53.斐波那契数列的应用
张老伯因年纪已大而不能外出，就在家饲养起了兔子。他从市场买了雌雄各一两只大兔子放在自家的院子先作为种兔饲养，他想知道一年后能生出多少对兔子，假定这对大兔子每月可生雌雄各一的一对小兔子，而新生的一对小兔子经过一个月可以长成大兔子，以后也是每月产雌雄各一的一对小兔子。那么请问：一年后，也就是到第13个月的月初时，张老伯可以拥有多少只兔子呢？
54.剖分三角形
老师让甲用对角线把正八边形剖分成三角形，要求这些三角形的顶点是正八边形的顶点，同时规定，如果两种剖分方法可以通过恰当的旋转、反射，或者旋转加反射而互相得到，那么就认为是同一种。
请问：甲共有多少种不同的剖分三角形的方法。
55.破译布什无字书
杨鹏翔先生是海外知名华人作家，现任澳门华光书局集团公司董事长等职。他在年逾花甲后，写成了《伟大的改革家——邓小平》一书，赠给全世界100多个国家的元首和地区首脑。先后有４０余国的首脑人物复信向他致谢。然而，美国总统布什的来函只有5张彩照，不见片纸。
当时，正值中美关系有些紧张，布什进退两难。智囊团的谋士们终于为他想出了这个“照片外交”的策略。杨先生破译布什精选的5张照片后，立即在珠海将掌握的信息快速传到北京。
这五张彩照，第一张是布什坐在白宫总统办公室；第二张是布什在国会讲坛上发表演讲，身后坐着参众两院的议长，他们的眼睛正注视着他；第三张是布什出席记者招待会；第四张是布什站在海边的礁石旁，海有微波，不是大浪；第五张是布什张嘴带笑，双手叉在胸前。
北京的领导人对布什的外交姿态心领神会。
你知道这5张照片是什么意思吗？
56.5万里以外
一次，有家人家摆出美味佳肴宴请客人。一个星相家也来赴宴。他入座不久，突然捂着嘴笑了。主人家的孩子问他：“您笑什么？”
星相家回答道：“我在这儿看见５万里以外有座山，山下有条河，一只猴子掉在河里，挺有趣，所以忍不住笑了。”
这孩子知道他吹牛，就想了一个办法，揭穿了他的谎言。
试问，他想的是什么办法呢？
57.指路奥秘
60年前，一个中国小伙子阿明徒步游历世界。一天，他走到保加利亚。他要去该国首都索非亚。走啊走，他在群山中迷了路，好容易碰上一个牧民，他用刚学会的几句当地语言问道：“请问，哪条路通往索非亚？”
那个牧民指着西北方向，连连摇头，阿明想，不能往这儿走。牧民走后，他就向东南方向走去，可是越走越觉得方向不对。他又问路边的老人，说：“这条路通向索非亚吗？”老人频频点头。他这才放心，继续往前走。走了半天，发觉方向更加不对了。
天黑了，他来到一所山村学校，敲开门，请求借宿一夜。恰巧校长住在学校里，还懂英语，他说阿明走错了路。
阿明把问路的经过说了一遍，校长哈哈大笑，说：“他们并没有指错路。”
试问，这究竟是什么原因呢？
58.世界的智慧
从前有一个人，他想要独占全世界的智慧，做世界上最聪明的人。他想叫每一个人，包括国王和大臣在内，在解决问题时，都不得不向他请教。他想，那样的话，他一定会受到所有人的尊敬。
他出门去搜集智慧。凡是搜集到的，都装在一个葫芦里，然后，用一卷树叶把葫芦口紧紧地塞住。当他觉得已经收集了所有的智慧的时候，便决定把这个葫芦藏到一棵谁也爬不上去的高树顶上。
他来到那棵树下，在葫芦颈上系上一根绳子，把绳子两端打上一个结，然后将这个绳圈套在自己颈上，这一来葫芦就垂在他的肚子前面了。他试着往树上爬，但是怎么也爬不上去，因为那个葫芦老是妨碍着他。他硬撑硬爬了好一会儿，还是爬不上去。这当儿，他听见有人在他背后笑。他转过头一看，见有个猎人正在瞧着他。
“朋友，”那位猎人说，“要是你想爬到树顶上去，干吗不把那个葫芦挂在后面呢？”一听到这句很平常的劝告，这个人立刻明白了一个十分深刻的道理，改变了原先愚蠢的妄想。
试问，他明白了一个什么道理呢？
59.形状不规则的水杯
现有一个底部是个圆柱体的水杯，圆柱体部分占水杯高度的3/4，杯子上面的1/4是不规则体，水杯半满。在不把打开杯，仅有一把尺子可供使用的情况下，你采用什么方法能准确的判断出杯子里的水占全部装满时的比例？
60.神奇花园
