伽利略离开比萨大学，心情是矛盾的。他以后不用再看老师们的脸色和同学们的冷嘲热讽了，他也不必勉强自己再去上那些枯燥乏味的课，不必沿着这条自己并不感兴趣的路走下去，而且以后进入一个他并不喜欢的行业了。
然而，他没有把欧几里得和阿基米德等数学著作读完，也感到很扫兴。好在当他离开比萨大学时，已经发现了单摆的等时性原理，还发明了脉搏计时仪，这对他来说，是最大的安慰。特别是想到回到家中有了充裕的时间，可以仔细、认真地把欧几里得和阿基米德的著作读完，这使他感到好像是从牢笼里解脱出来，立刻呼吸到自由新鲜的空气。
1584年，伽利略没有拿到大学文凭，就从比萨回到了佛罗伦萨的家中。他帮着父亲照看铺子，打下手。闲暇时，他就会拿出他喜欢的书，继续琢磨单摆的奥秘。
文森西奥想求校方给伽利略发一张文凭，以便日后当医生，可是，比萨大学拒绝了他的要求。文森西奥很失望，而伽利略则无所谓。他正好不愿意当医生。
伽利略也不喜欢做生意，站在铺子里，只是他为这个家庭出一份力，为父母减轻一份负担。所以，铺子里的他，表现当然不会令人满意。
伽利略的心里仍旧被欧几里得的数学占据着，不可能全身心地经营商店。没有顾客时，拿起欧几里得的书就忘记了一切。有时还伏在柜台上乱画一气，嘴中念念有词。
看到伽利略总是一副若有所思的样子，文森西奥和吉乌莉娅就气不打一处来，他们觉得这个儿子一点责任心都没有，又不勤快，每天走火入魔般陷入深思，口中还念念有词，在纸上胡抹乱画着。
可是，儿子毕竟已经20岁的人了，不能天天像小孩子那样张口就把他骂一顿，于是，他们给伽利略一些暗示，希望他能慢慢认识到这一点，可是，收效并不大。
文森西奥气愤地大声训斥道：“既然不愿意学医，就当我的学费都打水漂了。可是，你如今20岁的人了，总该有个职业了吧！如果学会做生意了也挺好的，今后这个店铺也还不是你的吗？可是，你看看你现在的这个样子是在经营商店吗？照这样下去，我们的东西不赔光才怪呢！”
但是，关店门以后，伽利略躲在房间的角落里，仍旧是看书，偶尔往纸上写些什么东西。家里人睡觉以后，他拿一盏小油灯到厨房去还是看书。伽利略自学数学，简直到了痴迷的程度。
有一天，伽利略又在专心致志地看书，这时，母亲走了过来，一把夺过他手中的书，说道：“整天就知道看书，看这些东西有什么用呢！你看你，是家里的老大，可哪里有老大的样子，你看你的妹妹们每天还不是帮我们提水劈柴干活，你做大哥的更应该给他们做个榜样。”
听到这些批评，伽利略立刻放下书本走向正在井边提水的妹妹们。
“来，让我来吧！”伽利略拉开了弟弟妹妹。看到满身是汗的弟弟妹妹们，伽利略不由得意识到，为这个家，他做得太少了。他提着两桶水回到屋子里。
父亲看着伽利略把水放到厨房，将伽利略叫了过去，说道：“现在，你既然退了学，就应该在家里好好学着做生意，你是家里的长子，今后这一大家子都要靠你。”
“你不要瞧不起做生意的商人，当年，父亲也是瞧不起这些商人的，但是父亲瞧不起的是那些唯利是图的商人。但是你看现在的美第奇家族，不就是通过做生意成为人人敬仰的大人物的吗！在他们身边，如星捧月地有多少艺术家和学者，美第奇家族就是他们的衣食父母啊！”
伽利略对于父亲的这种教诲已经习惯了，站在一旁静静地听着。
父亲继续说道：“伽利略，我希望你能成为你弟弟的榜样，他极有音乐天赋，我希望他在这方面有所发展，所以，他的前途有一半是在你的肩膀上的，你知道吗？可是你什么都做不好，医学不想学了，半途而废，生意你也不用心做，你这个样子让我很担心，你到底想干什么？我以后可怎么指望你来养我老？”
对父母的训斥和责怪，伽利略都不作声，仍旧坚持自学。手头的几本书学完后，他趁出去进货的机会，跑到里奇教授那里换回几本新书，或者去请教一些问题。
文森西奥经常看着伽利略摇头叹息，他真拿这个儿子没有办法了，该说的都说了，都说过不知多少遍了，可是，他还是一点起色都没有，这个儿子真是太让他头痛了。
一天，里奇来看伽利略父子。他看见伽利略闷闷不乐的样子，就鼓励他说：“对科学的追求是人类最高尚的事业。你既然热爱科学，就应该为之努力。”又对伽利略的父亲说：“你儿子是了不起的天才，希望不要埋没他的天资。我们的社会并不缺少店员，却缺少科学家。”
里奇的话对父子俩都是个极大的鼓舞。它使父亲不再干预儿子的学习和实验，使伽利略看到了前途和希望，从而帮助他解脱了苦闷。
没有拿到大学毕业证的伽利略，在里奇的鼓励下，又开始了对科学知识的研究和实验。在自学中，伽利略自发地总结出自己的学习方法。
他意识到，人的理解力可以表现为两种形态：一种是深入理解，把前人总结出来的科学道理推进一步；另一种是广泛理解，把人们已经了解的理论推向更广的范围。
伽利略发现，自己更喜欢前一种方式，也就是通过实验，把科学理论推向深入。这个身在店铺为自己的生存而工作的年轻人，心里却装着科学。在科学的学习与探讨中，他逐渐从涉猎广泛的学科，逐步集中到研究物理学、天文学、实验科学等学科。
