变式1△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另二边所在直线的斜率乘积等于49，求顶点A的轨迹方程。
变式2△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6，0)，(6，0)，若边AC，BC所在直线的斜率乘积等于49，则顶点C的轨迹方程是什么？
归纳：若边AC、BC所在直线的斜率乘积是正数，则顶点C的轨迹是去掉三角形的两个顶点A、B的椭圆；若边AC、BC所在直线的斜率乘积是负数，则顶点C的轨迹是去掉三角形的两个顶点A、B的双曲线。
变式3若三角形两个顶点A，B的坐标分别是(-a，0)，(a，0)，边AC、BC所在直线的斜率乘积-b2a2，则顶点C的轨迹方程是什么？
变式4若三角形两个顶点A、B的坐标分别是(-a，0)，(a，0)，且AC、BC所在直线的斜率乘积等于b2a2，则顶点C的轨迹方程是什么？
变式5：若AC、BC所在直线的斜率乘积等于常数k(k≠0)，则顶点C的轨迹方程是什么？
归纳：平面内的动点到两定点(-a，0)，(a，0)的斜率乘积等于常数k(k≠0，k≠-1)的点的轨迹叫做椭圆（双曲线），其中两定点分别是椭圆（双曲线）的顶点。当常数-1＜k＜0时为椭圆；当常数k＞0时为双曲线。
案例19变题一例
蔡敏
例过抛物线y2=2px(p>０)的焦点的一条直线和这条抛物线相交于P1、P2两点，两个交点的纵坐标分别为y1、y2。求证：y1y2=p2。
1．已知条件不变时，
①求证：x1x2=p24；②求证：以焦点弦为直径的圆必与准线相切。
2．改成逆命题：一条直线与抛物线y2=2px(p>0)相交于P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点，如果满足y1y2=-p2（或x1x2=p24），那么这条直线过抛物线的焦点。
3．已知条件不变，再附加条件“过p1、p2分别作x轴的垂线，垂足为M1、M2”。求证：｜OM1｜、｜OF｜、｜OM2｜成等比数列。
4．已知条件不变，再附加条件“P1P2倾斜角为θ”。求证：
①t=x1+x2+p；
②t=2psin2θ；
③(x2-x1)2=t2-2tp，(y2-y1)2=2tp；
④P1P2所在直线方程为2px-(y1+y2)y+y1y2=0；
⑤t是θ的函数，求出这个函数的表达式，并求和的最小值。
5．已知条件不变，再附加条件“过焦点F，再作一条与P1P2垂直的弦P3P4”。求以此两弦为对角线的内接四边形的面积的最小值。
评注：通过上述变式和引申，既有广泛的串联性，知识覆盖面广，又有一题多变，一题多用的功能，达到培养思维深刻的目标。
案例20从变化中寻找共性
卞红莲
回想我的学习时光，尤其是高中，大部分记忆都是老师一题又一题的讲，我就一题又一题的记。这么多的题，对当时的我来说，几乎没有把它们联系起来，同一个知识点反复出现，同一个题反复的练，所以，学得比较吃力。现在我成了老师，我应该教会我的学生如何分析题目，如何将多个题型联系起来，一、可以减少许多无用功，让学习变得轻松一点，从而增强学生的学习兴趣；二、将知识融会贯通，可以更有效地提高学习效率。因此，我在教学过程中，尤其在讲解例题时，注重多变化，一题多变，让学生在比较中找到共性，准确的解决问题。
以下是我为“运用导数解决相切问题”而设计的一个例题：
例：求曲线y=2x2在点P（1，2）处的切线方程。
首先我引导学生运用导数的定义和几何意义两种方法得出解答；然后我再给出以下变式：
变式1如果曲线y=2x2的某一切线与直线4x-y=0平行，求此切线方程及切点坐标。
分析完变式1后，我将平行再改为垂直，学生一下就得出了正确答案。
