点评
培养学生的数学逻辑思维能力一直是数学教学的重要任务之一，数学新课程对几何论证做了新的要求，作者的教学设计正是在数学新课程理念下进行的大胆探索。教学设计过程清晰明了，设计意图中陈述的教育学与心理学理论能与教学实践环环紧扣。在学生已有知识和经验基础上，通过呈现精心设计的问题，让学生产生“认知冲突”，体会并理解证明的必要性，并引导学生思考如何进行论证，同时在证明过程中养成言必有据的习惯。作者教学设计中的历史名题欣赏也很好地配合了“证明”这一教学主题，也拓宽了学生的数学视野。
二十九、用二分法求方程的近似解
一、前期分析
本课内容选自人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书（A版）数学1（必修）。
函数是高中数学的起始课程，本教材以“函数”为核心展开。对方程的认识和研究，也从函数出发，把函数作为整体认识，方程则被看成是包含于函数的局部。函数的重要性主要表现在两个方面，一是函数思想的价值，二是函数应用的价值。为了充分体现新课标的精神，有效落实新课标的目标，本册教材单独设立了“函数应用”一章，力图在理念、意义、方法和能力上为高中阶段的进一步学习奠定基础。
全章内容分三个层次逐渐展开。首先是函数用于方程求解，这里集中研究的是从函数特征判定方程实数解的存在性及求方程近似解；然后是实际问题中的函数应用，最后是数学建模。数学应用是贯穿教材始终的。本教材突出了近似和数值计算，特别是方程的解不仅追求用方程系数表示的精确值，而且关注近似解的获得和近似程度的判定。在实际中，近似解比精确解应用更多，突出近似解将使人们可解的范围扩大。当今计算机等现代技术的发展使近似计算更成为可能。
本节的学习是为后续课程奠定基础，表现在两个方面，一是今后还要进一步学习重要的函数，如三角函数、导数等；二是以函数的思想和观点分析理解更多的数学内容，如数列、不等式和算法等。
学生已经学习了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示法、性质、图象，也已初步理解求方程实数解的问题就是求函数的零点问题。通过第一课时，学生已经知道函数f（x）在某区间内有零点。本节课的问题是，如何利用二分法找出这个区间内的零点近似值.对大多数学生来说，应不会有太大困难。
学生生性活泼，思维活跃，积极性高，家庭及社会已经给了他们不少的经验，已初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力；另一方面，由于背景和条件的不同，学生的认知方式、认知水平、思维策略和学习能力不一样，一定会表现出不同的个体差异。
高一学生是一个具有特殊特点和规律的学习群体，根据皮亚杰关于认知发展阶段的学说，他将儿童的智力与思维发展分成感知运算、前运算、具体运算和形式运算四个阶段，高一学生处于形式运算阶段。这一时期的特点是，认知发展从具体逐渐向抽象过渡，日益摆脱具体实际经验的支持，但很大程度上还属经验型，需要感性经验的直接支持。在情感方面高一学生自我意识比较明确，同一性、勤奋感是情感发展的主要方面。他们富有激情，感情丰富，爱冲动，爱幻想。
教学重点：
用二分法求方程近似解的算法过程。
教学难点：
二分法的原理。
二、教学目标
【知识与技能】
1.回忆函数与方程之间的关系，解释二分法的原理。
2.会运用二分法求一些简单方程的近似解，能够运用二分法来解决有关的实际问题。
【过程与方法】
1.探究用二分法解方程近似解的步骤。
2.参与数形结合的思想和运动、变化的观点，关注连续、近似、逼近的思想和算法的思想。
【情感、态度与价值观】
1.充分利用函数的应用价值激发学习的兴趣，增强解决问题的自信心，共同分享成功的喜悦。
2.通过探索与交流，学会与人合作。
三、教学准备
课件，多媒体教室。
四、教学过程设计
【创设情境、导入新课】
中央电视台《幸运52》栏目曾经有一个猜商品价格的游戏。规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”。
例如，若商品的价格为90元，参赛者猜该商品价格为100元，主持人说“高了”；参赛者又猜50元，主持人说“低了”。这样一直猜下去，直到猜中为止。时间规定为1分钟，猜中商品价格最多的获胜。如果你去参赛，凡是价格在1024元以内的商品，你有把握不超过10次就猜中吗？
