在解析几何的复习课中，我把现行高中数学教材第二册（上）第132页第13题“直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围”做为例题讲解，此题虽浅显简单，但通过我的精心设计，对培养学生能力，发展智力，激发兴趣，都能起到一定的作用。
1.一题多解。引导学生思考用多种方法来解题，
解法一：原问题等价于方程组y=kx-1，x2-y2=4无解，即(1-k2)x2+2kx-5=0无解。当1-k2=0时，方程有解，显然不合题意；
当1-k2≠0时，有△＜0，解得k＜-52或k＞52，即为所求。
此法将直线与双曲线的公共点的个数转化为方程组的解的个数，属代数方法，是解决直线与圆锥曲线公共点个数问题的通法，基本上大部分学生都用此法解题。
解法二：直线y=kx-1是过点（0，－1）的直线系，由右图知：当直线由与右支相切的直线逆时针转到与左支相切时（不包括相切），与双曲线无公共点，故只要求得y=kx-1与双曲线相切时的斜率即可，与解法一类似，得(1-k2)x2+2kx-5=0，由1-k2≠0，Δ=0解得k±52，故k＜-52或k＞52。当1-k2=0时，显然不合题意。综上知k的取值范围是(-∞，-52)∪(52，+∞)
此法运用数行结合的思想，也是解决此类问题的常用方法，也有不少同学运用求解。
解法三：先求直线与双曲线有公共点时k的取值范围，由x2-y2=4，可设x=2secθ，y=2tanθ，代入y=kx-1得2tanθ=2ksecθ-12sinθcosθ=2kcosθ-12k=2sinθ+cosθk=52sin(θ+φ)∈-52，52，故所以求k的取值范围是(-∞，-52)∪(52+∞)
此法利用正余弦函数的有界限使问题得以解决，且沟通了解析几何与三角函数的联系，避免了解方程组的繁琐计算，也回避了分类讨论，解答过程简洁、明快，是解析几何中求参数范围问题的常用方法，但想到此法求解的同学较少。
解法四：先求直线与双曲线有公共点时k的取值范围，由解法三得2sinθ+cosθ-2k=0。∴点(sinθ，cosθ)在直线2x+y=2k上。
∴直线2x+y-2k=0和圆x2+y2=1有公共点。
∴圆心到直线的距离d=｜2k｜5≤1，解得k∈-52，52，故k的取值范围是(-∞，-52)∪(52，+∞)
此法通过三角代换将直线与双曲线的位置关系转化为直线与圆的位置关系，构思巧妙，是一种具有创造性思维的解法。但几乎没有学生能将此联系起来。
2一题多变。讲完此题的解法后，我又马上给出了7个变式题，让学生练习。
变题一：若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有公共点，求k的取值范围。
变题二：若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有且仅有一个公共点，求k值。
变题三：若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点时，求k的取值范围。
变题四：若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个公共点时，求k的取值范围。
变题五：若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的两支各有一个公共点时，求k的取值范围。
变题六（2003年北京市朝阳区第二学期高三综合练习（一））：过点（0，2）的直线l与双曲线x2-y2=6的左支交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是（）
（A）(-153，153)（B）(-∞，-1)∪(1，+∞)
（C）(-153，-1)（D）(1，153)
变题七（2003年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题（Ⅱ））：点P1，P2在过点A（0，1）斜率为k(k≠0)的直线l上，P1，P2到点M(2，0)，N(-2，0)的距离之差都等于2，求k的取值范围。
一段时间后，学生对这7个问题得出了结果，其思路又是异彩纷呈。
回顾本节课，虽然只是一个题目的多解与多变，但学生的收获绝不止此题的正确答案。在整个教学过程中，学生学习的主动性，探索问题的勇气和征服困难的决心被极大的调动，学生的创新意识也渐渐萌发。
案例分析：
1在解题教学中，只要我们综观全局，引导学生采用多种分析、多种思路、多种方法来分析问题、解决问题，有针对性地对学生进行思维品质的训练，充分挖掘题目中蕴含的数学思想和方法，长期坚持下去，就能达到提高学生数学素质的目的。
2赞可夫有可名言：“教会学生思考，对学生来说，是一生中最有价值的本。”在数学教学过程中，通过典型例题的一题多解、一题多用、多题一解来培养学生的发散机智，实现和提高思维的流畅性，通过对典型例题的多变（变条件、变结论、变命题），引申拓广以及转向思维，培养学生的转向机智，实现和提高发散思维的变通性。
案例15一道复习题的教法设计
王勇强
案例：高中教材（必修）数学第二册(上)P130第八章小结与复习例(2)：
