晚年的时候，牛顿已有了他想得到的一切：名誉、地位和身份。本来，他可以拥有一个十分优裕又平静的晚年生活，可事情并非如此，在晚年又发生了两次不愉快的大争论，使他的生活又掀起波澜。可能这就是伟大人物的命运吧：伟大人物的生活注定是不平静的，它总是那样波澜起伏。第一次争论是与英国的天文学家约翰·弗拉姆斯蒂德。
约翰·弗拉姆斯蒂德（1646～1719年）是一位靠自学成才的英国天文学家，世界著名的格林威治天文台的创建人和第一任台长。格林威治天文台是在1675年12月22日经查理二世批准创建的。弗拉姆斯蒂德是一个非常节俭、勤奋而又富于献身精神的科学家。建台之初，一切都非常简陋，他们年薪只有一百英镑，然而为了添置仪器设备以及编制星表，他自花费了将近二千英镑。弗拉姆斯蒂德是在17世纪70年代访问剑桥大学时，结识牛顿和巴罗的。后来两人开始通信，弗拉姆斯蒂德为牛顿提供了大量天文观测资料，这些成果被牛顿进行理论加工后写进《原理》，公正地说，弗拉姆斯蒂德为牛顿的天文学理论做出了很大贡献。弗拉姆斯蒂德在格林威治天文台多年操劳的结果是编制成一种空前精确，所包括的恒星数目有史以来最多的星表。这张星表标志着现代精密天文发展的一个重要阶段。就是围绕着这张星表，他和牛顿以及哈雷之间陷入一场漫长的争论之中。晚年一直在修订《原理》，改进令他头痛的月球理论，急切地需要利用这份最精确的星表和最新的天文观测资料，以便在他去世之前表明他的万有引力理论同最精确的观测结果是一致的。但是，弗拉姆斯蒂德对牛顿只把他作为一个“观测者”心怀不满，因而迟迟不肯发表星表。声称在他的星表没达到最可能的完善程度之前，决不会发表。这使牛顿更加着急。牛顿认为，弗拉姆斯蒂德是一名政府官员，他的观察结果是属于国家所有的，应当为了公共利益而迅速发表。而弗拉姆斯蒂德认为，政府除了给他薪俸之外并没有给他一分津贴，他耗费的是自己的家财，因而有权决定发表自己成果的时间。1712年，哈雷没有经过弗拉姆斯蒂德的同意，编辑出版了大大缩减而又残缺不全的格林威治天文台观测结果，这使他们的争吵进一步加剧。弗拉姆斯蒂德决定根据自己的主张自费重新印刷他的观测结果和星表，但还没来得及把他后期的观测结果和恒星位置资料付印便去世了，这场争吵也就随着他的去世而宣告结束。他去世后的第六年，也就是1725年，在他的朋友克罗斯韦特和夏普的努力下，弗拉姆斯蒂德的巨著《英国天文学史》三卷本出版。而在他去世的第二年，哈雷被任命为第二任皇家天文学家，担任格林威治天文台台长。在这场争吵中，牛顿显得有些霸道，不懂得尊重他人的劳动，只一味要求别人不断地给他提供他所需要的东西。弗拉姆斯蒂德对牛顿瞧不起他的劳动非常生气，在别人谈论重力时嚷嚷说：“哎！是的，重力，牛顿先生的又一奇谈怪论！”
如果说牛顿和弗拉姆斯蒂德持续十年的争论还只是个人的成见之争，那么，牛顿和莱布尼茨之争则发展为国际之争，持续时间将近两个世纪。这场为争夺微积分的优先发明权之争是科学史上最厉害、也是最著名的争论，给数学的发展造成很大的影响。
莱布尼茨（1646～1716年）是和牛顿同时代的人，可能在当时是仅次于牛顿的最优秀的人物。他是德国人，第一流的数学家和著名哲学家，他才华横溢，思如泉涌，他除了研究数学和哲学外，还广泛地涉及到法学、力学、光学、语言学、逻辑学等四十一个范畴，被誉为“17世纪的亚里士多德”。
