无满足ｐ｜ｘｙｚ的解，就说对于ｐ，第一种情况的费尔马大定理成立。
如果方程
ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ
无满足ｐ｜ｘｙｚ的解，就说对于ｐ，第二种情况的费尔马大定理成立。
因此，吉尔曼证明了ｐ＝５，第一种情况的费尔马大定理成立。她还证明了：如果ｐ与２ｐ＋１都是奇素数，那么第一种情况的费尔马大定理成立。她还进一步证明了对于≤１００的奇素数ｐ，第一种情况的费尔马大定理成立。
在欧拉解决ｐ＝３以后的９０余年里，尽管许多数学家企图证明费尔马大定理，但成绩甚微。除吉尔曼的结果外，只解决了ｐ＝５与ｐ＝７的情况。
攻克ｐ＝５的荣誉由两位数学家分享，一位是刚满２０岁、初出茅庐的狄利克雷，另一位是年逾７０已享盛名的勒仕德。他们分别在１８２５年９月和１１月完成了这个证明。
ｐ＝７是法国数学家拉梅在１８３９年证明的。
这样对每个奇素数ｐ逐一进行处理，难度越来越大，而且不能对所有的ｐ解决费尔马大定理。有没有一种方法可以对所有的ｐ或者至少对一批ｐ，证明费尔马大定理成立呢？德国数学家库麦尔创立了一种新方法，用新的深刻的观点来看费尔马大定理，给一般情况的解决带来了希望。
库麦尔利用理想理论，证明了对于ｐ＜１００费尔马大定理成立。巴黎科学院为了表彰他的功绩，在１８５７年给他奖金３０００法郎。
库麦尔发现伯努列数与费尔马大定理有重要联系，他引进了正规素数的概念：如果素数ｐ不整除Ｂ２，Ｂ４……Ｂｐ－３的分母，ｐ就称为正规素数，如果ｐ整除Ｂ２，Ｂ４……Ｂｐ－３中某一个的分母就称为非正规素数。例如５是正规数，因为Ｂ２的分母是６而５×６。７也是正规素数，因为Ｂ２的分母是６，Ｂ４的分母是３０，而７×６，７×３０。
１８５０年，库麦尔证明了费尔马大定理对正规素数成立，这一下子证明了对一大批素数ｐ，费尔马大定理成立。他发现在１００以内只有３７、５９、６７是非正规素数，在对这三个数进行特别处理后，他证明了对于ｐ＜１００，费尔马大定理成立。
正规素数到底有多少？库麦尔猜测有无限个，但这一猜测一直未能证明。有趣的是，１９５３年，卡利茨证明了非正规素数的个数是无限的。
近年来，对费尔马大定理的研究取得了重大进展。１９８３年，西德的伐尔廷斯证明了“代数数域Ｋ上的（非退化的）曲线Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，在出格ｇ＞１时，至多有有限多个Ｋ点。”
作为它的特殊情况，有理数域Ｑ上的曲线
ｘｎ＋ｙｎ－１＝０（５）
在亏格ｇ＞１时，至多有有限多个有理点。
这里亏格ｇ是一个几何量，对于曲线（５），ｇ可用
g=（n-1）(n-2)2
来计算，由（６）可知在ｎ＞３时，（５）的亏格大于１，因而至多有有限多个有理点（ｘ，ｙ）满足（５）。
方程
ｘｎ＋ｙｎ＝２ｎ
可以化成
x2n+y4n-1=0
改记x2，y2为（ｘ，ｙ），则（７）就变成（５）。因此由（５）只有有限多个有理数解ｘ、ｙ，立即得出（１）只有有限多个正整数解ｘ、ｙ、ｚ，但这里把ｘ、ｙ、ｚ与ｋｘ、ｋｙ、ｋｚ（ｋ为正整数）算作同一组解。
因此，即使费尔马大定理对某个ｎ不成立，方程（７）有正整数解，但解也至多有有限组。
１９８４年，艾德勒曼与希思布朗证明了第一种情况的费尔马大定理对无限多个ｐ成立。他们的工作利用了福夫雷的一个重要结果：有无穷多个对素数ｐ与ｑ，满足ｑ｜ｐ－１及ｑ＞ｐ２／３个。而福夫雷的结果又建立在对克路斯特曼的一个新的估计上，后者引起了不少数论问题的突破。
现在还不能肯定费尔马大定理一定正确，尽管经过几个世纪的努力。瓦格斯塔夫在１９７７年证明了对于ｐ＜１２５０００，大定理成立。最近，罗寒进一步证明了对于ｐ＜４１００万，大定理成立。但是，费尔马大定理仍然是个猜测。如果谁能举出一个反例，大定理就被推翻了。不过反例是很难举的。
37.五家共井
我国最早提出不定方程问题，它由“五家共井”引起。古代，没有自来水，几家合用一个水井是常见的事。《九章算术》一书第８章第１３题就是“五家共井”问题：
今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何！
用水桶到井中取水，当然少不了绳索，“绠”就是指“绳索”。原题的意思是：