（停顿片刻）今天我们就来学习解决此问题的原理，相信明天的这个时候，我再来问这个问题，你一定会充满自信地回答“能”了！
设计说明：利用悬念导入法引起学生对课堂教学的极大兴趣，使学生产生刨根问底的急切心情，在探究的心理状态下发挥学生的学习主体作用。
【分析引导、自主探索】
1.让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究。
回顾函数与方程的关系，不解方程，如何求方程x2－2x
－1＝ 0的一个正的近似解？
（1）学生活动设计起点低，把教材上找出函数f（x）＝lnx＋2x－6在区间（2，3）内的零点，改为求方程x2－2x－1＝ 0
的一个正的近似解，旨在让每一个学生都能做到。
（2）探究离不开问题，问题式教学有赖于教师对问题情景的创设，以及对问题的呈现方式。
A.让学生先自行探求，并进行组织交流。
倡导学生积极主动，勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性。
B.师生共同探讨交流，借助函数f（x）＝x2－2x－1的图象，确定根所在区间，根据f（2） ＜0，f（3）＞ 0，可得出根所在区间为（2，3）。
C.引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间？
D.共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，将有助于问题的解决。
E.用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解。
让学生感受连续、近似、逼近的思想。
2.让学生简述上述求方程近似解的过程，教师补充。
通过自己的语言表达，有助于学生对概念、方法的理解。
【趁热打铁、建构新知】
1.二分法
对于在区间［ a，b］上连续不断、且f（a） ·f（b） ＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2.引导学生总结用二分法求方程近似解的步骤。
给定精确度ε，用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤如下：
A.确定初始区间［a，b］，验证f（a） f（b） ＜0，给定精确度ε。
B.求区间［a，b］的中点x1。
C.计算：f（x1）；
若f（x1）＝ 0，则x1就是f（x）的零点，计算终止；若f（a） f（x1）＜0，则令b＝ x1（此时零点x0∈ （a，x1）中）；
若f（a） f（x1）＞0，则令a＝ x1（此时零点x0∈ （x1，b）中）。
D.判断是否达到精确度ε，即若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复B～D 步。
提问：为什么由｜a－b｜＜ε，便可判断零点的近似值为a（或b）？
3.及时应用，升华能力
例1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.1）。
本例鼓励学生自行尝试，此处教师仅仅是引导学生如何把问题进行有效转化，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐，感受数学学习的乐趣。
【设计题组，评价反馈】
题型一：二分法的概念（全体学生必做题）
1.方程lnx＋2x＝6的根属于区间（）。
A.（－2，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）
2.下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（）。
答案：1.C 2.B
题型二：利用二分法求方程的近似解
3.借助计算器或计算机，用二分法求函数f（x）＝x3＋1.1x2＋0.9x－1.4在区间（0，1）内的零点（精确到0.1）。
题型三：创新应用（此例体现了二分法的应用价值，有利于发展学生的应用意识。）
二分法不仅仅用于求函数的零点和方程的根，它在现实生活中也有许多重要的应用，请解答：
4.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。维修线路的工人师傅接到报修电话后，立马开着汽车呼啸而去。这是一条10km 长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10km 长，大约有200多根电线杆。