之后我又让学生思考：例题是否可以不用导数来解决？很快，学生想到了用判别式法来做，也解出了正确答案。此时，我设了一个问题：判别式法和导数法是否都可以解决所有相切问题？于是我又给出一个例题：
求曲线y=Inx过点P(e，l)的切线方程。
学生试着用这两种方法分别来解，发现此题用判别式法无法解决，而用导数很快就得到了答案。于是我设置了一个讨论题：相切问题，何时用判别式法，何时用导数法？经过激烈的讨论，再加上我的点拨，得出一个结论：利用导数求切线问题具有一般意义；而用判别式法局限于二次曲线与直线的相切问题。
经过这个例题的多次变化，学生掌握了解这种题的一般方法，不管形式如何变化，都可以快速、准确的运用这一知识解决问题。举一反三，可以做到事半功倍，我们在教学过程中，尤其是备课时，可以试着将多个题型联系起来，讲解例题时多变化，也许会收到意想不到的效果。
案例21五种变化，五个变式
蔡敏
题目求曲线y2=4-2x上与原点距离最近的点的坐标。
1．改变条件，挖掘内在联系
变式1求曲线y2=4-2x上与原点距离最近的点P的坐标。
说明解答所得点P不是抛物线的顶点，抛物线对称轴上的点到抛物线最近距离不一定在抛物线的顶点处，学生可能会用图象法错误地观察出就在顶点处，此题的设计目的是通过辨析，揭示问题的实质，培养思维的准确性。
2．条件一般化，提高综合分析能力
将课本习题条件一般化，是设计变式题的一种常用方法。
变式2在曲线y2=-4-2x上求一点M，使此点到A(a，0)的距离最短，并求最短距离。
说明本题实际上是前两题的归纳和总结。
3．添加背景材料，提高应变能力
在教学过程中，善于引导学生变换习题的形式，可激发学生的求知欲望，提高学生的应变能力。
变式2抛物线C1：y2=-4-2x上与动圆C1∶(x-a)2+y2=1没有公共点，求a的取值范围。
说明圆C2与抛物线C1的位置关系有两种，一种是圆C2在抛物线C1的外部，另一种是圆C2在抛物线C1的内部。如果变为只有一个公共点呢？则引出变式4。
4．联系实际，增强应用意识
变式4一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是y=x22(0≤y≤15)，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，求玻璃球的半径r的取值范围。
说明对于一道习题不能就题论题，而应进行适当引申和变化，逐步延续伸展，达到学以至用的目的。
5．变换条件结论，提高探索能力
变式5直线l的方程为x=-p2，其中p>0，椭圆的中心为D(2+p2，0)，焦点在x轴上，长半轴的长为2，短半轴的长为1，它的一个顶点为A(p2，0)，在椭圆上是否存在点，使它到点A的距离等于该点到直线l的距离。（高考题改编）
说明把题目的条件和结论适当改变得新题目，通过演变，可使学生时时处在一种愉快的探索知识的状态中，从而充分调动学生的积极性，启发学生的思维，提高学生的解题能力和探索能力。
案例22同一题目，不同变化
王珏
题目：求曲线y2=-4-2x上与原点距离最近点的坐标。
一、改变题目形式
变式1求抛物线y2=-4-2x和圆(x+4)2+y2=1上最近两点间的距离。
虽然题目条件变成了定圆，但归根结底还是求抛物线上的点到定点的距离的最小值问题。
变式2在曲线y2=-4-2x上求一点M，使此点到A（a，0）的距离最短，并求最短距离。
解：设点M的坐标为（x，y），则｜MA｜=(x-a-1)2-2a-5（x≤-2）
若a≥-3，则当x=-2时，｜MA｜min=｜a+2｜，此时点M的坐标为（-2，0）。
若a＜-3，则当x=a+1时，｜MA｜min=-2a-5，此时点M的坐标为（a+1，±-2a-6）。
从抛物线上到定点最短距离的点的求法，上升到抛物线上到动点的最短距离的点的求法，从特殊到一般培养学生思维的变通性，并能够运用分类讨论的思维。
