精星灵，曰:“每个连通黎曼曲面可以转成有常数曲率-1，0或1 的完备实黎曼流形。这个黎曼结构除了度量的缩放外是唯一。有曲率-1的黎曼曲面称为双曲的;开圆盘是个经典的例子。有曲率0的黎曼曲面称为抛物的；C是典型的抛物黎曼曲面。最后，有曲率+1的黎曼曲面称为椭圆的；黎曼球C ∪{∞}是这样的一个例子。对于每个闭抛物黎曼曲面，基本群同构于2阶格群，因而曲面可以构造为C/Γ，其中C是复平面而Γ是格群。陪集的代表的集合叫做基本域。类似的，对每个双曲黎曼曲面，基本群同构于Fuchsian 群，因而曲面可以由Fuchsian 模型H/Γ构造，其中H是上半平面而Γ是Fuchsian 群。H/Γ陪集的代表是自由正则集，可以作为度量基本多边形。当一个双曲曲面是紧的，则曲面的总面积是4\pi(g-1)，其中 g 是曲面的亏格(genus)；面积可由把Gauss-Bonnet 定理应用到基本多边形的面积上来算出。前面我们提到黎曼曲面，象所有复流形，象实流形一样可定向。因为复图f和g有变换函数h = f(g-1(z))，我们可以认为h是从R2开集到R2的映射，在点z的雅戈比阵也就是由乘以复数h'(z)的运算给出的实线性变换。但是，乘以复数α的行列式等于|α|^2，所以h的雅戈比阵有正的行列式值。所以，复图集是可定向图集。黎曼最早开始研究黎曼曲面。黎曼曲面以他命名。”
月净威，哈佛大学科学家，道:“相关介绍。黎曼（G.F.B Riemann)1826年9月17日生于德国汉若威的布雷斯塞论茨，1866年7月20日卒于意大利塞拉斯卡。黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一，我们从他当时的数学水平来看，他作为伟大的分析学家，其成就可以分为八个领域来论述。前4个领域是关于复分析方面的，他第一个有意识的将实域过渡到复域，开创了复变函数域，代数函数论，常微分方程解析理论及解析数论诸方向；后4个领域主要涉及实分析，在积分理论，三角级理论，微分几何学，数学物理方程等方面取得重大突破。重要的是一个多世纪之前的成就却直接同现代数学中的拓扑方法，一般流形概念，联系拓扑与分析的黎曼－洛赫定理，代数几何学特别是阿贝尔簇以及参模等紧密相连，他的空间观念及黎曼几何更预示着广义相对论，正是他促发了现代数学的革命性变革。”
精星灵，曰:“黎曼流形。黎曼（德，1826－1866年）：几何观点，黎曼面。1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，其重要性恰如著名数学家阿尔福斯（芬－美，1907－1996年）所说：这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路。此外，建立了柯西－黎曼条件，真正使这方程成为复分析大厦的基石，揭示出复函数与实函数之间的深刻区别，黎曼映射定理。”
月净威，哈佛大学科学家，道:“黎曼流形。在微分流形以及黎曼几何中，一个黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，换句话说，这个流形上配备有一个对称正定的二阶协变张量场，亦即在每一点的切空间上配备一个正定二次型。给了度量以后，我们就可以像初等几何学中一样，测量长度，面积，体积等量。”
精星灵，曰:“简介。n维欧氏空间中，有自然的度量ds^2=(dx_1)^2+...+(dx_n)^2。它的矩阵表示就是，单位矩阵。”
月净威，哈佛大学科学家，道:“例子。欧氏空间中的子流形当然也就自然地诱导出一个度量。曲线和曲面的微分几何里，我们都是把曲线曲面视为三维空间的子流形，所以自然赋予了度量结构。”
精星灵，曰:“黎曼空间。爱因斯坦的广义相对论告诉我们，引力并不是真正的力，而是反映空间扭曲的一个几何现象。对一个考察者来说，他身处在这个空间里，是无法直接体会到空间扭曲的。但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲，测量的标准就是所谓的度量。度量是内蕴性质。具有度量的空间就称为黎曼空间。”
月净威，哈佛大学科学家，道:“联络与曲率。流形上的黎曼度量给定后，我们可以得到一个唯一确定的对称（即无挠）联络，并且它保持黎曼度量。这个联络称为这个黎曼度量的Levi-Civita联络。”
精星灵，曰:“Levi-Civita联络。有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。欧氏空间的联络就是通常意义上的向量函数的微分。”
月净威，哈佛大学科学家，道:“曲率。黎曼度量还诱导出曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度。曲率处处为零的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。德国数学家高斯最早研究了曲面上的曲率，发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。”
精星灵，曰:“黎曼几何学。德国数学家（G.F.）B.黎曼在19世纪中期所提出的几何学理论。1854年，他在格丁根大学发表的就职演说，题目是《论作为几何学基础的假设》，可以说是黎曼几何学的发凡。”
月净威，哈佛大学科学家，道:“时间1854年。德国数学家（G.F.）B.黎曼在19世纪中期所提出的几何学理论。1854年，他在格丁根大学发表的就职演说，题目是《论作为几何学基础的假设》，可以说是黎曼几何学的发凡。”
从数学上讲，他发展了空间的概念，首先认识到几何学中所研究的对象是一种“多重广延量”，其中的点可以用n个实数作为坐标来描述，即现代的微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象打下了基础。
更进一步，他认为，通常所说的几何学只是在当时已知测量范围之内的几何学，如果超出了这个范围，或者是到更细层次的范围里面，空间是否还是欧几里得的则是一个需要验证的问题，需要靠物理学发展的结果来决定。
他认为这种空间（也就是流形）上的几何学应该是基于无限邻近点之间的距离。
在无限小的意义下，这种距离仍然满足勾股定理。
这样，他就提出了黎曼度量的概念。
这个思想，发源于C.F.高斯。
但是黎曼提出了，更一般化的观点。
在欧几里得几何中，邻近点的距离平方是这确定了，欧几里得几何。
但是在一般曲线坐标下，则应，这是相当特殊的一组函数。
如果是一般的函数，又（gij）仍构成正定对称阵，那么出发，也可以定义一种几何学，这便是黎曼几何学。
由于在每一点的周围，都可以选取坐标使得在这点成立，所以在非常小的区域里面，勾股定理近似成立。
但在大一点的范围里，一般就和欧几里得几何学，有很大的区别了。