直线y＝x-2与抛物线y2＝2x相交于A、B两点，O为坐标原点，求证OA⊥OB。
本题的解法并不难，然而仅仅讲解法，就题论题，不能充分体现该题的教学价值，故作教学设计如下：
1．课前准备
给每位同学各准备一张学习卡片（以便交流）。要求学生对这道题目进行探究性学习，包括探求其他解法、并通过改变条件或结论开放等方式提出一些新的问题并努力解决。
2．小组讨论交流，初步展示成果
展示成果一：解法的开放
方法一：将直线方程与抛物线方程联立，求出A、B两点坐标，再用斜率乘积为-1来证明OA⊥OB。
方法二：对斜率乘积y1x1·y2x2进行整体化处理，运用韦达定理直接求出y1y2，x1x2，这可简化运算。
方法三：利用向量知识OA⊥OBx1x2+y1y2=0，而求y1y2，x1x2的方法同上。
方法四：利用圆锥曲线的弦长公式求出OA的长、OB的长、AB的长，再利用勾股定理的逆定理来证明。
教师可作适当点评：方法二、三思路比较简捷，可作通法使用。
展示成果二：结论的开放
提出问题一：条件不变，求弦AB的长。
提出问题二：条件不变，求△OAB的面积。
针对问题一，思考求弦长的方法（两点间的距离公式、弦长公式）。
针对问题二，教师引导学生探索求三角形的面积的方法。
方法一：利用公式S△=12ah，利用点到直线的距离公式求出AB边上的高，而弦AB的长已求出。
方法二：利用公式S△=12absinθ，求出OA的长、OB的长，而∠AOB=90°，故可求出面积。
方法三：利用割补法，将△OAB割成两个小三角形分别求面积再求和。设AB与X轴的交点为C(2，0)，则S△=12｜OC｜·｜y1-y2｜。故只需利用韦达定理求出y1+y2、y1y2即可。
教师可作适当点评：此题用方法二较简单，但方法三的思维更深刻，是此类型解法中的捷径，希望同学们能掌握。
3．问题变换（条件开放）
学生对这个问题的探究性学习已首获成果，高兴之余兴趣更增。教师适时引导学生对这个问题的条件进行变换，提出新的问题。学习小组积极行动起来，继续进行新的探究。通过合作与讨论，学生得到一些新的问题。
问题1：直线l：y＝x+b与抛物线y2＝2x相交于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB则求b的值。
问题2：直线y＝x-2与抛物线y2＝2x相交于A、B两点，O为坐标原点，若点P为抛物线y2＝2x弧AOB上一动点，求△PAB面积的最大值。
教师和学生一起解决了这两个问题后，及时赞赏这两道题出得好。问题1能培养学生的逆向思维能力，问题2是化静为动，体现思维的辨证性和深刻性且与2003年全国高考数学卷一道选择题的类型一样，而且这两个问题为学生后面构建新问题，提出更深刻、更一般的问题作了铺垫。
4．合作交流，继续探索规律
对于问题1，教师设问：当直线l的斜率不固定为1时，即直线l可以旋转时，若OA⊥OB，直线l是否是唯一的呢？
下面马上有学生回答：“这样的直线l有无数条。”教师继续设问：为什么？
该学生回答：“将点A、点B分别在抛物线y2＝2x上滑动，保持OA⊥OB则直线AB即直线l有无数条。”
教师表扬该学生的思维敏捷，让全体学生继续探索规律。问：这无数条直线AB有什么规律？还能提出什么新的问题？一石激起千层浪，学生们的情绪再次高涨，有拿笔画图的，有停笔思考的，也有和同学讨论的，整个课堂再次沉浸在探究学习的良好氛围中。不久，许多学生说过定点(2，0)。这时教师让学生用几何画板演示，点A、点B分别在抛物线y2＝2x上滑动，保持OA⊥OB，则直线AB过定点(2，0)。于是学生很快有如下问题产生：
问题3：直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求证直线AB过定点(2，0)。
学习小组很快得出了证明。有一个小组还将该问题进一步拓展，提出一个猜想(问题4)。
问题4：命题：直线l与抛物线y2＝2px(p>0)相交于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)。请判断该命题的真假，并说明理由。
师生合作，证明该命题。师生共同经历了探索—猜测—证明的学习过程。大家都很开心、激动。
5．探究得出命题的应用
本课的探究性学习活动至此已到高潮，学生觉得通过自己的探究学习，初步了解数学结论的产生过程，体验数学研究的过程和创造的激情。教师再留给学生一个问题带到课外去思考。
问题5：直线l与抛物线y2＝2px(p>0)相交于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，OM⊥OB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
问题5的解法有许多，通常是用交轨法，但运算比较复杂。最简单的是利用问题4得到的命题，直线AB过定点C(2p，0)，而OM⊥OB，由圆的知识可知点M的轨迹是以(p，0)为圆心，以p为半径的圆(去掉圆点)。让学生再次体会研究、创造的快乐。
6．交流学习心得