有一段时间，伽利略在读一本古希腊科学家阿基米德的关于《浮力定律》的书，内容十分有趣，他读起来一刻都不肯放下。
公元前287年，阿基米德诞生于西西里岛。他出身贵族，与叙拉古的赫农王有亲戚关系，家里十分富有。
阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，知识渊博，为人谦逊。他11岁时，借助与王室的关系，被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城去学习。
亚历山大位于尼罗河口，是当时文化贸易的中心之一。这里有雄伟的博物馆、图书馆，而且人才荟萃，被世人誉为“智慧之都”。
阿基米德在这里学习和生活了许多年，曾跟很多学者密切交往。他在学习期间对数学、力学和天文学有浓厚的兴趣。在他学习天文学时，发明了用水利推动的星球仪，并用它模拟太阳、行星和月亮的运行及表演日食和月食现象。
为解决用尼罗河水灌溉土地的难题，他发明了圆筒状的螺旋扬水器，后人称它为“阿基米德螺旋”。
在《浮力定律》一书中，介绍阿基米德在发现浮力定律时有个生动的故事，使伽利略欣喜若狂。
据说有一次，国王希洛让金匠为他制作一顶王冠。他给了金匠一块黄金。王冠做成之后，国王感觉王冠的颜色不如黄金色彩好，比真正的黄金白一些，因此，他就怀疑金匠在王冠中掺了假。
国王这样怀疑，却没有根据。他让周围的大臣解决这一问题，没有一个人能够想出办法。
于是，国王就把阿基米德招来，把解决王冠之谜的任务交给了他。
那时候，人们不知道各种金属的比重，因此，除了把王冠丢到火中熔化之外，还找不到别的办法来确认王冠中是否含有别的物质。
阿基米德接受国王的任务后，陷入了长久的思考。
国王交给的任务，如果完成不好，轻则可能坐牢，重则会被抓去杀头。能不能解决王冠之谜，关系到阿基米德的生死存亡。
聪明的数学家犯起愁来。
有一天，阿基米德又困又累，就到街上的浴池，想泡热水澡休息一下。他进了浴室，脱了衣服，若有所思地进了单人浴缸。
阿基米德的身体往下一躺。由于浴缸中的水灌得太满，许多水就溢了出来。看到溢出的水，阿基米德恍然大悟。他大喊一声：“我找到解决办法啦！”
他从浴缸里跳出来，光着身子，穿过大街，向自己家跑去。
他要验证自己的方法。街上行走的人，吃惊地看着这个裸体的男人，还以为他是个疯子。
阿基米德回到家中，在一只大盆里放上一只桶，在桶里装满了水，先把王冠放入桶中，把溢出的水收集起来并称出这些水的重量。
然后，他带着工具和王冠来见国王。
阿基米德拜见了国王后说：“尊敬的国王陛下，如果你能借给我与王冠重量相等的黄金，我就能计算出王冠是否掺了假。”
国王有些不解地问：“是吗？”
随后，他马上让人拿来阿基米德所需重量的黄金。
阿基米德就在宫中作了同样的实验。结果，王冠放入水桶中，排出的水比相同重量的黄金多。
阿基米德告诉国王，王冠中确实掺了假。希洛国王命令把金匠招来。
在科学家面前，这个自认为不会有人能够破解王冠之谜的金匠，不得不老老实实地承认，他用白银偷换了一部分黄金。
伽利略读了这个故事以后，找来木盆盛满水，也用木棒、石块作了几次实验，得到的结果和阿基米德的实验结果相同。这使伽利略很兴奋。
伽利略顺着故事，继续向深层研究，他认识到，一定的体积与一定的重量肯定有一种确定的比例。这个比例的差别，与物质本身的密度有关。
伽利略根据自己的推断进行实验，发现了两个可供研究的问题，一个是根据前人提供的密度表，可以测定一种不知名的新物质的重量。另一个是不同密度的物质，可能有不同的比重，而且，这个比重是可以测定的。
阿基米德解决王冠之谜的故事，把伽利略引向了用数学解决实际问题的途径。
在后来的研究中，伽利略总是充分利用数学工具，并且把数学和实验紧密结合起来，用定量研究方法，解决物理学、天文学等方面的许多重大问题。
有一天，伽利略忽然想到，能不能制作一个既简便又精确的测量团体含量的秤？
伽利略琢磨了好几天，在脑子里勾画出这种秤的蓝图。
这杆秤，用杠杆原理制作。一边放上砝码，一边放上被测物体。
测量时，把要测量的物体先在空气中称量一下重量后，再把它浸入水中称量，利用两次称量的重量之差，就可以得到所测量物体的比重。
1585年，伽利略自己用手工制成了这种秤，起名叫“比重秤”，他拿到邻近的店铺进行测试，果然既简便又准确，受到店铺老板的赞誉。
于是，伽利略在1585～1586年，写了几篇关于流体静力学方面的文章，还写了一篇论述“比重秤”的“天才学术论文”。
伽利略将他的这些论文以及发明的一些仪器带给里奇看。
里奇看了伽利略的论文感觉很棒，并且告诉伽利略，应该先打好基础，将数学、物理等知识学得扎扎实实的，只有把数学基础打牢了，以后才能够往更宽广的方向发展。
伽利略的这些论文，得到了里奇的大力帮助和宣传，这使得伽利略在佛罗伦萨和罗马的学术界有了一定的声誉。于是，他开始向自己的目标继续前进了。
