问题2数列{an}的通项公式为an=n2-5n+5，计算得a1＝1，a2＝1，a3＝1，可以猜出数列{an}的通项公式为：an＝1(此时，绝大部分学生作声不——默认，有一学生突然说：当n＝5时，a5＝25，a5≠1，这时一位平时非常谨慎的女生说：“老师今天你第二次说错了！”)。
问题3三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2×180°，五边形的内角和为3×180°，……，显然有：凸n边形的内角和为（n-2）×180°。（说到这里，我说：“这次老师没有讲错吧？”）上述三个问题思维方式都是从特殊到一般，问题1、2得到的结论是错的，那么问题3是否也错误？为什么？（学生茫然，不敢质疑）。
案例分析：合理地利用材料，提出好的问题，引出课题，揭示了本节知识的必要性。通过让学生自主参与知识产生、形成的过程，获得亲身体验，逐步形成一种在日常学习与生活中爱置疑、乐探究的心理倾向，激发探索和创新的积极欲望。不仅使学生理解了归纳法，而且掌握了分析、判断、研究一般问题的方法。
案例33让数学课堂“动”起来
马敏华
一、案例题旨
数学课堂的功能之一就是教会学生学会学习，喜欢学习。如何才能让学生自主地学习数学，兴致颇高地探究数学问题呢？这就要求我们教师对上课时需讲的内容有正确、深入和生动的理解，善于抓住各种内容之间的结合点，在认识事物的本质特征和内部联系的规律中，揭示出某种新颖的既出人意料之外但又在情理之中的东西来，使学生在这一过程中获得愉快的体验，因势利导地点燃他们的数学兴趣火花，调动其积极性、主动性、创造性。
二、案例背景
数学课堂一向被认为是枯燥乏味的，比不上文科的丰富多彩、形式多样也就算了，但就理科而言，理、化、生还有实验调剂气氛，吸引学生注意力，唯独数学最惨，什么也没有。这就启发了我，针对学生好动的特点，是不是在数学课堂上也能做一个直观演示实验，既能给学生留下深刻印象又能促进本节课的学习呢？
数学归纳法是一种十分重要的数学方法。正确理解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法解决问题是理科数学教学大纲的要求。为使学生能直观了解此原理，想到了“多米诺骨牌”，为了方便取材，我选用陆战棋或麻将牌，效果都不错。
三、案例描述
教师把陆战棋棋子在平整的讲台上沿一直线依次放好，每两个棋子的间距要在一定范围之内，以保证前一棋子倒下能带动后一棋子倒下。
………师（边题问边演示）：要把棋子一个一个地推倒，怎么推？（说着把其中一个纵向推倒，再推倒另一个）如果棋子个数有限，我们只要不停重复这个动作：如果棋子个数无限呢？
生（大声）：横着推！
师（边演示边提问，从中间的一个，如第五个向侧面推）：前面的没倒，该怎么改进？
生：从第一个开始推！
师：还有什么要求？
生A：要做到前一个倒下时能带倒后一个，两个棋子间的距离必须小于棋的高度。
（师演示，一刹那，刷地一个挨一个全倒了。学生情绪高涨，个别还发出叫好声）
师（顺势引出）：我们把每个棋子比作一个命题，一个棋子倒下比作一个命题得到证明。刚才的过程实际阐述了一个原理——这就是我们今天要学的数学归纳法。
（出示投影片“数学归纳法”）
师（配合教具演示，强调数学归纳法中两个步骤的重要性）：不推倒任何一个棋子，所有棋子会倒吗？
生（齐）：不会。
师：这说明第一步是基础，不可缺少，必须验证、检验。
师（边演示边提问）：如果中间取出一个或几个，那么推倒第一个还会使所有棋子都倒下吗？
生（齐）：不会！
师：这说明第二步中的递推性确实不可少。
四、案例反思