1673年他被选为英国皇家学会会员，1700年当选为法国科学院院士，同年他创建了柏林科学院，并担任第一任院长。莱布尼茨对数学有极深的研究，不但独立地创立了微积分，对数学的其他分支也做出过重大贡献，对于笛卡尔的解析几何提出了很多改进意见，对行列式和包络理论做了很多基础工作。牛顿的数学研究约始于1664年，那已经是他进入剑桥大学三年以后的事了。主讲数学的巴罗教授可以称得上是为牛顿打开数学兴趣之门的人。巴罗教授在当年被任命为第一任卢卡斯数学教授，牛顿正是通过他主讲的数学课，产生了对数学的浓厚兴趣。为了深入了解天体的位置和观察知识，牛顿有选择地购买了《三角学》，为了了解其中对他来说还嫌晦涩的证明，他又系统地学习了欧几里德的《几何原本》和巴罗教授所著的《欧几里德原本简证》，其时受益匪浅，在此之后，在巴罗教授的鼓励和推动下，他开始学习笛卡尔的《几何》，这本书用了他相当长的时间去领会，牛顿自己在晚年时曾经这样说过：
“我读了十页左右，停下来再从头读，这一次比第一次多读一点，然后再停下重读，如此反复，直至完全领会为止。”
就这样，在短短的几年中，牛顿阅读了大量的数学、哲学名著，大大地开阔了自己的视野，增长了知识，他对当时数学的两大分支，几何和代数领域的最新理论成就进行了充分的综合与发展，进而做出了自己的发现。牛顿自己曾经谦逊地说过：“如果说我比其他人看得远些，那是因为我站在巨人的肩上。”
他从笛卡尔那里得到了代数符号、各种概念和计算方法，从欧几里德和巴罗教授的著作中拿来了传统的几何证明方法。与在中学和剑桥大学所学的逻辑学相综合，做出了许多伟大发现。如：1664年至1665年间，他根据瓦里斯的极限概念和级数，发现了无穷级数，当年冬天，他又发现了在任一既定点上求曲线曲度的方法，以及化任意次方二项式为近似级数的方法。
到1665年年末，他已经发明了流数或微积分，并给出了流数的表示符号（一份写于1665年5月的手稿表明，牛顿在二十三岁时已经充分发展了微积分的主要原理，能够用它找出任何连续曲线在任何给定点的切线和曲率。他称他的方法为“流数法”，意即“流动”或变量及其“流率”或“增长率”）。微积分的发明结束之后，牛顿在1667年至1668年间，在数学领域上主要研究三次曲线的性质和分类，并提出一些有关的理论问题。
1669年，牛顿写出了《论用无限项方程所做的分析》的长篇手稿，系统地总结他过去的流数和二项式定理的研究成果，当年6月，他将手稿交给巴罗教授，巴罗在以后给他的朋友——皇家学会图书馆馆员科林斯的信中提到了牛顿的发现，称赞他“对于这个问题（流数的发现）有杰出的才能”。过了一个月，他便将这篇论文邮寄给了科林斯，在抄录了一份副本后，科林斯将论文退还给了巴罗教授，向他在欧洲各国的朋友通知了牛顿的发现。
1664年至1666年是牛顿在数学研究上的创作高峰期，但他并没有像17世纪其他有所成就的科学家通常所做的那样，把自己的研究成果通过正当渠道发表，而是将学习中的心得体会和研究成果直接写在纸上、笔记上或账本上。这跟他个人的性格有很大的关系，他十分内向，多虑，处处谨慎，从不肯多行一步路，多说一句话，这直接或间接地来源于他发表第一篇论文时所带来的麻烦。就这样，他只是在自己觉得必要的时候，才向朋友、同行透露一点自己的研究情况。大量事实也表明，在牛顿没有正式出版自己的论著以前，他曾默许欧洲的一些科学家在极有限的范围内抄录、传播、讨论他的数学发现。这其中包括很多人，有皇家学会主席布朗克尔，秘书奥尔登伯格，英国的格里高利，法国的布尔台、弗尔农和斯留斯，其中还包括当时德国著名的科学家、牛顿后来的死敌莱布尼茨。
1672年，莱布尼茨与惠更斯有了接触，从而第一次对研究数学产生了兴趣，在那以后，他主要研究用无穷级数求圆和其他曲线的面积，并在1674年中考察了构成曲线的多边形基元之和的一般方法，发明了微积分学。