有甲、乙、丙、丁四个花园，其中甲园的各种鲜花都能在乙园找到，丙园的鲜花种类包含所有的乙园鲜花种类，而丙园中有一些鲜花在丁园也有种植。那么还有哪些园里的鲜花在其他这园里能够找到呢？
61.趣味几何
意大利着名科学家伽利略曾经说过：“大自然用数学语言讲话，这个语言的字母是：圆、三角形以及其他各种数学形体。”几何学研究的对象正是圆、三角形及其他各种数学形体。
一个由36个小方格组成的正方形，如图所示，放着4个黑子和4个白子。现在要把它分割成形状大小都相同的4块，并使每一块里都有一个黑子和一个白子，应怎样分割？
分析：要将图形分成大小相同的四块，可先将图形一分为四，如图(A)
图（A）但这样左上角一块中就出现了两个白子，为此必须将它们割开。但问题要求4块形状大小都要一样，因此只要一块割开，其他3块都要做同样的割开，如图(B)。然后再将原来的分割线去掉一部分。如果去掉近中心的1／3，则黑子就会连成一片；如果去掉中间的1／3，又会有两个白子连在一起。因此只可去掉靠边上的1／3，如图（C)。
图（B）图（C）现在只需要把左边两个白子分开。显然，只要将4条短的分割线延长到边，就能达到目的，如图(D)。到此，图中的6条分割线都不能再延长，只能沿折线分割，成为符合要求的图(E)。
62.节能灶
便民小吃店准备改进炉灶，知道煤厂生产有两种蜂窝煤。大蜂窝煤的直径是小蜂窝煤直径的2倍，3个大蜂窝煤垒起的高度与4个小蜂窝煤垒起的高度相等。
假如砌的炉灶采用3块大蜂窝煤，那么相当于多少块小蜂窝煤的热值？如果按同样热值的那么多小蜂窝煤砌成炉灶，哪个灶更节省？
解答：假设大蜂窝煤半径为R，高度为b，小蜂窝煤半径为r，高度为a，则：
R=2r，3b=4a
大蜂窝煤的体积为πR2·b，小蜂窝煤的体积为πr2·a。
所以πR2·b=π(2r)·34·a
图D（D）图（E）=163·πr2·a
即3πR2·b=16πr2·a
由此可知，3个大蜂窝煤的体积等于16个小蜂窝煤的体积，3∶16也是它们重量的关系。
由于热值与其质量成正比，相同质量的蜂窝煤应该产生相同的热值，所以要砌放3块大蜂窝煤的炉灶，也可以砌成能放16块小蜂窝煤的炉灶，如同图上所示的两种炉膛内的蜂窝煤全部燃烧(令中间小孔不计)，其燃烧面积应该是上端面的面积加上侧面的面积之和，于是，对于16块小蜂窝煤，燃烧表面积之和为：
SA=4×4×(πr2+2πra)
=16πr2+32πra
3块大蜂窝煤，其燃烧表面积为：
SB=3×(πR2+2πR·b)
=3πR2+6πRb
因为R=2r，b=34a
所以SB=3π(2r)2+6π(2r)43a
=12πr2+16πr2a
所以SA＞SB
由此，小蜂窝煤燃烧面积大，烧得快，不节省煤，而大蜂窝煤燃烧面积适中，烧得慢，省煤。
63.青蛙的对称跳
1985年，第三届五四青年智力竞赛中有这样一道题：
地面上有A、B、C3点，一只青蛙位于地面上距离C点为0.27米的P点，青蛙第一步从P跳到关于A的对称点P1，我们把这个动作说成是青蛙从P点关于A点作“对称跳”；第二步从P1出发对B点做对称跳到P2；第三步从P2点出发对C点做对称跳到达P3；第四步从P3再对A做对称跳到达P4……，按这种方式一直跳下去。若青蛙第1985步对称跳之后到达P1985，问此点与出发点P的距离为多少厘米？
要在短时间内把1985步对称跳都做出来是困难的，这里面一定隐含着某种规律。
设想我们在地面上建立了一个直角坐标系，使出发点P正好是坐标原点，并设A(a1，a2)B(b1，b2)，C(c1，c2)。
根据对称跳的定义，P和P1关于A点对称。由于P(0，0)，则点P1的坐标为(2a1，2b1)。设P2(x2，y2)，由于B是P1与P2的中点，则x2=2b1-2a1，y2=2b2-2a2。实际上，我们只须关心点的第一个坐标。
设Pi(xi，yi)，i=1，2，3，4，5，6，我们又有
x3=2c1-x2=2(c1-b1+a1)，
x4=2a1-x3=2(b1-c1），
x5=2b1-x4=2c1，
x6=2c1-x5=0。