众所周知，提高教学质量的关键环节是优化课堂教学。在教学实践中，要驾驭一堂课，开头尤为重要。常言道，良好的开端是成功的一半，有经验的教师总是十分重视一堂课的开端。每堂课开始的两分钟，由于学生刚进教室，翻书取笔，课间嬉闹余兴未消等原因，注意力往往不够集中。那么，如何迅速改变这种情况呢？这就要求教师在极短时间内设法引起学生的兴趣，唤起学生的注意，除了实物演示、加强直观外，还可采用设疑布障、引起悬念或取材生活、贴切逼真等方法。总之，巧设铺垫、精心设计就可抓住学生的心，激发学生听课兴趣。因为兴趣是最好的老师，一堂课首先要让学生对学习的内容感兴趣，这样才能使学生愿意接近数学、逐渐喜欢数学、勇于探索数学。另一方面，也促进教师努力提高自身数学修养，使课堂教学更见艺术性。
案例34数列极限的引入
金建泉
极限是微积分中最重要和最基本的概念之一，考虑到中学生的理解和接受能力，教材没有给出数列极限的严格定义，而只对数列极限进行直观描述，所以在教学中一定要把握分寸，忌增加深度和难度。
在引入课题时，首先从通俗且又有一定趣味性的事例开始，调动学生的积极性，唤起求知欲，并体会数列极限的含义。
例1从教室讲台到门口有2.1米，老师从讲台往门口走，走法为：第一步1米，第二步12米，第三步14米，……，每步走的距离是上一步的12，问老师能否到达门口？可让学生猜测，当老师指出永远到不了门口时，很多学生会感到意外。
例2龟兔赛跑新编：龟与兔赛跑，兔的速度是龟的10倍，比赛时龟先跑1米，然后兔去追赶龟，当兔往前跑1米时，龟向前又走了110米；当兔再跑110米，这时龟又走了1100米；……故兔子永远追不上乌龟？这一论断当然是错误的，但这又如何解释？
这时学生的兴致已被调动，教师适时提出：以上这些问题的解决都要用到数列的极限知识——导出课题。
再由引言刘徽“割圆术”，提出问题：当n无限增大时，圆内接正n边形的周长是否无限趋近于圆周长呢？让学生从图形上看这种变化趋势是肯定的。再考察①例1中的数列：1，12，122，…，12n-1，…，110n-1，…
②1，110，1102，…，110n-1，…
③数列：12，23，34，…，nn+1，…
以上三个数列当项数n无限增大时，数列中的项有什么变化特点？
最后归纳出数列极限的概念。
案例35分牛与数列的极限
尤佳
教材中有些内容是枯燥乏味，艰涩难懂的。如数列的极限概念及无穷等比数列各项和的概念比较抽象，是难点。如对于0.9·=1这一等式，有些同学学完了数列的极限这一节后仍表怀疑。为此，在教学中我尝试插入了一段”关于分牛传说的析疑”的故事：传说古代印度有一位老人，临终前留下遗嘱，要把19头牛分给三个儿子。老大分总数的1/2，老二分总数的1/4，老三分总数的1/5。按印度的教规，牛被视为神灵，不能宰杀，只能整头分，先人的遗嘱更须无条件遵从。老人死后，三兄弟为分牛一事而绞尽脑汁，却计无所出，最后决定诉诸官府。官府一筹莫展，便以”清官难断家务事”为由，一推了之。邻村智叟知道了，说：”这好办！我有一头牛借给你们。这样，总共就有20头牛。老大分1/2可得10头；老二分1/4可得5头；老三分1/5可得4头。你等三人共分去19头牛，剩下的一头牛再还我！”真是妙极了！不过，后来人们在钦佩之余总带有一丝怀疑。老大似乎只该分9.5头，最后他怎么竟得了10头呢？学生很感兴趣，……老师经过分析使问题转化为学生所学的无穷等比数列各项和公式S=a11-q(|q|<1)的应用。寓解疑于趣味之中。
案例36从彩票到组合
严惠峰
师：我昨天下班后顺路买了一注体育彩票。
生：（大笑）老师，你也作这种不切实际的发财梦啊！
