通过上述引入，使学生初步建立空间观念，激发学生空间想象能力和学习兴趣；了解和认识空间几何体的立体图形并认识到平面几何中的客观规律在空间不一定正确。
案例22爬山与二面角
王勇强
案例“二面角”新课的趣味引入
师：同学们爬过山吗？
生：爬过，爬过高山，爬过平坦的山，也爬过陡峭的山，很刺激。
师：怎样的山看上去陡峭？
生：山坡与水平面愈垂直，这样的山愈陡峭。
师：怎样的山看上去“平坦”？
生：山坡与水平面所成角愈小，这样的山就愈“平坦”。
师：山坡陡峭与否，跟山坡与水平面所成的角大小有关。
生：老师，山不是凹凸不平、弯曲的吗？它的坡面是不平的，那坡面与水平面所成的角，是怎么回事？
师：现实的山确实是这样凹凸不平，弯曲的，大家对这位同学所提的问题，意见如何？
（学生议论纷纷，思索着。）
生：若从全局来看整个山坡面是凹凸不平，弯曲的，但从局部小范围去看，山坡面可看作“平”，物理中不也是把山坡面看作平面，这样山坡面与水平面所成的角就是平面与平面所成的角。
师：这位同学讲得很好，现实生活中一些问题，只需适当的数学化，便可转化到数学问题，然后用数学知识加以解决。今天我们研究平面与平面所成的角。
（老师板书课题）二面角
教师的责任就是指导、激发学生积极地思考，帮助学生去观察、分析和判断。把二面角置于爬山的背景之中，这样引进新课，不仅自然，学生学起来有趣、具体、生动，培养学生用数学的意识，更重要的是让学生能够主动去想、去探究，在探究过程中不断检验、判断自己和他人的思维，更好的促进学生提出自己的创见。
案例23二面角导入研究
俞昕
在新的课程理念下，教学过程有了本质的改变，教学过程是一种“沟通、理解、创新”的过程。学习不是仅仅把知识装进学习者的头脑中，而是把知识变成自己的学识，自己的主见，自己的思想，数学课堂教学展开案例教学就是旨在以一种新的教学观念，新的教学思想，新的教学形式与新的学习方法，真正实现师生互动，实现沟通与理解，培养学生的创新精神与创造潜能。
为了适应新课程标准的要求及素质教育改革的新形势，我在数学教学活动中曾尝试在接受性学习与探究性学习之间寻找恰当的平衡点，我的探索实践活动以“系列案例研究”为主，每个案例研究包括四个环节：课堂实录、教师访谈、学生访谈、课后记。以下是我做的一个案例研究。
一、课堂实录
授课时间：2004年10月20日下午第二节课
授课人：俞昕
授课对象：高二
授课内容：“二面角”的第一课时教学
学生状况：普通班的学生
教师：同学们，我们已经是高二的学生了，明年就要进入高三的最后冲刺阶段了。这个学习的过程就好似是登山，我们已经快接近山的顶峰了。同学们，要加油啊！好！那我们今天的课就由登山开始。请同学们看屏幕上的问题。
屏幕上出现声形并茂的问题：如图5是一座我们即将要攀登的山峰，我们就称它为“胜利峰”。山坡上有一条直道CD，它和坡角的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后我们升高多少米？
经过几分钟后，学生们纷纷提出质疑：这个问题没法解，缺少条件！
教师：缺少什么条件？
学生1：山坡到底有多陡呢？
学生2：是啊！这个问题与山坡的倾斜度有关，不同的山坡做出来的结果肯定不一样的。
教师（赞许的口吻）：很好，大家已经发现这个问题缺少一个很重要的条件。那么我们究竟应该如何来描述这个条件呢？在数学中，它有没有特定的称谓呢？
学生3：陡度。
学生4：倾斜度。
教师：可以，这都是针对山峰而言的。下面我们再来看看屏幕。
屏幕上出现一个水坝。
教师：请大家留心观察水坝的坝面与地面的关系。
屏幕上又出现一个房间里开门的过程。
教师：请大家思考一下，在开门的过程中，墙、门所在的平面之间的张合程度有何变化？
教师：大家再自己动手看看打开一本书本的过程。
（停顿片刻）
教师：在天体学中，卫星轨道面与赤道面也成一定的角度。从上面的几个例子中我们发现两个平面相交可以成一定的角度。这就是我们今天要学习的第一个概念。同学们能否给它取个名字？
学生5：这是两个平面所成的角，就叫二面角吧。
教师：对！那你能用自己的语言描述一下二面角吗？
学生5：好象很困难哎！这个空间的角怎么定义啊？
教师：其实刚刚这位同学已经说出了我们的困难所在，就是“空间角”怎么定义？那么还是先让我们回顾一下我们以前是怎么定义“平面角”的？
学生6：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形。
教师：回答地很好！那我们就由此来类似的定义“空间角”。哪位同学敢于下定义？
学生7：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形。
