《孙子算经》约成书于四、五世纪，作者履历和编写年代都不清楚，现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法，都是考证的绝好资料。书中载市易、田域、仓窖、兽禽、营造、赋役、测望、军旅等各类算题64问，大都浅近易晓，但不少问题趣味性强，解题方法独特，对后世有很大的影响。例如，“鸡兔同笼问题”、“出门望九堤问题”、“妇人荡杯问题”都是流传世界的数学趣题。
对数学发展影响最大的是“物不知数问题”：
“今有物不知其数，三三数之賸（剩）二，五五数之賸三，七七数之賸二，问物几何？”“答曰，二十三。”
于是选用70、21、15这三个数的问题，实质上就是找三个这样的数：它们分别乘上35、21、15后所得的结果，各自被3、5、7除，所得的余数为1。在这里就是2、1、1三个数。了解了这一情况，就可以把“物不知数问题”的解法一般化，得出一个解一次同余问题的普遍方法。
设A、B、C是两元素的正整数，R1、R2、R3分别为小于A、B、C的正整数，且N≡R1（modA）≡R2（modB）≡R3（modC）如果我们找到三个正整数α，β，γ满足下列同余αBC≡1（modA），βAC≡1（modB），γAB≡1（modC）那么，N≡R1αBC+R2βAC+R3γAB（modABC）
这就是闻名于世的“孙子剩余定理”，它的完整阐述是我国南宋数学家秦九韶作出的。
“物不知数题”引起人们很大的兴趣。人们知道解题的关键是在找三个与1同余的乘积，所以好些人为作诗歌以助记忆，宋人周密（1232—1295年）对物不知数题的术文中所载的四个乘积作隐语诗道：
三岁孩七十稀，五留廿一事尤奇，七度上元重相会（上元，元宵节，正月十五，影射15），寒食清明便可知（寒食，指清明节前一天，至后一百零五天是清明前后，影射105）。
明代程大位《算法统宗》则把70，21，15，105这四个数以诗歌形式，和盘托出：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正月半，除百零五便得知。
秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，他提出的大衍术即孙子剩余定理成为中国数学中的一颗明珠。
《张邱建算经》这也是公元四五世纪写成的一本算书。钱宝琮先生考证它成书于484年以后。传本《张邱建算经》三卷是依据南宋刻本辗转翻印的，共92个问题，各有各的数学意义，有些创设的问题和解法超出了《九章算术》的范围。本书在中国数学史上具有特殊地位。
比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算；各种等差数列问题的解法；某些不定方程问题求解等。
但解题方法没有详细说出，只写“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。”
自张邱建以后，中国数学家对百鸡问题的研究不断深入，“百鸡问题”也几乎成了不定方程的代名词，从宋代到清代围绕百鸡问题的数学研究取得了很好的成就。
《缉古算经》这是唐初算学博士王孝通的著作。全书一卷，载20个数学问题，集中介绍了用开带从立方法（求三次方程的正根），解决实际计算问题。其中第l题是用比例知识来确定月球对太阳的相对位置问题。第2～6题及第8题是土木建筑和水利工程中的挖土、填土计算问题。第7及第9～14题是在存储粮食仓库或挖地窖中所产生的高次方程问题。第15～20题是有关解直角三角形问题。
宋元数学
从秦汉到隋唐，中国数学可算是蓬勃发展的，出现了不少数学家与数学著作，数学教育也积极展开。但是与宋元时期相比，后者已把中国的筹算数学发展到了顶峰，在数学的许多领域，宋元数学的成就代表了当时世界数学的水平。其中杰出的数学家和数学成就有：
沈括（1031～1095），其著《梦溪笔谈》26卷（1088年左右），载录了他所发明的“隙积术”和“会圆术”，前者是一种高阶等差级数的求和方法，后者是关于弓形弧长计算的近似方法。