二、改变题目条件
变式3在抛物线y2=-4-2x上求一点M，使此点到直线x+y-3=0的距离最短，并求最短距离。
分析：发现所要求的抛物线上的点到直线的最短距离，即为两平行线x+y+32=0与x+y-3=0间的距离d=｜32+2｜2=924。
由抛物线上到定点的最短距离的点，引申到定直线的最短距离。将点到直线的距离转化为两平行线间的距离，优化了解题过程。
三、改变题目的背景材料
变式4抛物线y2=-4-2x与动圆C：(x-a)2+y2=1没有公共点，求a的取值范围。
解：由题意得方程组y2=-4-2x(x-a)2+y2=1无解。
即方程x2-2(a+1)x+a2-5=0(x≤-2)无实根，
所以①δΔ≥0a+1＞-2f(-2)＞0或Δ＜0
所以a＞-1或a＜-3
这是圆与抛物线没有公共点的情况，有两种可能：圆在抛物线的外部，或圆在抛物线的内部。如果变为只有一个公共点呢，这就有了变式5。
变式5求圆心在x正半轴上，与抛物线y2=2x切于原点，且面积最大的圆的方程。
解：设圆方程为(x-r)2+y2=r2由
y2=2x(x-r)2+y2=r2
得x2+2(1-r)x=0(1)
x=0或x=2(r-1)因（1）式有且只有一根x=0
故只需2（r-1）≤0，即r≤1，故圆的半径的取值范围r≤1。
因此面积最大的圆方程为(x-1)2+y2=1。
此案例从讨论抛物线上的点与定点和动点的距离为出发点，进而讨论抛物线上的点与定直线的距离。更进一步讨论了抛物线和动圆的位置关系，从易而难，从简单到复杂符合学生的认知规律。
案例23立体几何多变一例
赵毓莉
案例：已知异面直线a与b所成的角为80°，Ｐ为空间一定点，则过点Ｐ与a、b所成角都是45°的直线有且仅有条。
本题是应用“斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角”这一理论来解决问题，∵40°<45°<50°，故结论为2条，这两条直线在过Ｐ点引直线a、b平行线所成80°角的角平分面上，而在100°角的角平分面上不存在。
变化1已知异面直线a、b与所成角为80°，Ｐ为空间一定点，现过点Ｐ的直线与a、b所成的角都是θ，当θ的范围满足何种取值时，过点Ｐ的直线分别有0，1，2，3，4条。
变化2“若a、b为异面直线，Ｐ为空间任一点，则过点Ｐ至少可作一条直线分别与a、b都成60°角”，试判断该命题的真假。
变化3(04年湖北高考题)已知平面α与β所成的二面角为80°，Ｐ为α、β外一定点，过点Ｐ的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有条。
变化4已知平面α与β所成的二面角为80°，Ｐ为α、β外一定点，过点Ｐ的一个平面与α、β所成的角都是30°，则这样的平面有且仅有个。
变化1是在原题的基础上要求发散思维，全面思考，紧扣基本理论与边界值加以讨论；变化2改变了设问方式与题型，思维层次有提升，讨论需紧扣60°角与异面直线a、b所成的角的范围展开；变化3、4则通过法线代替平面，巧妙地实施了降维策略，从而转化为线线所成的角的问题。
通过以上几个似是而非却又在本质上相通的题组练习，给了学生很大的思考空间。使得学生对问题本质的认识得更加深刻，很好地掌握了化归思想的运用。
案例24一道立体几何题的解决过程
李芳
有一学生在课外辅导书上看到这样一道几何证明题：图30
求证：斜棱柱的侧面积等于它的直截面的周长与侧棱长的乘积。
学生在看了以后，就问我：“它与已经学过的直棱柱侧面积求法有什么联系”？为了让学生能了解这个问题的解决过程，理解蕴涵在其中的数学实质，设计了一个例题如下：
