当然，这只是一种物理的直觉，是否如此，还有待于理论的分析与实验的检验。
理论的分析，可参照贝特和派尔斯的做法，把他们推演中的吸引转换为排斥，亦即把紧邻吸附原子之间的相互作用从负的转换成正的，王竹溪得到了这种情形的吸附等温线和吸附热的变化。吸附热是一种相变潜热，在分子不发生离解的情形下，它就是一个原子从气相转变到吸附相体系总能量的降低，而在分子发生离解的情形下，则还要扣除分子离解为原子所吸收的能量。这样得到的吸附热，降温时在覆盖率为50%附近会有急剧的变化，这会不会是一种相变，只有分析吸附等温线的性质才能判断。而吸附等温线的方程并没有简单和明显的形式，而是两个方程耦合的隐含式，为了从中看出吸附等温线的性质，王竹溪再一次发挥他的数学专长，通过几个数学变换，他巧妙地证明了在温度一定时，覆盖率与压强的关系是没有临界点的简单形式，从而表明不存在相变，与物理的分析一致。
问题已经解决，对一般人而言，已大功告成，于王竹溪却不然。上述理论分析所用的是统计力学，依赖于微观的模型与假设，只有统计力学的分析，对整个问题的了解、认识还不够全面与完善，所以王竹溪接着又指出，吸附热的性质也可以从纯热力学的角度得到，并且给出了详细的热力学推导。
吸附膜的热现象，可以从微观和宏观两个方面研究。一方面，热现象的微观理论，从系统的微观模型出发，假设系统的宏观性质是其微观运动的统计平均，而其微观运动状态则遵循系统的力学规律，对大量的力学运动状态进行统计平均，称为统计力学；另一方面，实验为我们提供了有关热现象的一些基本而普遍的经验规律，即实验定律，直接从这些实验定律出发，也可以分析和研究系统的热性质，这种由热现象的实验定律所构建的普遍理论，则称为热力学。
统计力学的分析再现了物理深层的细节，给人以真实、细致而精确的美感，而热力学的处理表现了物理普遍的特征，给人以直观、简洁而完备的美感。而无论是统计力学的分析还是热力学的分析，都具有逻辑的美。王竹溪不满足于仅仅对吸附膜进行统计力学的分析，还要进一步给出热力学的分析，这表明了他做理论的风格和品位，也体现了他对简洁与完美的追求。
第八节 严谨之论文
众所周知，由简单到复杂，由粗略到详细，逐步深入和逼近物理的真实，这是物理学研究的标准进程。关于吸附作用的研究，福勒略去了吸附粒子之间的相互作用，得到了朗缪尔的吸附等温线，对吸附作用有了最简单最基本的理解。接着，福勒与派尔斯考虑紧邻吸附粒子之间存在吸引的情形，得到了与著名的范德瓦尔斯（Vander Wauls）方程类似的结果，出现了相变与临界现象。但在排斥增强时趋于饱和的压强也相应地上升，符合物理的直觉。此外，在没有相互作用时，吸附热是常数，与吸附粒子数无关，而在考虑相互作用以后，随着吸附粒子数的增加，吸附热在吸引的情形升高，在排斥的情形下降，我们对吸附作用的理解逐步地深入。
原子之间的相互作用，来源于构成原子的原子核与核外电子之间的电磁相互作用。电磁相互作用是一种长程相互作用，略去吸附原子之间次紧邻以上的相互作用而只考虑紧邻相互作用，这只是一种初步的近似，考虑吸附粒子间存在长程相互作用的情形，是王竹溪的研究工作进一步深入的自然选择。
王竹溪的目标，是推广现有的统计理论到吸附粒子之间有长程力的情形，给出这种情形的等温线及吸附热的变化。所要参考的最重要的长程力是电偶极子之间的静电力。原子在受到极化时，正、负电荷的中心会分开一段距离，形成一个电偶极子。
吸附作用发生于衬底物质的表面，所以一般地说，这是二维体系的统计力学。假设衬底物质的表面是一个二维点阵，外面的气体以原子的形式被吸附到格点上，而在吸附原子之间存在长程相互作用。按照这样的情形，把吉布斯统计力学的一般原理运用到这个吸附粒子的二维体系，王竹溪写出了确定粒子分布的方程，这个方程既包含了二维点阵的特征，也包含了所有吸附粒子之间的相互作用。
