笔者：（开门见山）在1558年，意大利数学家斐福隆提出了一个棘手的问题（经改编）：甲、乙两人进行一场势均力敌的比赛，约定先赢到十局者胜出，拿走全部奖金，现甲已经赢了七局，乙赢了九局，但比赛由于某种原因中止了，那奖金该如何分配？（多媒体显示）
（继续介绍）当时斐福隆给出了“奖金应按1∶6分配给甲、乙”的答案。（停顿，整个教室内哑雀无声，学生显然对1∶6的答案有些无措）
但他错了。（学生哈哈大笑）
如果是你，你怎么处理呢？……
2．完成“随机事件的概率”的教学后，笔者让学生以书面形式针对“奖金分配问题”提出一个解决方案。
3．虽然没有一位学生是按1∶7分配，令笔者有些遗憾，但正如笔者所料，此后的学习充分说明了这个问题极大地激发了学生的好奇心。但令笔者没有想到的是学生J的方案：
方案理由方案1奖金应按1∶3分配给甲、乙1.按之后可能的情况分配，共分四种情况：甲甲甲，甲甲乙，甲乙，乙，甲胜出只有一种情况，乙胜出则有三种情况；（笔者按：相比各种方案，此种解决思路是最接近正确的，但可惜没有考虑到所有的基本事件）
2.按比例分配，甲要赢三局，而乙只要赢一局；
3.乙必得奖金的一半，甲乙互赢对方的可能性相当，所以奖金的另一半应平分给甲乙；（笔者按：这种方案使用到了期望的思想，但也没能考虑完全）
方案2奖金应按7∶9分给甲、乙既然之后的比赛结果难以预料，故只能按现有成绩分配；方案3奖金应按9∶11分给甲、乙按局数20局，将奖金分成20份，按现有成绩和未来4局各胜2局算，甲应得7+2份，乙应得9+2份；
方案4奖金由主办单位保管，另选时间继续比赛最好的方法方案5奖金应平分1.甲乙应互相谦让2.概率大小不一定决定最终的结果方案6甲不能放弃继续努力，不向困难低头，要学习奥运会上中国女排顽强拼搏的精神。方案7甲、乙掷骰子，如果3点以上（包括3点）乙赢，否则甲赢。方案8甲、乙各有十把钥匙，甲试了七次没打开门，乙试了九次没打开，问谁先打开。(笔者按：经事后询问，学生J认为钥匙可以重复使用。)
面对着这份比任何一位同学都要详尽的方案，我沉思了许久：要知道学生J每次数学考试都不及格啊！我关注过她，采取了许多方法，做了很多工作，但收效甚微，于是我认为她没有数学头脑，缺乏最起码的分析能力，说实在的，我甚至没有指望她能进步。我也以为她放弃数学了……
4．次日，当将答案告之大家时，有意识的注意了一下她，笔者永远无法忘记她在得知答案的一瞬间的那种懊恼（差一点就解决问题了），笔者从未想过，原来，她是如此的渴望（知道最后的答案）……学生J参与的热情和求知的欲望给了我最深刻的印象。
刹那间，笔者有些惭愧，甚至觉得自己很渺小。
三、案例分析
事后，笔者找了学生J谈心，她说：……这个问题很有趣，和别的问题不一样，觉得自己能解决它，所以才提出了这么多的方案……
笔者：提了这么多方案，想必思考了很多时间？
学生J：好几天。
笔者：累不累？
学生J：不觉得。
……
笔者：如此多角度的方案让我吃惊，而且还试图提出了一些类似的问题，你的方案要比其他同学出色的多。（给予充分的肯定，学生J非常意外，眼神中透露出感激和喜悦）
之后，当着全班同学的面，笔者表扬了学生J。（一个极具趣味性的情境引入，能够引起学生比较良好的情感体验，充分诱发学生的好奇心理，刺激学生的求知欲望，促使学生主动地思考和探索，特别是能提供机会让平时那些所谓的数学成绩不好的学生积极参与其中，表达自己的见解和思路，体验数学思考带来的愉悦，享受教师和同学的赞许，感觉到自己在数学课堂上并不孤独。）
自此，学生J对待数学的态度有了明显的改观，在笔者和她的共同努力下，在此案例完稿时，她已经取得了很大的进步。笔者将继续对其经后的发展进行跟踪调查，希望能记录下这位同学的进步历程。
案例27免费午餐
许炳英
本文用一则生活小故事作为“乘法原理”引入，在探讨的基础上让学生主动掌握排列问题。
师：十名少年争座位，饭店老板打圆场：“大家随意来就座，免费午餐等着你。今天座序我记下，下次聚餐再变序。次次变序有时尽，哪天座序如今日，免费午餐我招待，天天免费好饭菜。君子协议今执行，一诺千金兑诺言。”免费午餐吃不到，原因何在君知否？请同学们先想一想，可以互相讨论一下。
这下教室里可热闹了，学生都很认真地讨论起来，就连开始上课时显出懒散状态的同学也一下子来了精神，积极参与进来。
由学生主动发言，宣布讨论结果。（由于课堂气氛相对活跃，一些平时“默默无闻”的同学，也跃跃欲试。）最后，教师可以加以引导、小结。