教师：非常精彩！那你是怎样想到这样来定义“二面角”的呢？
学生7：因为平面角是由射线—点—射线构成的，那么我就在想空间角就可以由半平面—线—半平面构成。
（下面同学们都发出同意的声音或点头示意）
（教师顺势即给出了二面角的表示。同时在屏幕上显示有关图象与相关内容，让学生进行消化。）
教师：回到刚刚我们遇到的登山问题，我们刚才遇到的问题其实什么条件未知呢？
学生8：是二面角的大小不知道。
教师：对！那么“如何来度量二面角的大小”就是我们接下去要研究的第二个问题。
学生9（主动积极的举手回答）：我会！在两个半平面的公共棱上任意取一点，然后分别在两个半平面内画两条射线，这两条射线所成的角就是了。
学生10（质疑）：那样的画法有很多种，那么你说的是哪一种？
教师依据刚才学生所说的在屏幕上显示很多种不同的画法，并且用量角器去度量，确实是得到不同的结果。
教师：那二面角的大小就不确定了？
学生11：那不可能啊，一个二面角给定了后，它的大小应该也随之确定了，不会改变的。
教师：那到底是哪里出现问题了呢？
学生12：是刚才那位同学的定义有问题。
教师：很好！其实刚才在大家的讨论中，大家已经意识到要度量空间角的大小，就必须把空间角转化为平面角，即两条射线所成的角，但问题也是出在这里，就是究竟是哪两条射线所成的角？所以我们接下去的目标是：在众多的量角方法中确定哪种量法才能真正唯一确定二面角的大小？
（经过小组探讨，数分钟后。）
学生13：我们可以作两条垂直于棱的射线，根据等角定理，这样的角是相等的。
教师：very good！让我们来看一下屏幕。
（屏幕显示二面角的平面角的形成及其完整定义。）
教师：大家认为二面角的平面角有何特征呢？
学生14：一是过棱上任意一点；二是分别在两半平面内做射线；三是射线垂直于棱。
教师：非常精彩！你已经很好的掌握了二面角的平面角的定义，对于我们接下去的学习是很有用的。
（稍停顿片刻，屏幕上一直显示二面角的平面角的有关内容。）
教师：到此为止，我们已经学习了空间第三种“角”，之前我们已经学习了“异面直线所成的角”、“直线与平面所成的角”。大家思考一下，这些角与今天学习的二面角的平面角有何异同点？
（让学生以小组为单位探讨片刻）
学生15：它们都是将空间角转化为平面角。
学生16：它们的范围有所区别。异面直线所成的角的范围是［0，π2］，直线与平面所成的角的范围是［0，π2］，但二面角的平面角的范围应该是［0，π］。
教师：太棒了！好，现在我们再看登山问题。我们将条件补全，比如我们用某种测量仪器或通过某部门了解到“胜利峰”的倾斜度（也即是60°），那么这个问题如何解决？
（下面学生七嘴八舌的讨论起来）
教师：你觉得问题的关键是什么？这里有值得探究的新问题吗？
（教师参与到学生的合作学习中去，整个课堂气氛达到了高潮，学生学习数学的积极性已经被充分的调动起来。5分钟后。）
教师：哪个小组派代表上来，把你们的研究结果向大家展示一下？
学生17：我们是这样做的。在棱AB上任取一点G，过G点作GD⊥AB于G，再过G点作GH⊥AB于G，则就是二面角α—AB—β的平面角。
教师：那么如何来实施计算呢？
学生18：可以连接DH，我们已经计算出来了。是这样的，在Rt△CDG中，已知CD长为100，∠DCG=30°，所以可以计算得DG=5。然后再在Rt△DGH中，∠DGH-60°，所以可以计算得DH=253。
教师：这位同学已经解出了结果，大家对他的解法有何看法？是表示赞同呢还是有异议？
（同学们七嘴八舌地议论起来。）
学生19：他的解法有问题。连接DH后，为什么三角形DGH一定是直角三角形呢？DH也有可能不垂直于GH。那又该如何解呢？
教师：是啊！那我们又该如何对刚才这位同学的解法进行修正呢？大家有何妙策呢？
学生20：我觉得应该这样做才对。在CD上过点D作DH⊥平面α于H，过H作HG⊥AB于G，连接DG，因为HG是DG在平面α内的射影，所以DG⊥AB，则∠DGH就是二面角α—AB—β的平面角。
教师：这是为什么呢？
学生20：是由三垂线定理得到的。
教师：这位同学的做法非常好！他能巧妙地运用我们前不久刚学过的三垂线定理来作出二面角的平面角。由于这种寻找二面角的平面角的方法用到了三垂线定理，所以我们可以称它为“三垂线法”。
（在屏幕上显示有关内容，供学生巩固消化。）
教师：聪明的同学能否将这个登山问题再进行设计和改编，使之成为新的问题呢？
学生21：我来吧！如图7是一座我们即将要攀登的山峰，我们就称它为“胜利峰”（它的坡度是60°）。山坡上有一条直道CD，它和坡角的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，要使我们上升100米，则我们要行走多少米？