通过对一道常见问题的由浅入深，由表及里的讨论，培养了我们发现问题，研究问题的能力，同时也深深感受到了探究的乐趣，原来数学命题的发现并不神秘，就在我们的探索之中！增强了我们学习数学的自信心。
案例16一道抛物线题目的教法设计
王勇强
案例：高中新教材（试验修订本·必修）第八章一道例题：
斜率为l的直线经过抛物线y2＝4x的焦点与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长。
教师设问质疑，启迪思维
求线段AB长是否一定要求出A、B两点的坐标？
学生自主探索（解法的开放）
方法一：将直线方程与抛物线方程联立，求出A、B两点坐标，再用两点间距离公式。
方法二：利用圆锥曲线的弦长公式。
方法三：运用抛物线定义及韦达定理，推出AB＝xA+xB+2＝8。
教师作适当点评：方法三思路比较简捷，可作通法使用。
教师变换问题（条件开放）
问题1：直线l过抛物线y2=4x的焦点，且交于A、B两点，xA、xB分别是A、B的横坐标，且xA+xB＝6，求AB的长。
问题2：直线l过抛物线y2=4x的焦点，且交于A、B两点，xA、xB分别是A、B的横坐标，且｜AB｜＝8，求xA+xB
教师出示这两道题，目的不仅仅在于训练学生的逆向思维能力，而是要教学生如何设计，构建新问题，怎样提出更深刻的问题，更一般的问题，为下面学生自己构建开放性问题作铺垫。
师生动手实践，探索规律
对于问题2，教师设问：当AB不过焦点时，是否也有xA+xB＝6呢？
教师让学生用几何画板演示，一根长为8的线段在抛物线y2=4x上运动，发现xA+xB是变量，于是学生很快有如下问题产生：
问题3：长度为8的线段AB的两端点在抛物线y2=4x上移动，求：线段AB的端点到y轴距离之和的最小值。
问题4：长度为(l>0）的线段AB的两端点在抛物线y2=4x上移动，求：线段AB的端点到y轴距离之和的最小值。
在讲解例题的过程中，教师的任务不仅仅是分析完，讲解完即可，也不仅仅是一题多解、一题多变，而是给予学生指导，促进学生反思，多解选优，找到多变中不变的本质。教师的指导已不仅是将学生的研究方向引向一个已有的结论，更是要提供信息，启迪思维，帮助学生提出更深层次的新问题，以促进学生主动加深，加深对问题的本质理解。
案例17变式训练一例
王珏
题目：求曲线y2=-4-2x上与原点距离最近点的坐标。
一、改变题目形式
变式1求抛物线y2=-4-2x和圆(x+4)2+y2=1上最近两点间的距离。
虽然题目条件变成了定圆，但归根结底还是求抛物线上的点到定点的距离的最小值问题。
变式2在曲线y2=-4-2x上求一点M，使此点到A（a，0）的距离最短，并求最短距离。
解：设点M的坐标为（x，y），则｜MA｜=(x-a-1)2-2a-5（x≤-2）
若a≥-3，则当x=-2时，｜MA｜min=｜a+2｜，此时点M的坐标为（-2，0）。
若a＜-3，则当x=a+1时，｜MA｜min=-2a-5，此时点M的坐标为（a+1，±-2a-6）。
从抛物线上到定点最短距离的点的求法，上升到抛物线上到动点的最短距离的点的求法，从特殊到一般培养学生思维的变通性，并能够运用分类讨论的思想方法。
二、改变题目条件
变式3在抛物线y2=-4-2x上求一点M，使此点到直线x+y-3=0的距离最短，并求最短距离。
分析：要求的抛物线上的点到直线的最短距离，即为两平行线x+y+32=0与x+y-3=0间的距离d=｜32+3｜2=924。
由抛物线上到定点的最短距离的点，引申为到定直线的最短距离。将点到直线的距离转化为两平行线间的距离，优化了解题过程。
三、改变题目的背景材料
变式4抛物线y2=-4-2x与动圆C：(x-a)2+y2=1没有公共点，求a的取值范围。
解：由题意得方程组y2=-4-2x(x-a)2+y2=1无解。
即方程x2-2(a+1)x+a2-5=0(x≤-2)无实根，
所以或①Δ≥0a+1＞-2f(-2)＞0或②Δ＜0
所以a＞-1或a＜-3
这是圆与抛物线没有公共点的情况，有两种可能：圆在抛物线的外部，或圆在抛物线的内部。如果变为只有一个公共点呢，这就有了变式5。
变式5求圆心在x轴的正半轴上，与抛物线y2=2x切于原点，且面积最大的圆的方程。
解：设圆方程为(x-r)2+y2=r2(r>0)由
y2=2x(x-r)2+y2=r2得x2+2(1-r)x=0（1）
x=0或x=2(r-1)因（1）式有且只有一根x=0
故只需2（r-1）≤0，即r≤1，故圆的半径的取值范围r≤1。
因此面积最大的圆方程为(x-1)2+y2=1。
此案例从讨论抛物线上的点与定点和动点的距离为出发点，进而讨论抛物线上的点与定直线的距离。更进一步讨论了抛物线和动圆的位置关系，从易而难，从简单到复杂符合学生的认知规律。
案例18一例求轨迹方程题的变式
金建明
很多高考题来源于课本，是对课本例习题的改编。在高二的期末复习过程中，我要求学生对课本题目进行归纳研究，下面我就以高二数学新教材第96页第4题为例，与大家一起探索研究性学习这一新的学习方式。
例：△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6，0)，(6，0)，边AC、BC所在直线的斜率乘积等于-49，求顶点C的轨迹方程。