“免费午餐”吃不到，其原因不是老板不愿意履行他的诺言，而是免费招待的那一天谁也等不到。事实上，假设人数只有3个，不妨记为A，B，C，则3人有6种座序：ABC、ACB、BCA、CAB、CBA。即3个人有种不同的座序。把4个人记为A，B，C，D，同学们自己可以排出24种不同的座序，即4个人有种4×3×2×1=24座序。依次类推，则10个人有10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3628800种不同的座序，若大家一天换一种座序，也必须吃到3628800天后，才能吃到免费午餐。我们以一年365天计算，3628800天大约是9942年。而根据常识判断，人不可能如此长寿，所以免费午餐吃不到。
“‘免费午餐’吃不到”启示我们：天上不可能掉馅饼，科学的方法往往能防止我们上当受骗！同学们努力学习文化科学知识吧！
（最后可以幽默地鼓励学生努力学习文化知识，学生会自然受用，不觉得矫情，比平时严肃地说教效果更大吧！）
案例28两个原理的引入
王勇强
案例：“分类记数原理和分步记数原理”新课的引入
师：同学们思考一下，有多少个两位正整数？你能发现多少种解决问题的方案？请同学们先独立思考，再讨论讨论。
（由于这个问题简单且解决方法灵活多样，学生非常感兴趣，课堂气氛立刻活跃起来。学生们积极地参与思考、讨论。通过交流，学生们得出四种解决问题的方案。）
生1：这问题太简单。从10开始写到99，数一数就知道有90个了。
师：方法虽简单，但体现的是一一对应的映射思想。小学方法，高中思想，不错。
生2：用99-9=90，因为在99个最小的正整数中，只有9个不合要求。
师：这位同学用的是本章使用率很高的方法——补集法（逆向思维法），很好。
生3：从10到19有10个两位正整数，20到29也有10个两位正整数，……，从90到99也有10个数，因此共有90个。
师：该方法把问题分为9类，把这9类满足条件的两位正整数的个数相加得90，这就是我们今天将要学习的——加法记数原理。
生4：在写一个两位正整数的过程中，其个位有10个数字可填，其十位有9个数字可填，因此共有10×9=90个两位正整数。
师：该方法把问题分成独立的两步去完成，将各步的方法数相乘得90，这也就是我们今天将要学习的——乘法记数原理。
（老师板书课题，引入新课）分类记数原理和分步记数原理
该新课引入从简单的、学生感兴趣的、易解决的问题着手，能呵护学生并不太多的学习自信心，能激发学生的学习欲望，促使学生以积极的心态主动参与到教学内容的学习中来。教师通过创设有兴趣的学习情境，并对学习情境进行关键的点拨和正确的引导，将学习情境与教学内容有机结合起来，使学生对学习对象感兴趣，才能取得应有的学习效果，有利于大面积的提高教学质量。
案例29离散型随机变量方差的引入王易
下面给出“离散型随机变量的方差”这一节课导入的一种方法——发现导入法。
我们已经知道数学期望反映了随机变量的平均值，在许多实际问题中，只要知道这个平均值就可以了。但是数学期望毕竟只能反映平均值，有很大的局限性，在某些场合中，仅仅知道平均值是不够的，还是以手表的日走时误差为例，如果有甲、乙两种牌号的手表，他们的日走时误差分别为ξ和η，各具有如下布列：
师：请同学们计算一下两块手表的数学期望。
ξ-101P0.10.80.1η-2-1012P0.10.20.40.20.1学生甲：Eξ=Eη=0。
师：从数学期望去看这两种牌号的手表，是分不出他们的优劣的，如果仔细观察一下这两个分布列就会得出结论：甲牌号的手表要优于乙牌号，为什么？
学生乙：先讨论牌号甲，已知Eξ=0，从分布列可知，大部分手表（有80%）的日走时误差为0，有少部分手表（占20%）的日走时误差分散在Eξ的两侧（±1秒）。再看牌号乙，虽然也有Eη=0，但是只有少部分（有40%）的日走时误差为0，却有大部分（占60%）分散在Eη的两侧，而且分散的范围也比甲牌号的大（达±2秒）。由此看来，两种牌号的手表中牌号甲的手表日走时误差比较稳定，所以牌号甲比牌号乙好！
师：回答的非常正确，非常好！对于这样的评论，同学们是否觉得有点“麻烦”，那么是否可以用一个数字指标来衡量一个随机变量离开它的期望值的偏离程度呢？这正是本节要讨论的问题。（学生思考，也有学生相互讨论）
学生丙：如果ξ是要讨论的随机变量，Eξ是它的数学期望，这时|ξ-Eξ|就衡量了随机变量ξ和它的期望值Eξ之间偏差的大小。
师：很好！但是绝对值运算有许多不便之处，人们便用(ξ-Eξ)2去衡量这个偏差，但是(ξ-Eξ)2是一个随机变量，应该用它的平均值即用E(ξ-Eξ)2这个数值来衡量ξ离开它的平均值Eξ的偏离程度，为此，引入方差。这节课我们就来学习“离散型随机变量的方差”。