学生22：我编的题是这样的。如图7是一座我们即将要攀登的山峰，我们就称它为“胜利峰”（它的坡度是60°）。
山坡上有一条直道CD，它和坡角的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，要使我们上升100米，则我们行走的路线与地面所成角是多少？
教师：这位同学很好！他将我们之前学过的线面角融合到这道题目当中。那么请大家考虑考虑怎样解这道题呢？
学生23：解这道题的关键是找出面面角与线面角。
学生24：作线面角很容易了！只要在原来的基础上，在图中连接CH，则CH就是CD在地面的射影，那么∠DCH就是行走路线CD与地面所成的线面角了。
教师：非常棒！大家对知识掌握的非常好。
（学生们的情绪非常高涨，课堂气氛又达到了另一个高潮。时间已经接近下课。）
教师：课后大家可以继续探讨怎样进行变题好！下面请大家回顾一下我们这堂课主要的知识点是什么？
学生25：二面角以及二面角的平面角。
教师：用到的主要数学思想方法有哪些？
学生26：类比思想：平面角与二面角的类比。
学生27：降维思想：三维空间问题降为二维平面问题。
学生28：建模思想：对实际问题进行数学建模。
教师：同学们的表现非常好！祝贺大家都有了进步和提高。下课！
二、教师座谈
时间：2004年10月20日下午第三节课
地点：数学办公室
人员：数学备课组
发言人：俞昕
发言内容：
1.学情分析
（1）认知分析：学生已经学过空间线线关系，线面关系，面面关系，这些已学过的知识形成了学生思维的“最近发展区”。
（2）能力分析：学生已经具备了一定立体几何基础知识和一定的空间想象能力，但在应用意识与应用能力方面还需要进一步培养。
（3）情感分析：有部分学生认为数学很重要，但也很难学，尤其是立体几何，需要很强的空间想象能力，需要数学高度的抽象能力。许多学生对自己的想法没有把握，不敢提问题，也不敢提出自己的想法。
2.教学目标
（1）知识目标：使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题。
（2）能力目标：引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力。
（3）情感目标：通过合作和沟通，学生可以看到问题的不同侧面和解决途径，从而对知识产生新的洞察，这样可以培养学生竞争意识、合作精神。
3.教学重点与难点
（1）重点：“二面角”和“二面角的平面角”的概念
（2）难点：“二面角的平面角”概念形成的过程。
4.课堂教学设计的理论支撑点
（1）建构主义：
建构主义最早是瑞士心理学家皮亚杰提出的，皮亚杰认为认识是一种连续不断的建构，”所谓建构，指的是结构的发生和转换，只有把人的认知结构放到不断的建构过程中，动态地研究认知结构的发生和转换，才能解决认识论问题。”建构主义认为：世界是客观存在的，但对于世界的理解和赋予意义是由每个人自己决定的；每个人都是以自己头脑中已有的知识和经验来解释解决现实问题—建构现实的；强调学习的主动性、社会性和情景性，认为学习者不是知识信息的被动吸收者，而是积极主动的建构者。基于这样的观点，建构主义提倡在教师指导下，以学生为中心的教学方式，强调学生是信息加工的主体、知识意义下的主动建构者，教师是建构活动的设计者、组织者和促进者，教师应创设良好的学习环境，形成学生认知冲突，通过“协作”“会话”，充分发挥学生的主观能动性和创造性，从而达到对所学知识的意义建构的目的。
（2）多元智能理论：
此理论是由美国哈佛大学加德纳教授提出的，他打破了传统的一元智能观（智商），认为人的智能是多元多维的，主要包括：语言智能、数理逻辑智能、空间视觉智能、肢体运动智能、音乐智能、人际交往智能、自省智能、存在智能、灵性与价值智能。一节数学课不可能涉及到所有的智能类型，但是根据我们的探索与尝试，一节课如果调动了学生3—5种智能参与，就会极大地激发学生的学习积极性与兴趣，充分发挥学生的主体性，真正改善和促进学生的学习。
5.课堂教学模式的探求
所谓的教学模式，是在一定教学思想、教育理论的指导下，教学活动诸要素依据一定教学目标、教学内容及学生认识特点，所形成的一种稳定而又简约化的教学结构。也就是按照什么样的教育思想、理论来组织你的教学活动进程，它是教育思想、教学理论、学习理论的集中体现。教学结构的改变必然会触动教育思想、教学观念、教与学的理论等根本性的问题，可见，教学模式的改革是深层次的改革。
