爱因斯坦年轻的时候，有一次，他的女朋友打来电话：“我的电话号码又更换了，真难记。请你记好。”“好，我记下来。”爱因斯坦回答。“24361。”“这有什么难记？两打与19的平方！好啦，我记住了！”爱因斯坦说完，又不无遗憾地告诉女友自己的电话号码也换了。不过，他并没有直接告诉女友具体号码是多少，而是说：“原来和新换的电话号码都是4位数；新号码正好是原来号码的4倍；而且原号码从后面倒着写正好是新号码。”请问，你可知道这个新码是多少吗？
新号码是8712，正好是旧号码2178的4倍。此题仅有这一个答案，不信你可以仔细再算一下。
意外的转换
有一次，一个青年慕名去拜访几何学家欧几里得，向他请教数字如何在几何里转换的。欧几里得没有正面回答这个问题，而是和他玩了一次卡片游戏。假定有9张标志着数字的卡片，这些卡片分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9。这些卡片可以用几种不同的方法分成几组。例如我们要分成两组，其中一组的数字之和要是另一组的两倍，那么我们就可以把1、2、5、7（＝15）分为一组，把3、4、6、8、9（＝30）分为另一组。现在请将卡片分成两组（一组是4张，另一组是5张），使一组卡片上所看到的数字之和是另一组的3倍。如果一次你没成功，请你记住手上的是卡片。
答案是：将6转过来就变成了9。然后将卡片分在1、2、4、5（＝12）一组；3、7、8、9、9（＝36）一组。如果6不倒转过来，问题无法解决。
杰克·伦敦的旅行
一天，杰克·伦敦乘套5条狗的雪橇，从斯卡格雅伊赶赴自己的营地，因为那里有个朋友眼看就要死了。
在旅途中，第一个昼夜，有两条野性非常强的狗扯断了缰绳，和狼一起逃走了。无论杰克·伦敦怎么喊，这两条狗都不回来。于是，无奈之中，剩下的路程只好用3条狗来拉雪橇了。但是，前进的速度只是原来的3/5。杰克·伦敦真的是心急如焚，因为这样的话，他就很有可能再也不能见到这位好朋友了，这将是他的一个终生遗憾。最后，杰克·伦敦到达目的地的时间比预计的迟了两个昼夜，他的朋友早在一天以前就与世长辞了，临死前还呼唤着他的名字。其实，逃跑的两条狗如果能再拖雪橇走50千米，杰克·伦敦就能比预定时间只迟到一天。这样，他就完全能有机会再见朋友最后一面。聪明的读者，你能算出杰克·伦敦此次旅程的里程是多少千米吗？
答案是：此次旅程有400/3千米。
希尔伯特问题
一次轰动世界的讲演
数学大师希尔伯特20世纪的头一年，在巴黎召开的国际数学家会议上，一位德国年仅38岁的数学家、德国哥廷根大学数学教授希尔伯特，发表了一次轰动世界的演说，他指出：跨进20世纪的数学，将沿着他所发表的23个问题的方向发展。当时有的人惊叹这位青年数学家的胆略，赞扬他能站在数学发展的最前沿，大胆地进行预测，敏锐地作出科学判断，然而，也有人在一边冷眼旁观，感到这位年轻人是在说大话吹牛皮，怀疑20世纪数学的发展趋势能否被他提的23个问题所左右。
历史是最好的见证，至少20世纪上半叶，全世界的数学家们被这23个难题所吸引着，为了解决这些问题做了大量的研究工作，使许多数学新分支，特别是边缘学科相继诞生。可以毫不夸张地说，这23个难题成了整个数学界研究的中心课题，半个多世纪以来，能解决希尔伯特难题，已成为当代数学家的无上荣誉。美国数学家评选自1940年以来，美国数学十大成就中，有三项是希尔伯特难题中的第一、第五、第十问题的解决。
1975年在美国的伊利诺斯大学，召开了一次国际数学会议。数学家们回顾四分之三世纪以来，对希尔伯特的23个难题的研究，约有一半以上已经解决了，其余一小半也都有了重大的进展，并且，这23个难题至今仍是数学家们非常注意的中心之一。
一个数学家在一次讲演中提出的问题，能对数学的发展产生如此久远而深刻的影响，这在数学史上是独一无二的，在人类文明的发展史上也是极为罕见的。因此，希尔伯特被称为20世纪数学发展的代表人物。
希尔伯特童年就跟着母亲学习数学，这对他成长为学识渊博的数学家影响极大。他毕业于东普鲁士的寇尼斯堡大学，早期研究代数不变式论、代数数论、几何基础，后来又研究变分法、积分方程、函数空间和数学物理方法等。1885年，23岁的希尔伯特就获得了博士学位。1895年，他在德国最著名的科学教育中心哥廷根大学任数学教授。1899年，他出版了《几何基础》一书，把欧几里得几何学整理为从公理出发的纯粹演绎系统，并把注意力转移到公理系统的逻辑结构。
希尔伯特在那次演讲中提出的23个难题，后来统称为希尔伯特问题，希尔伯特问题涉及数学知识的范围非常之广，理论也特别深，并且大多数是关于高等数学中的题目，这里只向读者介绍几个浅显的。
合理不合理，都是相对的
为了介绍希尔伯特第一难题，首先打个比喻：假设在我们面前放有“无限多个”装有水果的篮子，要从每个篮子里取出一个水果，放在一个空篮子里。如果装有水果的篮子是有限个，这个问题是显而易见的，由于装有水果的篮子是无限多个，于是就产生了这样做是否允许的问题，在数学上，这个问题的抽象提法称为“选择公理”。