如图30，在斜棱柱ABC—A1B1C1中，已知底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA1与底面相邻两边所夹的角都为45°，
求二面角B—AA1—C的平面角；
求证：BB1C1C为矩形；
③求它的侧面积。
这里第①题中所添的二面角的平面角∠BDC中的两条边BD和DC就是两个侧面的高，从而与第②题一起为斜棱柱侧面积的求法创造了条件。完成①、②两个小题后，开始师生对话。
［师］直棱柱的侧面展开图为矩形，其侧面积是这个矩形的长(底面周长)乘以宽(母线长)。那么斜棱柱的侧面展开图是什么呢？
［生］(不假思索)平行四边形。
［师］我们来动手实验一下。(结果见图31)
［生］我们应如何来做第③题呢？一个一个地求。
［师］有没有其他求法？能否也像直棱柱一样展开来求？
［师］来观看一下△BCD(见图32)的三条边BC，CD，DB在展开图中是什么样的？
［生］成一条直线。
［师］为什么？
［生］因为他们与侧棱AA1都垂直。
［师］现在我们沿这条直线将侧面剪开…
［生］(顿悟)可以拼成一个矩形。
［师］平行四边形转化为矩形的同时斜棱柱转化成了什么？
［生］直棱柱。
［师］(见图33)如何求这个矩形的面积呢？
［生］用△BCD的周长乘以斜棱柱的侧棱长。
［师］这就是这道题要告诉我们的：斜棱柱的侧面积等于它的直截面的周长与侧棱长的乘积。
案例25立体几何多变一例
王易
一题多变就是一道题目改变条件或结论变出多个题来。这种方法不是就题论题，它可以使学生将所学方法获得提炼上升，从而达到触类旁通、举一反三的效果。发展学生的思维，是数学教学的目的之一，是学好数学的所必须，是培养学生具有独立思考，勇于创造的科学精神所必须。为了从多种角度训练学生的思维，我在教学过程中便运用一题多变的组织形式进行教学。现举一例。
课本第二册（下）P10例1已知四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的四边形叫做空间四边形），E、H分别是边AB、AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且CFCB=CGCD=23。
求证：四边形EFGH有一组对边平行但不相等。
师：变式1，例题中四边形EFGH是什么图形？（幻灯放映）
生：梯形。
点评：改变题目的问法，使新旧知识结合起来，训练学生的发散思维。
师：若把已知改为CFCB=CGCD=12，则四边形EFGH是什么图形？
变式2若E，F，G，H都是中点，则四边形EFGH是什么图形？（幻灯放映）
生：平行四边形。
点评：改变题目中的条件，让学生学会触类旁通。
师：变式3，若E，F，G，H都是中点，且BD=AC，则四边形EFGH是什么图形？（幻灯放映）
生：菱形。
点评：改变题目中的条件，让学生学会举一反三，激起学生的求知欲。
师：变式4，若E，F，G，H都是中点，且BD⊥AC，则四边形EFGH是什么图形？（幻灯放映）
生：矩形。
点评：改变题目中的条件，培养学生思维的连贯性。
师：变式5，若E，F，G，H都是中点，且BD=AC，BD⊥AC，则四边形EFGH是什么图形？（幻灯放映）
生：正方形。
点评：改变题目中的条件，使学生能够在思考问题时，层层深入地分析、理解问题，达到思维的深刻性。
师：变式6，若E，F，G，H都是中点，对角线BD=2，AC=4，求EG2+HF2的值。（幻灯放映）
生：EG2+HF2=2（EH2+EF2）=2（1+4）=10
点评：改变题目中的条件，使学生形成知识的迁移，培养学生具有独立思考，勇于创新的科学精神。
师：变式7，若E，F，G，H都是中点，BD=6，AC=8，AC与BD所成的角30°，则四边形EFGH的面积为多少？（幻灯放映）
生：SEFGH=EF×EH×sin30°=4×3×12=6