1673年，莱布尼茨访问伦敦，或者有机会在科林斯的论文中见到牛顿包含流数原理的论文《论用无限项方程所做的分析》。1676年，莱布尼茨再次来到伦敦，这时他还未当选皇家学会会员，通过科林斯和奥尔登伯格得知了牛顿有关流数的详细情况。此后，他与他们开始频繁通信，多次提到牛顿的数学发现，如“在给定任何曲线坐标的情况下，求出曲线的长度，图形面积，旋转体的第二次分割及反求法，给出正方形内的任一弧线，不知道原图形便可以计算对数、正弦、正切或余弦及反求法”。这时，莱布尼茨已经多多少少地了解了一些牛顿的发现，也曾给予很高的评价。而牛顿，根据可靠的记载，也曾以大量的篇幅给向他请教的莱布尼茨叙述了二项式定理的来源和方法，级数展开法，求抛物线面积和用流数求一般曲线面积法及切线的反求法。有理由相信，这一定会对莱布尼茨有所启发。1684年，他在《学术学报》上发表了《求极大和极小及切线的一个新方法，它不受分数和无理数的妨碍并是这种情况的反常形式》，对对数进行了详细的论述，并正式提出了微分原理。但他在此部分的任何地方都没有提到过牛顿的名字，更不要说他的帮助或启发了。
1686年，莱布尼茨根据积分与微分的对立，得出算法上也应为对立的结论，将微分的规则进行变换，从而得出了积分的规则。他还运用求极大、极小和切线的方法及无穷级数法，写出了一篇奠定积分原理的论文，在《学术学报》上发表了，在这篇论文中，他第一次使用积分符号“∫”，至此，莱布尼茨完成了微积分的发明。
1665年5月牛顿形成了自己的流数思想和表示法，并在第二年10月给予系统阐述。而莱布尼茨是在1674至1676年间形成微分的思想和表示法。牛顿的论文发表于1669年和1671年初，而莱布尼茨的论文发表于1684年和1686年。这就说明，牛顿确实要比莱布尼茨早发明微积分。发明的时间要早十年，而写成论文则要早近二十年！让牛顿震惊的是莱布尼茨发表的论文中丝毫没有提及他的作用，而且一直以来，莱布尼茨都不承认曾经得到过牛顿的直接或间接的促使他发明微积分的帮助。昨天还是虚心求教的挚友，今天摇身一变，竟然将自己的发现改头换面，变成了微积分的发明者！这就难怪牛顿要气恼了。他在《自然哲学的数学原理》第一版的第二卷中以三页的篇幅说明流数原理，同时在注释中提到莱布尼茨的发明系得益于自己的研究成果。此时他俩的关系还没有完全破裂。而他们的支持者（他们对微积分的知识同一个孩子比起来没什么区别）也没有想到要为各自的偶像摇旗呐喊。他们还是在通信，至少能够承认对方的发明。但在1699年，这一切都改变了。
1699年，牛顿担任造币厂厂长之后，住在伦敦的瑞士数学家法蒂欧向英国皇家学会呈交一篇论文，文中提出牛顿是微积分“第一个发明者，并且领先了好几年，而莱布尼茨这第二个发明者是否从别人那里搞了什么东西……我宁愿有我自己的判断”。法蒂欧提出这个问题是由于他看到，莱布尼茨1684年和1686年在莱比锡的《学术学报》上，首次发表的关于微分原理和积分原理发明过程的文章中没有提到牛顿的作用及其在多年前已经取得的成果。早在1665年鼠疫期间，牛顿就已创立了微积分的一些基本原理，他称为“流数术”，并且采用在字母上加符点的独特记法，然而牛顿没有对自己的发明及时公开。1669年，他写出了第一篇数学论文《无穷多项方程的分析》阐述了论证还不严密的微积分基本定理，送给巴罗教授看，后来印成小册子分送给朋友，直到1711年才正式出版。另外两篇分别写于1671年的《流数术和无穷级数》以及写于1676年的《曲线求积法》的重要论文是分别于1736年和1704年才公开发表。因此，牛顿公开发表他的微积分思想的最早著作是1687年出版的《原理》，但《原理》
并没有应用他自己发明的在字母上面加符点的记法。他只是用几何形式初步说明了流数原理，用以确定无限小量的比。