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？他至少要爬几根电线杆？
学生在题型二和题型三中任选一题练习，这样可使A 层学生（学困生）有练习的机会，B 层学生（优等生）也有充分发展的余地，都能享受到成功的喜悦，提高学习数学的积极性。
【体会交流、反思提高】
1.本节课的学习过程及内容回顾。
2.对这些知识你有什么体会？请和同伴交流。
3.揭示算法定义，了解算法特点。
体会交流是一种“元认知”环节，是学生重新反思自己的认知行为、认知方法和认知过程的一个经历。
五、形成性练习
1.阅读作业：教材第107页《中外历史上的方程求解》。
2.书面作业：A 层学生：习题3.1A 组（第108 页）的3，4和6。
B 层学生：习题3.1A 组（第108 页）的5；B 组（第109页）的2和4。
3.弹性作业：
猜商品价格的游戏中，价格在1024元以内的商品，如何猜能不超过10次就猜中？
答案：第一次猜a1＝ 512元；第n次（n ≥ 2）猜
an＝
an－1＋210－n（低了），
an－1－210－n（高了）。
（浙江省嘉善高级中学 钱卫红）
点评
让学生掌握方程与函数思想是中学数学课程与教学中的一项重要任务。重视数学的应用是高中数学新课程的十大理念之一，而“用二分法求方程的近似解”正是体现数学应用，沟通方程与函数的重要载体。作者的教学设计通过学生身边熟悉的猜商品价格游戏，创设情境，导入新课；分析引导，自主探索；趁热打铁，建构新知；设计题组，评价反馈；体会交流，反思提高等环节达成教学目标。作者用一元二次方程求近似解的铺垫以及众多精巧数学问题的设计，有效地实现了“学生去体验，学生去探索，学生去发现”的教学构想，极大地激发了学生学习数学的兴趣，增强了学生解决数学问题的自信心。
三十、随机事件的概率（一）
一、前期分析
本课内容选自人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书（B 版）《数学第二册下》（必修）第十一章第一节第一课时。
“概率”是新课程高考的新增内容，由于概率问题与人们的实际生活有着紧密的联系，对指导人们从事社会生产、生活具有十分重要的意义，所以概率这个章节也成了近几年新课程高考的一个热点。
概率所研究的对象具有抽象和不确定性等特点，学生很难用已获得的解决确定性数学问题的思维方法，去求得“活”的概率问题的解，这就决定了概率教学中教师的教学方式和学生的学习方式必须转变，教师必须引导学生经历概率模型的构建过程和模型的应用过程，从中获得问题情境性的情境体验和感悟。在本节课的教学过程中，教师先通过实例引入激发学生对概率学习的兴趣。并通过学生动手试验和计算机模拟掷硬币和摸彩球试验，让学生理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性；同时运用E xcel软件整理统计试验结果，使学生经历较为完整的数据处理过程，体会用样本估计总体的思想。
二、教学目标
1.能分别说出必然事件、不可能事件和随机事件的概念。
2.能够列举生活中的实例来说明随机事件在大量重复试验的情况下，它的发生呈现的规律性。
3.能够准确地描述概率的统计定义及概率的性质。
三、教学过程
（一）创设情境，导入课题
1.动画短片欣赏
短片内容大概：18 世纪时英国有个着名的海盗名叫基德，他将自己的所有财产的埋藏地用秘密符号写在一张羊皮纸上（基德的手稿见图1，里面有26个秘密符号代表26个英文字母）。
思考：通过观察你能否有所发现？（学生兴趣高涨，相互探讨，最终发现手稿中“8”字出现的次数最多。）
后来这张羊皮纸落在一个叫勒格让的人手里。他为得到这笔意外的财产，绞尽脑汁，百般尝试，最后他注意到手稿中“8”字出现的次数最多，居然有33次。另外他也了解到，在当时一般的英文书籍中，字母e 出现的次数遥遥领先。勒格让想，莫非“8”就是字母e？他为自己的设想所鼓舞，进一步发现手稿中“88”竟出现了5次，于是联想起英文字母“e”经常双写，这使他进一步相信“8”就是e。他以英文字母e 出现的可能性是最大的这一规律为突破口，再加上科学推理最终破译了这份手稿，顺利找到了宝藏。而这种对事件可能性的研究，就是我们今天要学习和探索的概率问题。（看完短片学生非常激动，深刻体会到数学的应用价值，加强了学好数学的决心。）