希尔伯特第一难题叫做“连续统假设”，意思是相当于问从无限多个篮子里各选一个水果的选择公理，在数学上是否合理？1939年奥地利数学家哥德尔证明：用通常的集合论公理，不可能推出选择公理是对的。1963年美国数学家柯思又从另一方面证明：用通常的集合论公理，不可能推出选择公理是错的。这样，就产生了两种针锋相对的结论，并且在承认推出“选择公理”是对的基础上，建立起一套数学理论，在不承认推出“选择公理”是对的前提下，也相应地创立一套数学理论。同时，令人惊奇的是两套数学理论都对，都各自成体系，都能自圆其说，无懈可击。这犹如欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何三种几何学都对一样，只不过是相对于某一个范围内应用哪一种理论更为精细确切而已。有关这方面的研究，随着时间的推移，越来越深入。
希尔伯特难题不一定全是对的
科学的问题来不得半点虚假，预测的东西不一定全对。尽管一个人才华横溢，也有局限性，所提出的问题，不见得都是百分之百的正确。希尔伯特是目光锐利、智慧超群的数学家，已被举世公认，可是他提出的第二个难题，已经证明是错误的，不过否定这个难题，却是经过了极其艰难的过程。
这个难题是关于数学基础方面的内容，在数学研究中，越是基本的理论，越难于证明，这是众所公认的。这类问题像人类思维史上的一座座高山峻岭，只有那些具备惊人的数学才能和在崎岖小路的攀登上不畏劳苦的人，才有希望到达险峻的顶峰。
人们常常是把经过千百万次实践验证，又是最根本的若干命题作为公理，欧氏几何中的定义、公设或者公理都是人们经验的总结，是建立在直观基础上的一种抽象的具有“自明性”的命题。在数学中，以较复杂的概念、公理作为基础，来推出其他的定理或命题，这种整理和叙述数学知识的方法，叫做公理化方法，它是数学论证方法中最常用的一种。人们不禁要问：是不是任何科学都能用同一套公理、定义做基础呢？用一套公理能否推出数学里的所有定理呢？
希尔伯持的第二难题就是算术公理的无矛盾性。他希望借此证明：所有的数学定理都能由一组公理推出来。这种想法很好，它会使人易于掌握，同时，越是抽象的理论，应用起来越是广泛。然而，这种想法是办不到的。严格的科学，特别是非常精确的数学，不能凭想象决定对错，没有严格的数学论证是不能下定论的。可是，这个难题的证明，难度之大是难以想象的。30多年，无论是肯定或者否定这个难题的文章都没有问世，甚至说毫无进展。直到1931年奥地利数学家哥德尔打破了希尔伯持的这一幻想，成功地证明了：任何一个公理化系统中，必定有一个命题不能由这组公理推出其正确与否。不少人看到了世界上第一个人否定了希尔伯特第二难题的证明，惊得目瞪口呆。因而，哥德尔的这一成就轰动了整个数学界，在数学的发展史上留下了重要的一页。
由希尔伯特猜想引起的问题
希尔伯特的23个难题中，有一些是关于数论方面的问题，如关于素数和方程的正整数解的问题，还包括实数中有关代数数和超越数的一个猜想。
满足整系数代数方程的数叫做“代数数”，如方程x2－4x－3＝0的根x1·2=2±7就是两个代数数，反之，不满足整系数代数方程的数，称为超越数，如π、e等都是超越数。
希尔伯特的第七个问题猜想：若α是非0非1的代数数，β是无理数和代数数，那么αβ一定是超越数。
这个关于代数数和超越数的猜想，看起来远远要比哥德巴赫猜想容易解决，然而，也是30多年过去了，尽管世界上有相当多的人在研究这个猜想的解法，还是没有人能给出证明。
1934年，28岁的苏联青年数学家盖尔冯特终于给出了严格的数学证明，证明了希尔伯特的这个猜想是正确的。
希尔伯特第七问题虽然解决了，但是由此又引出了新的数学难题，即若α和β都是超越数，那么αβ是否一定是超越数呢？ee、eπ、πe、πM是否都是超越数呢？这个难题在希尔伯特第七猜想得证的基础上，似乎不难，然而，至今只有eπ是超越数被证明，其他几个是不是超越数，至今没有解决，要想证明这些数是超越数，必须证明它们是不是整系数代数方程的根，而突破这一步并非轻而易举，经过这么多年的漫长岁月，不知有多少大胆的探险者，为解决这个问题而苦思冥想，至今不见分晓。
中华民族的骄傲
希尔伯特问题发表以来，全世界的数学家们都在进行研究，中国的数学家们也不例外。
希尔伯特第十六难题是关于微分方程极限环的性质。
1955年苏联科学院院士彼得洛夫斯基发表文章指出：二次代数系统构成的微分方程组（简称为E2），共极限环至多只能有三个，并宣布解决了希尔伯特的这个难题。后来有人发表文章指出他证明中的错误，同时怀疑他提出的结论的正确性。1976年彼得洛夫斯基又发表文章，承认他的证明有错误，但认为结论还是正确的。
1979年彼得洛夫斯基的结论，被一位中国的研究生推翻了。中国科技大学的数学研究生史松龄举出了关于E2至少出现四个极限环的例子，否定了彼得洛夫斯基关于E2至多只有三个极限环的论断，使得关于希尔伯特第十六难题的研究，经过25年后首次取得重大的进展。这是一个很了不起的研究成果，为中华民族赢得了荣誉。