可以说，如何处置粒子之间的相互作用，是任何实际性质的统计物理计算的难点和核心。围绕着这种计算，针对不同的相互作用和物理问题，发展了不同的近似方法。王竹溪在这里提出的近似方法是，假设分布到的变化只局限于以某个格点为中心的圆圈内，而在此外的分布是均匀和连续的，这只是他根据物理的直觉作出的假设，从物理上可以期待，如果直接增大这个圆圈的半径，使得包含在圆内的格点越来越多，算来的结果会越来越接近，近似的程度也越来越好。
最简单和最粗略的近似，就是取这个圆圈的半径等于吸附粒子的紧邻间距，在这种情况下，确定粒子分布的方程还不太复杂，王竹溪算出了它的解。王竹溪发现，这个解与派尔斯的完全一致。换言之，在只考虑吸附粒子紧邻相互作用时，王竹溪提出的这个近似方法给出的结果相同。这种在初级近似下的一致性，无疑会增强大家对这个理论及把它运用于更好的近似的信心。
在近似解的公式中，包含了位于格点上的紧邻粒子间的相互作用能，它具体依赖于相互作用的类型和二维点阵的结构。王竹溪分别对负幂次型和电偶极子型这两种相互作用能，计算了正方形点阵和六角形点阵的结果，并把算得的结果表示成超几何函数（hypergeometric function）的形式。超几何函数是理论物理中常用的一种特殊函数。统计力学的基本原理很简单，就是假设我们实际观测到的宏观现象对于系统微观运动的某种平均。例如，桌面所受的大气压，就等于单位时间内桌面上方空气分子撞击桌面所传递给桌面的动量的平均，具体计算这个平均的原则也很简单，把单位时间内所有撞击传递给桌面的动量加起来，再除以撞击的总数就行。这就好比计算人群的平均身高、平均收入、平均年龄一样，是一种统计工作，所以叫统计物理，这种统计的对象绝大多数情形都是系统的力学运动状态，是统计与力学的结合，所以又叫作统计力学。
不过，实际这种统计的计算并非易事。例如，计算某一年龄段内全国人口的平均身高，要把数以亿计的身高数据加起来再除以总人口数，这是一件相当繁重的工作，每隔好多年才进行一次，每次均要投入数以万计的工作人员，经过成年累月紧张与辛苦的工作方能完成。而统计物理和统计力学所要统计的是一个宏观体系中每个分子的运动，一勺水中的分子数是十几亿的平方的数十万倍，要完成如此大量的统计，除了有很高明的运算技巧，还得有一些简单的假设才行，这就是麦克斯韦与玻尔兹曼（L.Boltzmawn）所开创而吉布斯系统表述的统计力学。
王竹溪在写出确定吸附粒子分布的方程时，所用的依据是吉布斯统计力学的一般原理和基本形式。所以，他的这项研究是一个统计理论，在算出和分析吸附等温线及吸附热的变化之后，他把结果写成了一篇论文《具有长程相互作用的吸附作用之统计理论》，由罗伯茨推荐投寄给《剑桥哲学学会会刊》，这是1937年12月初的事，论文于第二年春天发表。
第九节 细致务实之论文
统计力学假设我们实际观测到的宏观现象是系统微观运动的某种平均效果，所以核心问题是如何计算这种统计平均。不难想象，与宏观平衡态相对应的绝大多数微观运动状态，都集中于概率最大的状态附近，这是以达尔文-福勒法为基础的统计力学，最适合于处理宏观平衡态问题。
对于气体在固体表面的凝聚及这种凝聚物的蒸发，在凝聚与蒸发的这两个过程达到平衡的同时，当然可以利用统计力学，把气体和凝聚物合起来作为一个统一的体系来处理。不过这种做法显然不如把气体与凝聚物分别作为两个体系来处理，这样就可以直接研究它们之间的相互作用，研究它们如何达到平衡。
福勒学派是一个团队，大家都在同一个领域里围绕某一些问题共同工作。罗伯茨完成了一项研究，针对紧邻吸附粒子之间存在的相互作用的情形，表明如何从分子运动论考虑，可以得到吸附粒子和分子的凝聚率和蒸发率。王竹溪所做的则是把它推广到吸附粒子之间的相互作用是长程力的情形，而他已经有了这种情形的统计力学的理论。