师：那么我中特等奖的可能性会有多大呢？
生：不太清楚，可能比天上掉馅饼稍大一点。
师：（亦笑）我们来看6＋1体育彩票□□□□□□+□从0－9这10个数字中任选一个放入空格中，按照顺序，如果我这七个数字都中的话，我将获得人民币500万元。那么同学们能否利用已学的知识帮我来算一下，我中到500万的可能性是多少呢？
生：每一个空格有10种选法，根据乘法原理共有107种，中特等奖的号码只有一个，所以中500万的可能性是1107。
师：1107即：一千万分之一，我们湖州市包括三县两区的总人口大约250万人。
生：原来我们三县两区所有人，每人买4张才中一个特等奖，中500万的可能性真的很小。
师：那么6＋1福利彩票从33个号码中选6个，再从16个号码中选1个作为特殊号码，前6个号码无需按顺序排列，特等奖也是500万元，这种类型的彩票，中奖情况是如何的呢？它与体育彩票哪个中500万的可能性更大呢？
（学生非常想知道到底哪个中奖率更高）
师：我们今天学了组合这堂课之后，这些问题就能解决了。
引入课题：组合
案例37三个臭皮匠胜过诸葛亮
尤佳
常言道：“三个臭皮匠胜过诸葛亮。”在处理相互独立事件同时发生的概率一课时，我尝试了把这个大家熟知的俗语引入了课堂，并制作了FLASH动画，做为新课的引入，学生反映热烈，课堂气氛一下子活跃起来。
一上课，屏幕上几个字“智力大考场”。学生的注意力马上集中起来，想看看我今天又要和他们玩什么花样了。然后，我开始播放课件。首先出场的是手拿芭蕉扇的诸葛亮，很有自信的说：“简单！我答对的把握有80%，哈哈。”接着，臭皮匠兄弟出场。老大说：“我答对的把握只有50%。”老二说：“老大，完了，我只有45%。”老大说：“没关系，我们把老三叫来，我们和他拼了。”看到这儿停住了，学生都很兴奋，好象意犹未尽。我马上给出问题“如果老三答对的把握是40%，那么，他们两队谁会获胜？”这下子下面开了锅了。一开始他们想到合三人之力，40%+45%+50%，但是结果>1，很快这种思路就不占上风了。又有的说3人应取最大值50%，所以诸葛亮胜。当然也有反驳意见，确说不出个所以然来。我笑而不语，打出一行课题“相互独立事件同时发生的概率”。意思是：你们学了就知道了。
首先介绍两事件的独立性概念：如果一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率没有影响，我们就说这两个事件是互相独立的。假定我们用A·B表示事件A与事件B同时发生，那么，当事件A与B互相独立时，我们有：
P（A·B）＝P（A）·P（B）
对于三个以上的两两独立事件，类似地我们有：
P（AB…C）＝P（A）·P（B）·……·P（C）
现在回到三个“臭皮匠”的问题。假定“臭皮匠”A独立解决问题的概率为P（A）；“臭皮匠”B独立解决问题的概率为P（B）；“臭皮匠”C独立解决问题的概率为P（C）。
能够得到一个问题被三个“臭皮匠”之一解决的概率的计算式：
P（A或B或C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）-P（A）P（B）-P（B）P（C）-P（C）P（A）＋P（A）P（B）P（C）
P（A）=05，P（B）＝045，P（C）＝04，
他们总体解题时，能被三人之一解出的可能为：
P（A或B或C）＝05＋045＋04-05×045-05×04-045×04＋05×045×04
=0835
看！三个并不聪明的“臭皮匠”居然能够解出百分之八十以上的问题，聪明的“诸葛亮”也不过如此！
