黎曼成功毕业了，但还是个困难户。为了谋生，他希望能成为讲师，黎曼申请了无薪讲师，是指学校不提供固定的薪酬，收入完全来自于听课学生所缴纳的学费的讲师。而想要成为讲师，不但要提交论文，还得给学院的教授做一个资格演讲。于是在1853年，黎曼提交了一份求职论文。
论文中推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，研究出三角级数收敛的准则，并定义了黎曼积分，对完善分析理论产生深远的影响。
当时的资格演讲是有一套固定模式和传统的，申请者须向系主任提交三个演讲题目，但通常只准备前两个题目。作为选题目的系主任会为了不为难申请者，一般只选前两个题目中的一个。
如此看来，黎曼其实能够轻易就通过演讲的，只是他遗忘了一点，那就是当时的系主任是高斯，而高斯压根不知道这个规矩，然后黎曼悲剧了。
黎曼申请讲师需要就职演讲，演讲的审核人都是数学家的专家人物，其中也有高斯。
黎曼准备够几个题目让审核人挑选其中之一，让黎曼讲解被挑选的题目。
这些题目都是前沿的数学，是考察讲师的水平的。
高斯对黎曼给出的几个题目进行选择，高斯选择了一个比较奇怪的题目《关于几何学的基本假设》。高斯选这个题目是想看看黎曼跟自己的认识观是否相同。高斯最近在思考环绕数的概念，这是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的定向。
黎曼先是惊了一下，这是黎曼为了凑够数目的一个题目，自己没有打算要讲，却被高斯抽中，而且自己只有一个星期的准备时间了。
没办法，黎曼只能赶紧准备，然后硬着头皮上。
黎曼有些后悔，觉得这次的无薪讲师申请不上，恐怕自己以后没有任何可以糊口的工作了。毕竟搞数学只能在大学里，社会上哪里用得着？看来高斯有点针对自己。
黎曼开始就职演说，讲《关于几何学的基本假设》。
“……几何学的对象缺乏先验的定义，欧几里德的公理只是假设了未定义的几何对象之间的关系，而我们却不知道这些关系怎么来的，甚至不知道为什么几何对象之间会存在关系……”
老师们听得面面相觑，不知道黎曼讲了什么，只有高斯略有所思。高斯想起了自己被校领导刁难的样子，从黎曼身上看到自己的影子。
“……我认为，几何对象应该是一些多度延展的量，体现出各种可能的度量性质。而我们生活的空间只是一个特殊的三度延展的量，因此欧几里德的公理只能从经验导出，而不是几何对象基本定义的推论。欧氏几何的公理和定理根本就只是假设而已。但是，我们可以考察这些定理成立的可能性，然后再试图把它们推广到我们日常观察的范围之外的几何。……”
老师们有点想打断这个演讲，但是没好意思让他停止。高斯沉浸在扭结问题问题中，这是一个研究如何判断绳子是否打结的课题，即当两段闭合的绳子缠绕在一起时，如何只通过观察，就判断绳子间是否产生扭结的问题。除了判断绳子是否打结以外，还有研究如何给扭结分类的问题。
“……我认为应该有一个n维流形的概念，即流形的局部与 n 维欧氏空间的局部具有相同的拓扑性质，并阐述了关于延展性、维数、以及将延展性数量化的想法。……”
老师们听完了黎曼的讲解后，表示纷纷听不懂。
而高斯则说：“太棒了，几何应该变革了，以前的几何学无法再满足当下的要求了。”
整个过程中，他特别指出了日常生活中不适用欧几里得规则的例子，比如球面。在球面上所有经线都与赤道相交呈90°，因此这些经线会彼此平行，却在极点相交。
就这样，一个小时的《论作为几何基础的假设》演讲成为了数学史上发表的内容最丰富的长篇论文，而且在表述方面也堪称典范，勾勒出一个截然不同的几何世界（超越了欧几里得的几何世界）。
这次的演讲不但发扬了高斯关于曲面的微分几何研究，建立了黎曼空间的概念，还开创了黎曼几何，为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。因此高斯兴奋不已，顺利让黎曼获得了讲师职位。
在黎曼之后，庞加莱继续研究黎曼留下来的n维流形，他创立了用剖分来研究流形的基本方法，同时引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数。不过最著名的，还是他在研究三维流形时留下的“庞加莱猜想”。