如果是单原子分子气体，则气体分子可直接凝聚到固体表面；而如果是双原子分子气体，则气体分子可在凝聚到固体表面时，离解成两个原子，分别凝聚到固体表面。无论是哪种情况，根据分子运动论考虑，均可以写出气体的凝聚率，其中包含描述这个过程的一些参数。在达到平衡时令凝聚率与吸附率相等，就可以得到确定各个参数的方程。这样得到的蒸发率与吸附粒子的相互作用能有关，依赖于相互作用的形式和表面点阵的作用。如果知道了相互作用的点阵结构，那么就可算出相互作用能，从而算出蒸发率。点阵结构和蒸发率均可由实验测量，所以在原则上，针对已知的相互作用形式和点阵类型，如偶极相互作用和正方点阵，从实验测量的点阵间距算出蒸发率，就可与实验测量的蒸发率相比较，从而对理论作出分析与判断。但是相互作用对点阵的依赖非常敏感，用点阵间距的实验值测出的蒸发率误差较大，用这种方式进行比较并不现实。所以，王竹溪采用相反的程序，即用实验测量的蒸发率来推断吸附粒子的相互作用能，从而获得对相互作用形式和点阵结构的了解。也就是说，王竹溪运用分子运动论和统计力学的理论从实验数据中提取关于吸附作用微观机制的知识。他所用的实验数据是钠膜从钨表面的蒸发率，这是博思伍斯与瑞迪尔刚刚完成的实验，王竹溪重新处理他们的数据，找到了简单的经验规律，并与自己的理论结果进行了比较，作为对比。他也分析和讨论了福勒得到的贝特近似和布拉格-威廉姆斯近似与实验规律的比较。结果表明，贝特近似和布拉格-威廉姆斯近似都不能与实际相符，而他的这个更普遍的公式则可以得出与实际规律一致的结果。
王竹溪重新处理的实验数据，数据点用表示。横坐标是钨表面被凝聚的钠覆盖的覆盖率，纵坐标是这个覆盖率的相对下降率之对数，可以看出，同一温度的试验点基本上在一条直线上，而不同温度的实验斜率不同。布拉格-威廉姆斯的公式不能解释图中的直线，而王竹溪的工作则可将之解释为吸附粒子相互作用能随表面覆盖率的变化。横坐标是温度T的倒数，纵坐标是各直线在纵坐标轴上的截距E（0），可以看出，各个试验点也基本上在一条直线上。直线斜率，王竹溪定出单个钠原子蒸发所吸收的能量为1.31eV（eV为电子伏特的符号，是原子分子范围适用的能量单位，等于一个电子经过1V电压加速所获得的能量），与博思伍斯实验得到的1.39eV较接近。
物理理论的目的与作用在于获得对实验现象的了解，从而发现新的物理。为了发现新的物理，仅仅只有实验是做不到的。当海森伯向爱因斯坦表示必须以直接可观测量为依据来建立理论时，爱因斯坦说：“在原则上，试图单靠可观测量去建立理论是完全错误的，实际上正好相反，是理论决定我们能够观测到什么东西。”换言之，是理论，也只有理论，才能告诉我们实验观测到的物理是什么。王竹溪的这个工作，正是这样一个告诉我们蒸发率的实验观测到了什么物理的理论，这是与实验紧密结合的标准的物理工作，它的风格是非常物理的。
在一般人的印象里，王竹溪数学功底深厚，擅长严格的数学推演，偏爱数学化的工作，而从这个工作可以看出，这种印象失之偏颇。严格的数学推演只是王竹溪的品位与风格的一个方面。在王竹溪的这个工作里，既有严格的数学推演，又有对实验数据的分析处理和对经验规律的摸索，而分析处理实验数据和寻找经验规律，通常被认为那是实验物理学家做的事。可以说《旋转体后之湍流尾流》还是一个数学味道比较浓的工作，而现在的这个工作才使王竹溪获得了真正物理的完全的经验。
王竹溪的这个工作最后还是落脚到气体通过金属的扩散上，他把所得的蒸发率与凝聚率的公式运用于气体通过金属的扩散，发现相互作用的效果并没有改变他先前所得扩散方程在压强很小或很大时的结论。他写成的论文《被吸附粒子间具有长程相互作用的吸附作用之分子运动论》，由罗伯茨推荐给《剑桥哲学学会会刊》发表。值得一提的是，那个时候还没有计算机，连手摇式的机械计算机也不普遍。王竹溪处理实验数据的数值计算均是通过手工进行的，为了有效地进行计算，他把计算中遇到的一个函数编成可查阅的表格，附在论文的末尾，这是他自幼形成的细致和务实的一贯风格。
第十节 博士学位之论文