新课导入的环节是新课教学的先导，设计巧妙的新课导入，能够有效的为新课组织教学，把学生的注意力集中到新课的学习上来，能够恰到好处地为新课创设情境，激发起学生的学习兴趣，这便有一种内在的力量推动他自觉地、积极地去探究，使学生从”苦学”步入”乐学”的境界，在品质、知识、能力等各方面都得到高度发展。
案例30设疑导入一例
王易
新课导入是课堂教学的先导，良好的开端是成功的一半，怎样在课堂教学中培养学生的学习兴趣、激活情感、启迪智慧、诱发思维呢？我们要紧紧抓住新课导入这一环节，教师从实际出发的精心安排的新课导入，可以为新课创设教学意境，使学生迅速进入角色，按教师的要求进行学习、思索，可以为新课的教学需要激起学生的探索欲望，从而形成良好的心理动态，可以为新课突出重点、突破难点、埋设教学措施的引线，成为新课启发教学的先导。
下面我给出“离散型随机变量的数学期望”这一节课导入的一种方法——设疑导入法。
通过前几节课的学习，我们已经知道离散型随机变量的分布列全面地描述了这个随机变量的统计规律，但在许多实际问题中，这样的“全面描述”有时并不使人感到方便，举例来说。
师：已知在一个同一品种的母鸡群中，一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量，如果要比较两个品种母鸡的年产蛋量，通常是用什么来比较？
生：通常只要比较这两个品种的母鸡的产蛋量的平均值就可以了，平均值大就意味着这个品种的母鸡产蛋量高，当然是“较好”的品种。
师：这时如果不去比较他们的平均值，而只看他们的分布列，虽然“全面”，却使人不得要领，既难以掌握，又难以迅速地做出判断。
这样的例子可以举出很多：例如要比较不同班级的学习成绩，通常就是比较考试中的平均成绩；要比较不同地区的粮食收成，一般也只要比较平均亩产量等。既然平均值这么有用，那是值得花力气来研究一番的。现在，先看一个例子。（幻灯放映）
例：某手表厂在出厂产品中，抽查了N=100只手表的日走时误差，其数据如下：
日走时误差（秒）-2-101234只数310172821165这时，抽查到的这100只手表的平均日走时误差为多少？
生：（-2）×3+(-1)×10+0×17+1×28+2×21+3×16+4×5100=122秒/日。
师：很好！如果另外再抽查100只手表，那么每做一次这样的检验，就得到一组不同的数据，也就有不同的日走时误差的平均值。
由前几节课频率和概率的关系讨论可知，在求平均值时理论上应该用频率代替概率，这时得到的平均值才是理论上的平均值，这个平均值称为数学期望，我们这节课就来学习“离散型随机变量的数学期望”。
案例31正态分布的引入
计丹红
数学是一门非常抽象的学科，有些知识点如果不加以实际解释，而专门就理论知识操作的话，那么不仅没有趣味性，而且也不容易理解。所以，在数学课堂中融入一些实际的内容，那么就会使得数学课变得生趣多了。
如在高三的选修课上，第一章是《概率与统计》，其中有一节是正态分布的。是在总体分布的估计下得到一条曲线，然后给出曲线的函数式，接着对这个函数进行分析，通过图象和函数式得到他的若干性质以及图象的变化情况。那么，在给出图象以及函数式的时候，如果不加以实际的联系和解释，这个知识点本身就变成难以理解的内容了。首先正态分布是说明的怎样一个问题，其次，为什么正态曲线是这样的，它起到一个怎样的作用。
所以光从理论角度去教学的话，那么整堂课的内容将是空洞的。如果从实际角度去引出课题的话，那么实际效果将大不一样。譬如，可以以提问的方式引出课题：有没有成年男子的身高在2.2米的？那么学生肯定会大叫姚明，或者是篮球运动员。接着再问，有没有身高是3.0米的？那么学生肯定会大笑，大概是没有的吧。接着可以再问：那有没有身高在1.2米的，那么学生的回答肯定是否定的。最后可以接着问，那么一般的成年男子的身高都集中在1.7左右？在这种轻松的氛围下就可以自然地引入课题了。那么函数的图象也自然地引出来了。以及平均值μ和标准差σ在函数的图象中所起到的作用也就很明显了。所以自然地就将本节课的重点阐述清楚了。
因此，把原本抽象的内容生活化以及具体化，以及怎样把一个抽象的概念落到实处成为了数学课堂中的一个必不可少的内容。
案例32数学归纳法的引入
石亮
在讲授《数学归纳法》一课时，有意设计了下面三个问题引入新课。
问题1今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是，我得出：这所学校里的学生都是男同学。（学生：窃窃私语，哄堂大笑——以偏概全）。