秦九韶（1202～1261），其著《数书九章》18卷（1247），载录了他所创造的“大衍求一术”和“正负开方术”，前者是由《孙子算经》所开创的一次同余式理论的发展，在世界数学史上被称为“孙子剩余定理”；后者是沿着《九章算术》用开方术求二次方程数值解这条脉络，在贾宪（11世纪）的“增乘开方法”基础上发展起来的，这是一个求任意次方程数值解的方法，比同类型的“霍纳法”要早出500多年。
李冶（1192～1279），其著《测圆海镜》12卷（1248）和《益古演段》3卷（1259），载录了他发明的“勾股容圆术”和“天元术”，前者是圆外切直角三角形各种线段间的关系的计算问题；后者是列方程的方法，这是初等代数的核心问题。
杨辉（13世纪），其著《详解九章算法》12卷（1261）、《日用算法》2卷（1262）、《田亩比类乘除捷法》2卷（1275）。其中尤以《详解九章算法》因附有二项式系数三角阵，即所谓的杨辉三角而闻名于世。其实，杨辉自己说这种三角阵出自贾宪书中，原名为“开方作法本源图”，贾宪是用它来进行高次幂开方的。杨辉著作的大部分内容都是民间实用数学的总结，它代表了筹算数学顶峰时期的一个发展方向。
朱世杰（14世纪），其著《算学启蒙》3卷（1299）和《四元玉鉴》3卷（1303），前者属日用算书，后者重理论探求。在《四元玉鉴》中朱世杰将列一元高次方程的天元术，推而广之，提出了列四元高次方程的方法——四元术、又在沈括的“隙积术”和郭守敬等人的“招差术”的基础上，提出了“垛积招差术”——有限差分法的一种形式，著名的有限差分法是1715年由英国数学家泰勒提出的。
总之，宋元时期是中国数学大放异彩的时期，它像一盏灿烂的明灯，表明了世界数学发展的高度。
宋元数学为什么会出现如此盛况，这自然要从宋元社会的特点和中国数学的发展规律中去寻找答案。
就宋元社会来说，它有一个较长时间的相对安定的局面，这有利于社会生产的发展，尤其是以手工业为主体的工业生产的兴起，给科学文化带来积极的影响和推动作用，像雕版印刷的广泛采用，印本数学著作的出现都给数学发展提供了条件。
数学学派的出现是促进宋元数学发展的直接原因。北宋以后中国民间曾多次出现各学术团体，它们各有自己的研究中心，形成具有一定风格的学派。这些学派的中心人物大都是献身数学而不求官职的学者，因此在学术上很有造诣。其中有朱世杰为代表的燕山学派；有杨辉为代表的钱塘学派；有郭守敬、王恂为代表的河北武安紫金山学派；还有李冶为代表的河北元氏封龙山学派。这些学派都曾在中国数学史上独树一帜，作出了杰出的贡献。
宋元数学高峰，也是筹算数学发展的必然趋势。筹算数学从春秋开创以后，曾在解决实际问题过程中得到发展，由于当时实际问题对数学的要求主要是计算方面的，因此筹算数学所能创造的成就的范围基本上也属于计算方面的，有一定的局限性。如同一切事物具有产生、发展及消亡过程一样，筹算在其消亡的前期必然会出现一个顶峰，在它可能获得成就的范围上创造出一个最高的水平。宋元数学高峰以后，筹算数学的发展也就日趋低潮，不久被珠算和西洋数学所代替。
宋元数学所创造的最高成就，并没有得到继承和发展，像天元术、四元术、正负开方术、招差术等，后来很少有人问津，要不是清初有人予以发掘，它几乎成了“绝学”。造成这种结局的原因大致有两点：一是由于中国数学的局限性，即它与社会需要的关系，始终以婢女的身份出现，少有数学自身发展的独立性。更何况中国数学的算法体系压抑了数学发展的内动力——思辨性，即使在自己的体系中也只能得到有限的发展。二是由于筹算制度造成的。筹算所能提供的创造性发展的舞台极为有限，它始终把数学框死在计算这个范围内。严格地说，筹算只是属于算术范畴，数学的其他领域它是很难顾及的。筹算成为绝学是必然趋势，只是时间先后问题。
宋元数学的顶峰，除了上面提到的成就之外，还反映在计算技术的改进上。为了适应宋元时期农业、手工业和商业的发展，对数学提出了快速计算的需要，当时曾先后出现了许多乘除捷法和各种歌诀。《宋史·艺文志》著录算书49种，其中除去20种属算经十书及注文外，其余有26种是“求一术歌”“化零歌”“算法口诀”“算法秘诀”之类的内容。元代更是出现了内容丰富的实用算书。