气体通过金属的扩散、吸附膜的热学性质、吸附作用的统计理论和分子运动论，这些研究所涉及的都是平面点阵，而构成点阵的单元也只有一种原子，如镍和钨，王竹溪在这些具体问题的研究中所积累的经验、建立的理论和采用的近似，能否推广运用于更一般和普遍的情形，则是他要进一步研究的问题。他要进行的推广包括两个方面：一方面，把研究的对象从二维的平面点阵推广到三维的立体点阵，以涵盖更多的物理现象；另一方面，把构成点阵的单元从一种单纯的元素推广到由两种元素构成的合金或化合物。这两个方面的推广，无论哪一方面都会带来全新的物理，也会遇到新的需要解决的问题。
例如，氯化钠（食盐）的晶体点阵，在每一个氯离子的上、下、左、右、前、后一共配有六个氯离子。画出这种晶体的点阵就可以发现，氯离子自身构成一个立方体的点阵，即在每个立方体的八个顶点和六个面的中心各有一个氯离子。这种结构称为面心立方点阵。同样，钠离子自身也构成一个面心立方点阵，即在每个立方体的八个顶点和六个面的中心各有一个钠离子。氯离子和钠离子的这两套点阵是互相嵌套的，每一个离子的近邻都是另一种离子。在合金问题中，这种由多个简单亚点阵嵌套而成的复杂点阵有时称为超点阵（superlattice，有时又译成“超晶格”，例如，用分子束外延的方法使两种不同的半导体薄膜周期性交替生长而成的结构即为超晶格）。
对于二元合金超点阵的情形，除了同一种金属原子之间的相互作用外，还要考虑两种原子之间的相互作用，比简单的情形来得复杂。不过由于两套简单点阵的结构是相似甚至相同的，利用它们之间的几何关系，可以将超点阵粒子之间这种复杂的相互作用简化成简单点阵粒子之间的等效相互作用。这就使理论计算的框架得到简化。
在王竹溪之前不久，贝特于1935年给出了两种原子数相等的超点阵的统计理论，不过只限于考虑紧邻原子之间的相互作用。1936年，派尔斯把贝特的理论推广到两种组元浓度不相等的情形，但是仍然只考虑了紧邻原子之间的相互作用。到1937年，张宗燧则将贝特的理论推广到包括了次紧邻原子之间的相互作用，不过是限制在两种组元浓度相等的情形下。
王竹溪所做的是一个更普遍的理论，它既能处理组元浓度相等的情形，也能处理组元浓度不等的情形，而且，不限于只在紧邻与次紧邻原子之间才有相互作用。他所包含的是另一种普遍的长程相互作用，只要求相互作用能随着距离的增加下降得足够快，使得很远原子的贡献可以忽略，从而使得晶体形状与维数不至于影响超点阵的状态即可。同样，这个理论对晶体结构也没有具体限制，可以适用于一般点阵。
像他在前面长程吸附作用的统计理论中所做的近似那样，王竹溪在这里同样将次紧邻以上原子间的相互作用用一种平均的效果表示。作为三维立体点阵，需要考虑的是空间中的一个球，而不是平面上的一个圆。假设分布只在以一个格点为中心的球内有变化，而在球外是均匀和连续的。作为初步近似，取这个球的半径等于原子的紧邻间距。
与吸附膜的情形类似，在近似解的公式中，包含了位于格点上的紧邻原子间的相互作用能。不过，现在它不仅依赖于相互作用的类型和点阵的结构，还依赖于在所考虑的格点上是哪一种原子，因为现在的超点阵包含了两种不同的原子。对于球心格点上是不同原子的两种情形，王竹溪推导出相应的理论公式。对于每一种情形，他又针对三种不同的晶格结构推出了相互作用能的表述式。除了简单立方点阵外，他还考虑了在立方体中心有一个格点的体心立方点阵及在立方体每一个表面中心有一个格点的面心立方点阵。
计算这些相互作用能的目的，是为了算出两种原子在点阵格点上的分布，从而算出体系规则有序的程度。如果在与A、B两类原子相应的两套点阵中，A原子都填在A点阵的格点上，B原子都填在B点阵的格点上，则这种分布是最规则的，是完全有序的。如果偏离了这种分布，有些A原子没有填在A点阵上的格点上，则这种分布就不完全规则有序，而在一定程度上是无序的。如果A原子可以等机会填在A点阵或B点阵的格点上，则这种分布就是完全无序的。用原子的分布概率来适当地定义一个参数，使得它在完全有序时等于1，在完全无序时等于0，而在一般时介于1与0之间。这个参数可以用来描述原子分布规则有序的程度，称为体系的有序度。容易看出，描述有序态的单胞比描述无序态的单胞大，这就是合金问题中有时把有序态称为超点阵的原因。
