月净威，哈佛大学科学家，道:“其他贡献。几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。”
精星灵，曰:“公设不同。公设一：由任意一点到任意一点可作直线。”
月净威，哈佛大学科学家，道:“欧式几何。公设二：一条有限直线可以继续延长。公设三：以任意点为心及任意的距离可以画圆。公设四：凡直角都相等。公设五：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。（等价命题：过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。）”
精星灵，曰:“罗氏几何。公设一：由任意一点到任意一点可作直线。公设二：一条有限直线可以继续延长。公设三：以任意点为心及任意的距离可以画圆。公设四：凡直角都相等。公设五：过直线外一点，至少可以做两条直线与已知直线平行。”
月净威，哈佛大学科学家，道:“关系。欧氏几何、罗氏几何、黎曼（球面）几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了，一个严密的公理体系。每个体系内的各条公理之间没有矛盾。因此这三种几何都是正确的。宏观低速的牛顿物理学中，也就是在我们的日常生活中，我们所处的空间可以近似看成欧式空间；在涉及到广义相对论效应时，时空要用黎曼几何刻画。”
精星灵，曰:“分析。根据欧氏几何的5条公理，可以看出，这些几何都存在一个很基本的现象，而且这些现象和金星上面的有些相似。”
这里所说的“欧氏几何”实际上是平面几何。
除平面几何外，还有立体几何。
我们通常所学的立体几何，基本也就是空间中点、线、平面的关系，没有涉及到曲面。
罗氏几何：根据罗氏几何的定义：从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。
我们仅需将空间中的平行线，定义为：不相交的两条直线叫罗氏平行线。
就可以得到，过直线外一点，可以做任意多条直线和这条直线罗氏平行。
同一直线的垂线和斜线不一定相交(可能是罗氏平行线)。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，可能离散到无穷(不在同一平面的两条垂线，线距趋于无限远)。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
这个命题在一个特殊模型下成立：“过一个曲面上的不在同一条直线上的三个点，不一定能在曲面上做一个公认的圆”。
但可以，在这个曲面上做过这三点的一个平面的投影圆。
黎曼几何：黎曼几何的这个假设我们没有模型：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
这个在球面上，是可以应用的。
此外：曲面上，两点间最短的线称为这两点在该曲面上的直线，则曲面上两点间的直线，可以有多条。
如果一个曲面上的线，在一个平面上的投影为一条直线，则称此直线为此曲面关于这个平面的直线，则过曲面上任意两点，能且仅能做关于此平面的一条直线。
曲面上三点，不在关于某平面的直线上，则能且仅能做一个关于此平面的圆。
月净威，哈佛大学科学家，道:“黎曼几何。黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量。黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。”
精星灵，曰:“外文名Riemannian geometry。微分几何中，黎曼几何研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空间上二次形式的选择。它特别关注于角度、弧线长度及体积。把每个微小部分加起来而得出整体的数量。19世纪，波恩哈德·黎曼把这个概念加以推广。两个非欧几里得几何的特例是：球面几何和双曲几何。任意平滑流形容许黎曼度量及这个额外结构，帮助解决微分拓扑问题。它成为，伪黎曼流形复杂结构的入门。其中大部分，都是广义相对论的四维研究对象。”
“因此这些质数，一定和这些几何有关系。因为我们应该非常清楚的是……质数，它本身所含有的无因性，字数，在这些人眼中，就是无音数。所以他们的数学，也是不一样的。事……它的种类，并不是多少。而是，复杂的原因。”一位美丽的数学家，认真的分析道，随后他们又开始分析，其他的事情。