当时计算方法上的改进主要是改进筹算的乘除运算。沈括在《梦溪笔谈》卷十八中说：“算术多门，如求一，上驱，搭因，重因之类皆不离乘除”。“重因”就是化多位乘法为个位乘法；“搭因”和“上驱”疑是属于加法代乘法，与传本《夏侯阳算经》的“身外加几”和杨辉的“身前因法”相当；“求一”就是化乘除数的首位数为1，从而以加减法代乘除法。所有这些都是唐代以后为了适应商业经济的发展而逐渐发展起来的。这些方法不仅在当时的社会实践中发挥了作用，而且也是从筹算过渡到珠算的一座桥梁。
捷法的出现，目的是使运算快速，但这种快速的要求却不可能在筹算中实现。这样，变革筹算就提到日程上来了。筹算乘除捷法出现后，把原来筹算乘除时“三重张位”的情况，改成了在同一横行里演算。乘法，只要列出被乘数和乘数，把被乘数逐步地改变成所求的积数；除法只要列出被除数和除数，把被除数逐步改变成所求的商数。这正是珠算运算时所需要的。另外，实用算法中口诀的应用，也促成算筹转化成串状的算珠，出现了新的算器——珠算盘。
珠算的出现标志着中国的计算技术达到了新的高度，也可以说是中国“经世务用”数学的最高产物吧！
古代物理史四、古代物理史
墨家和《墨经》
《墨经》，原是《墨子》中的一部分，包括“经上”、“经下”、“经说上”、“经说下”四篇，也有将“大取”、“小取”合在一起而称为《墨辩》的。《墨经》的作者与成书年代历来说法不一。一种说法认为，“经上”、“经下”两篇是墨家的创始人墨翟（约前468～前376）所作，“经说上”、“经说下”则是墨翟的弟子们所作的经解。墨翟是战国初期的鲁国人，曾当过宋国大夫，生活年代大约在公元前5世纪末至4世纪初。那么，成书年代也应当在这期间内。另一种说法是，《墨经》四篇全是后期墨家，即墨子的再传弟子们所作，成书年代则在墨子之后一二百年。从后来墨家三派同诵《墨经》这一点看，认为“经上”、“经下”两篇出于墨子之手，是可以相信的。至于“经说上”、“经说下”则可能是他的弟子们对经的理解和解释，或是墨子在讲学时，弟子们做了记录，后来整理成书。总之，《墨经》是墨家学者的集体创作。
《墨经》的经文不长，全文不过5000多字，计约180条左右。所涉及的内容主要是逻辑学、自然科学、哲学和伦理学。其中自然科学的条目仅次于逻辑学，占第二位。这本书的文字相当简古而艰深，到汉代就已经很少有人能够读懂了。晋代鲁胜曾为之做注，现已失传。清朝以来，做注的人渐渐多起来，才使我们能够初步弄清它的主要含义。
墨家是先秦诸子之一，也是当时儒家的一个主要反对学派。这两家一起，被称为儒墨显学。墨家在仁、义、礼、乐等道德范畴内都同儒家相抗衡，他们提出了十大主张。这个学派的成员多来自生产第一线，有丰富的技术知识和刻苦的钻研精神，研究科学技术的风气特别盛，尤其是称为“从事”的一派更专注于科学技术，有不少创造发明，对后世的科学发展起着积极的作用。墨翟本人就是一个优秀的手工业工人，深通机械之学。正是这样一个躬身实践并且善于总结经验的人，把他们对自然界各方面的认识写入了《墨经》。
《墨经》中的物理学内容，主要是力学和光学。其特点是超出了对物理现象直观描述的阶段，带上了浓厚的理论色彩。他在我国物理史上，第一个给出了力的定义，并大体上叙述了牛顿第一定律的基本内容。他研究了杠杆、滑轮、浮力、随遇平衡、轮轴和斜面乃至时空观念等各种问题，其中有不少理论是正确和接近正确的。他第一个讨论了光的小孔成像原理，指出了光的直线传播规律；他讨论了光的反射、平面镜、凹面镜和凸面镜的成像情况，找出了一些规律性东西。他甚至提出了火色和温度的关系。对光学做如此细致的探讨，使《墨经》俨然成为一部中国最早的几何光学。在两千多年前，提出这样颇为成熟的几何光学理论，实在是难能可贵的。《墨经》的光学比欧几里得光学还早百余年。它不仅是中国光学的始祖，在世界光学史中，也居领先地位。
王充和《论衡》