原子的分布概率与体系的温度有关，这是统计力学的基本概念。所以，体系的有序度与温度有关，当温度足够低时，体系完全有序，这是晶状固体通常的情形；而当温度足够高时，体系成为完全无序的情形。加热使体系温度逐渐升高，就存在一个临界温度，体系在这个温度突然变化，从有序变到无序，发生相变。一般来说，这是统计力学中的有序无序相变，是一种重要的合作现象。
晶体的这种有序无序相变在实验上可以用X射线来直接探测。用X射线探测合金晶体的结构，会发现在温度不太高时，不同原子在点阵上的分布具有一定规则，基本上是有序的；而当达到或超过一个临界温度时，这种规则性就消失，原子在点阵上的分布就杂乱无章，对于不同的合金，这个临界温度不同。
在理论上，具体的推演与计算要知道相互作用的形式。王竹溪考虑了与距离的幂次成反比的力。尽管有些计算可以利用伦纳德-琼斯（J.E.Lennard-Jone）与英汉姆（A.E.Inghan）多年前的结果，但是整个程序仍然相当烦琐，而且在确定临界温度时还有数学技巧的问题。
这种统计力学的推演与计算往往就像一般的统计计算一样，有许多参数，需要针对不同情况进行选择，编制出表格，一项一项地列出。这种工作麻烦、单调而又枯燥、乏味，绝不比在实验室里摆弄仪器轻松和有趣。狄拉克正是看出王竹溪既细心又有耐性，适合做这种计算。一般人以为理论物理学家的工作就是一张纸、一支笔和一杯茶，其实这幅图像太过于优美与理想了。
王竹溪针对简单立方和体心立方点阵进行了具体的数值计算。相互作用势能取与距离的幂次成反比的形式，他计算了幂次等于4、6、10、20和无穷大等五种情形。对体心立方点阵计算出的结果，β黄铜（CuZn）就是这种超点阵。其中，纵坐标是有序度（s），纵坐标是约化的组态能（{E（Tc）？E（T）}/NkTc）；横坐标是温度（T），以临界温度（Tc）为单位。两条实线是计算出的函数关系，相应的幂次（n）分别为6与无穷大：n=6时给出中性原子间的范德瓦尔斯吸引，而当n=∞时对应于贝特的第一级近似。体系的有序度随着温度的升高而下降。一开始下降得非常缓慢，有序度基本上是1，属于通常晶体的情形，在临界温度附近的一个很小的温度范围内，有序度急剧地下降到0，发生从有序到无序的相变。贝特的第一级近似（n=∞）给出的这个相变温度范围比较宽，虚线所表示的结果是布拉格和威廉姆斯从西克斯（Sykes）1935年对β黄铜的比热实验数据换算出来的。两条实验曲线（Ⅰ、Ⅱ）是相对于正常比热的两种极端的假设。可以看出，王竹溪的结果比贝特的更接近实验，但仍有相当的差别。
王竹溪最后讨论了相互作用的形式对结果的影响，考虑了比与距离的幂次成反比更符合实际的相互作用势能，但并不能给出更明显的改进。这个工作的论文太长，他分成了Ⅰ、Ⅱ两个部分：Ⅰ是一般理论，Ⅱ是对简单立方体与体心立方点阵的计算与结果。论文总的题目为《具有长程相互作用的超点阵之统计理论》，在福勒的推荐下，发表于《伦敦英国皇家学会会刊》。
1938年7月，王竹溪以论文《吸附理论及超点阵理论的一个推广》（The theory adsorption：including the effects of short and longrange forces between the adsuobed particles；and， An extension of the theory of superlattices：to include long-rang interactions）获剑桥大学哲学博士学位。北京大学图书馆存有此论文的副本。
第十一节 统计物理前沿难点
麦克斯韦和玻尔兹曼开创的统计力学，一开始只是用来研究气体的热学性质，把气体分子看作除了碰撞之外没有相互作用的准自由粒子。对固体来说，它的运动可以分解成粒子在晶格格点上围绕平衡位置的简谐振动。而这种振动在点阵中的传播形成谐波，在温度足够低时，不同频率的这种谐波之间关系很弱，也是一种准自由系统，相当于一种气体。这个思想和图像就是20世纪初期爱因斯坦和德拜（P.Debye）建立固体比热的统计力学理论的基础。