类似地可知y6=0，这表明P6=P，也就是说，经过关于A，B，C的6次对称跳之后，青蛙又回后到了原出发点，这又可以说成：这样的对称以6为周期。由于1985=6×330+5，所以经过1985步对称跳，实际上相当于只做了5次对称跳，或者说只差一步就跳回到原点，它与P是关于点C对称的两点，因此。
P1985与P的距离=P5与P的距离
=2×(P与C的距离)=2×0.27米
=0.54米=54厘米。
64.影子部队
数学大军中有一支劲旅，称做“影子部队”。它就是“三角函数”，因为它离不开角度，它总是跟随着角度，像它的影子一样。
这天，影子部队随着角度观光了三角形博览会。角度是这里的常客，它也很自负，它说：“任何ABC，三个内角和为180°。”说完没有人理它，它又说：“ABC若是直角三角形，那么Rt∠C=∠A+∠B。”这时影子部队答了话：“凡是有你的地方，就有我存在。至于ABC若满足下列条件：
sinC=sinA+sinBcosA+cosB
则ABC一定是直角三角形。不信，你可以试试。”
证明；先设ABC为任意三角形，有A+B+C=180°
所以右式=2sinA+B2·cosA-B22cosA+B2·cosA-B2
=sin180°-C2cos180°-C2=cosC2sinC2
左式：=2sinC2·cosC2
所以2sinC2·cosC2=cosC2sinC2
因为cosC2≠0
所以2sin2C2=1
sinC2=22
所以C2=45°即C=90°
所以ABC为直角三角形。
65.巷中行
有一个小巷，本来就不宽，充其量只有5米，却遇上修理房屋。巷内架起了两个梯子，一个梯子长8米，另一个梯子长7米。架起来后，行人走到那里就皱起了眉头。请你计算一下，这样架着梯子，人在巷中行走，有妨碍没有？
解答：设巷宽DB=5米，两个梯子AB=8米，CD=7米。
令EF=x，
FB=x
因为EFBC=DFDB，
BC=CD2-DB2，
DF=DB-y
所以x72-52=5-y5
所以同理：
EFAD=FBDB
AD=AB2-DB2
所以x82-52=y5
由①、②式，求得：
5-y5·72-52=y582-52
106-26y=39y
y=10626+39=24.512.2=2(米)
又：
x82-52=y5
x=395y
x=6.255×2=2.5(米)
由此可见，两梯子交叉点离地面约有2.5米高，因此并不影响行人通过。
66.松鼠妈妈采松子
松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连几天采了112个松子，平均每天采14个。请问，这几天当中有几天有雨？
解法（1）松鼠妈妈采112个松子共用了
112÷14=8(天)
如果8天都是晴天，就能采到松子
20×8=160(个)
一个雨天比一个晴天少采松子
20-12=8(个)
现在共少采了
160-112=48(个)
因此雨天有48÷8=6(天)。
解法(2)
松鼠妈妈共用了8天采松子，如果8天都是雨天，只能采松子
12×8=96(个)
一个晴天比一个雨天要多采松子
20-12=8(个)
现在共采了
112-96=16(个)
因此，晴天有16÷8=2(天)，也就是6天有雨。
67.庞贝古城
庞贝是意大利的古城，它位于维苏威火山东南麓。它全盛时期到火山爆发把它湮没，正好是横跨公元前后相同的年数。原来人们都不知道有这么一个古城，在挖掘的那年，才发现庞贝已被火山爆发湮没了1669年，而挖掘的工作一直延续了212年，到挖掘结束后，证实与庞贝城最繁华的时期已相距2039年。请问：庞贝城全盛时是哪年？火山爆发把它湮没又是哪年？挖掘工作又是从哪年到哪年？
解答：设庞贝城全盛时为公元前x年，由于它横跨公元前后，火山爆发把它湮没在公元后x年。
设挖掘工作从公元y年到z年，则
y-x=1669①
z+x=2039②
z-y=212③
由①+②，得
y+z=3708④
由③、④联立，得z=1960
由此，y=1748
x=79
所以，庞贝城全盛时为公元前79年，火山爆发把它湮没在公元后79年，挖掘工作从公元1748年一直延续到1960年。
23x=2500
x=3750