上面我们是从“臭皮匠”们解决问题的角度来分析的。如果我们换另一个角度来分析，所得的结果将更简捷、更精辟。事实上，如果一事件出现的概率为P，那么该事件不出现的概率必定为（1―P）。
这样，三个“臭皮匠”同时不能解决问题的概率为\[1―P（A）］\[1―P（B）］\[1―P（C）］。把全部可能的1减去同时不能解决的概率，就能得到三人中至少有一人解决的可能性，即：P（A或B或C）＝1―\[1―P（A）］\[1―P（B）］\[1―P（C）］，上式展开的结果跟前面的公式是一样的，但在计算上要简单得多。如上例：
P（A或B或C）＝1―（1－0.40）（1―0.45）（1―0.50）
＝1―0.6×0.55×0.50＝0.835
若当“臭皮匠”人数增多时，前一种算法将不胜其繁，而后一种算法无须什么变动依然适用。
可见人多不仅智慧高，而且力量也大。“三个臭皮匠胜似一个诸葛亮”，所言实不过份。一节课下来，学生兴趣大，教学效果当然也好。
案例38三个臭皮匠
蔡丽萍
大家都知道“兴趣是最好的老师”，孔子也曾说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”由此可见，培养学生的学习兴趣，让学生在愉快的气氛中学习，是调动学生学习积极性，提高学习质量的至关重要的条件，也是减轻学生过重负担的根本措施。导人新课是一节课的重要环节，俗话说“良好的开端是成功的一半”。好的导入能集中学生的注意力，引起学生的认知冲突，打破学生的心理平衡，使学生很快进入学习状态。为此，我经常从教材的特点出发，通过讲述生动的小故事，或提出一个激起思维的数学问题等方法导入新课。
案例：在相互独立事件概率学习时设置(动画)画面背景：擂台。横幅：解题大赛奖品丰富。
比赛双方：诸葛亮VS臭皮匠团队。
比赛规则：各位参赛选手必须独立解题。团队中有人解出即为团队获胜。
人物：诸葛亮、臭皮匠老大、臭皮匠老二、臭皮匠老三。
诸葛亮（手摇羽扇）：依我以往的经验，我解出的把握有80%。
臭皮匠老二（垂头丧气）：老大，你的把握有50%，我只有45%，看来这奖品与咱无缘了。
臭皮匠老大：别急，常言道：三个臭皮匠臭死诸葛亮。咱去把老三叫来，我就不信咱三人之力，攻不下这个擂台！
问题：假如臭皮匠老三解出的把握只有40%，那么这三个臭皮匠中有人解出的把握真能抵过诸葛亮吗？
从事件构成分析：
事件A为：臭皮匠老大解出题目；
事件B为：臭皮匠老二解出题目；
事件C为：臭皮匠老三解出题目；
则所求为A、B、C至少有一个发生的概率。
事件A、B、C并非互斥事件，并具有特征：A是否发生对B（C）是否发生没有影响，B与C也如此。因而具有相互独立的性质。从而A与B（B与C、A与C）为相互独立事件。
此案例三个臭皮匠顶个诸葛亮是人人皆知的名言，含有深刻的科学道理。内容趣味性强，贴近生活，便于理解，并能激发学生的积极性和主动性，体现了新课标的要求。
总之，在新课引入时，教师最好要为学生提供有“生命”的材料，为学生“提问”创造条件，激活学生的数学问题意识。数学课程标准中指出：“人人学有价值的数学”。有价值的数学从某种意义上说就是要学有用的数学，学生有了学习欲望，才能积极投入地学，与其“把马拉来让它饮水，不如让他口渴”。第二章 规律二揭示概念要深化化
案例1映射
王建忠
理解概念的最好办法就是解决“有何用？”的问题。在应用中要注意强调生活语言与数学语言的区别，避免学生误解数学概念。教学语言的通俗和严谨常常是一对矛盾。用通俗、易懂的语言叙述数学概念，有利于学生接受和掌握，这对数学概念的认识有诸多好处，但也会导致学生理解数学概念不严密不完备，在教学中要把握好分寸，避免学生误解概念。