所以，到了20世纪初期，虽然在形式和体系上，吉布斯已经将统计力学发展成为可以处理粒子之间相互作用的一个普遍理论，但实际上，只是对理想气体和低温固体这类准自由粒子系统，统计物理才有了足够准确和清晰的了解。而对于粒子之间有相互作用的物理，特别是相变的物理，则还是统计物理的盲点和没有解决的问题（open problem）。
在这种情况下，统计力学研究的兴趣和难点，自然集中到粒子间的相互作用和相变问题上。王竹溪到剑桥加入福勒学派，也就接触和进入到统计力学研究的这一热点和前沿领域。可以看出，他在福勒指导和罗伯茨具体帮助下的五项研究工作（六篇论文），一步一步地逐步引向和深入粒子的相互作用与有序无序相变。他的博士论文《吸附理论及超点阵理论的一个推广》则是对这些工作的一种综合和概括。
布拉格-威廉姆斯理论是关于超晶格相变的第一个成功的统计理论，而贝特和派尔斯则对它进行了重要的改进，这是超晶格有序无序相变这个领域的开创性工作，后来被写入统计力学的教科书。
王竹溪进入的是一个具有基本理论意义的前沿领域，一位研究生被带到某个领域并且做到前沿，就可以在此领域进一步深入和发展。如果这是一个在未来会有发展的领域，有着很有意义的基本问题需要解决，那么他就可以继续在这个领域一直工作下去。统计力学中的相变就属于这样一个有基本理论意义的前沿领域，长期以来吸引了许多物理学家在其中工作。
相变与粒子间的作用密切相关，需要处理大量粒子间的相互作用。而有相互作用的多粒子体系，在经典力学中是自牛顿以来还一直没有解决的难题。
在力学中，二粒子体系很容易处理，一般的三粒子体系就将理论家们难住了，有相互作用的三粒子体系目前还只能求近似解。例如，可以将各大行星之间的万有引力当作小量来逐级求近似，这在天体力学中称为摄动理论；而将原子中各个电子之间的库仑排斥当作小量来逐级求近似，在量子力学中称为微扰论。同样，在量子力学中处理大量粒子间的相互作用，目前还只能采取某种近似，求近似解。所以说，如何处理大量粒子间的相互作用，发展和推进相变理论，是制约统计力学进一步发展的瓶颈与难点。王竹溪在他的工作中只考虑二维圆内或三维球内粒子间的相互作用，而将圆外或球外粒子的作用用一种平均效果来代替，就是应对这个难点的一个近似。
除了有序无序相变以外，王竹溪当时研究的表面性质和二维体系，到20世纪60年代，在半导体和微电子技术的促进下得到了飞速发展，形成了表面物理、低维物理等新的物理学分支及量子膜这样一些新的研究前沿，并成为一系列高新技术的基础。可以说，王竹溪是这些领域的先驱和先行者之一。
第十二节 东西文化理念融合
目前，统计力学中处理粒子间相互作用的近似方法，主要是20世纪30年代以后在微扰论精神与方法的基础上发展起来的各种统计微扰论及60年代以后发展起来的统计格林（Green）函数方法。这些近似方法的基础都是从第一性原理出发所进行的分析。这是起源于西方的近代科学思维的传统，是逻辑与分析的思维，在某种意义上带有我们传统思维的色彩。所以，王竹溪在剑桥留学三年，并不仅仅是在近距离简单地学习和接受西方的科学文化，而是在他的思维中实现和完成了东方和西方两种文化理念的融合。
无论是物理学、化学等以实验为基础和出发点的实验科学，还是社会学、历史学等以观察和经验为主的经验科学，在思想观念上的核心和基点，都是人对自然与外界的认识要符合自然与外界的实际，而不是符合任何他人或先验的观念。
每一位出国留学人员，无论他选择的是自然科学、社会科学还是工程技术、农业或医学，或者其他领域，他都会在自己的专业领域及在国外的一般社会交往中，受到这种文化的冲击、培育与熏陶，在他的思维中或多或少地要实现和完成东西方两种文化理念的融合，接受这种真、善、美的信条。可以说，在近代，从华夏出国留学的人，在从地域文明向全球文明过渡的大潮中，自然地成为我们社会中引领和实践这种过渡的种子和核心，或多或少地自觉不自觉地为我们文化与文明的发展作出了贡献。