五家共用一水井。井深比２条甲家绳长还多１条乙家绳长；比３条乙家绳长还多１条丙家绳长；比４条丙家绳长还多１条丁家绳长；比５条丁家绳长还多１条戊家绳长；比６条戊家绳长还多１条甲家绳长。如果各家都增加所差的另一条取水绳索，刚刚好取水。试问井深、取水绳长各多少？
虽然该问题是虚构的，它是最早的一个不定方程问题。
用现代符号，可设甲、乙、丙、丁、戊各家绳索长分别为ｘ、ｙ、ｚ、ｕ、ｖ；井深为ｈ。根据题意，可得：
2x+y=h，
3y+z=h，
4z+u=h，
5u+v=h，
6v+x=h。
这是一个含有６个未知数、５个方程的方程组。未知数的个数多于方程个数的方程（或方程组）叫不定方程。用加减消元法可得：
x=265721h，y=191721h，z=148721h，
u=129721h，v=76721h。
给定ｈ不同的数值，就可得到ｘ、ｙ、ｚ、ｕ、ｖ的各个不同的数值。只要再给定一些特定条件，就可得到确定的组解。原书中只给出一组解，是最小正整数解。
我国古代数学家在《九章算术》的基础上，对不定方程作出了辉煌的成绩。“五家共井”问题是后来百鸡术及大衍求一术的先声。
“五家共井”问题，曾引起世界上很多数学家的注视。在西方数学史书中，把最早研究不定方程的功绩归于希腊丢番都。其实，他在公元２５０年左右才研究这些问题，要比我国迟２００多年。
公元６世纪上半期，张丘建在他的《张丘建算经》中有一个百鸡问题：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏生，值钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？
意思是，如果１只公鸡值５个钱；１只母鸡值３个钱；３只小鸡值１个钱。现用１００个钱，买了１００只鸡。问公鸡、母鸡、小鸡各多少？
设公鸡、母鸡、小鸡分别为ｘ、ｙ、ｚ只，则可得不定方程消去ｚ不难得出
5x+3y+13z=100
x+y+z=100
消去ｚ不难得出
y=7x4
因为ｙ是正整数，所以ｘ必须是４的倍数。
设ｘ＝４ｔ，则ｙ＝２５－７ｔ，ｚ＝７５＋３ｔ
∵ｘ＞０，∴４ｔ＞０，ｔ＞０；
又∵ｙ＞０，∴２５－７ｔ＞０，ｔ＜347
故ｔ＝１，２，３。
∴原方程组有三组答案：
{ｘ＝４，ｙ＝１８，ｚ＝７８ {ｘ＝８，ｙ＝１１，ｚ＝８１ {ｘ＝１２，ｙ＝４，ｚ＝８４
数学史家评论说，一道应用题有多组答案，是数学史上从未见到过的，百鸡问题开了先例。《张丘建算经》中没有给出解法，只说：“术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。”意思是：如果少买７只母鸡，就可多买４只公鸡和３只小鸡。因为７只母鸡值钱２１，４只公鸡值钱２０，两者相差３只小鸡的价格。只要得出一组答案，就可推出其余两组。但这解法怎么来的？书中没有说明。因此，所谓“百鸡术”即百鸡问题的解法就引起人们的极大兴趣。
稍后，甄鸾在《数术记遗》一书中又提出了两个“百鸡问题”，题目意思与原百鸡问题相同，仅数字有所区别。到了宋代，着名数学家杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，也引用了类似的问题：
“钱一百买温柑、绿桔、扁桔共一百枚。只云温柑一枚七文，绿桔一枚三文，扁桔三枚一文。问各买几何？”
到了明清时代，还有人提出了多于三元的“百鸡问题”。不过，各书均与《张丘建算经》一样，没有给出问题的一般解法。
７世纪时，有人对百鸡问题提出另一种解法，但只是数字的凑合。到了清代焦循在他的《加减乘除释》一书中指出其错误。之后，不断有人提出新的解法，但都没有完全得到普遍解决此类题目的通用方法。例如丁取忠在他的《数学拾遗》中给出一个比较简易的解法：先设没有公鸡，用１００个钱买母鸡和小鸡共１００只，得母鸡２５只、小鸡７５只。现在少买７只母鸡，多买４只公鸡和３只小鸡，便得第一组答案。同理可推出其余两组。直到１９世纪，人们才把这类问题同“大衍求一术”结合起来研究。
百鸡问题是一个历史名题，在世界上有很大影响。国外常见类似的题目。
38.速度趣题
自行车和苍蝇
两个男孩各骑一辆自行车，从相距２０千米的两个地方，开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。
如果每辆自行车都以每小时１０千米的高速前进，苍蝇以每小时１５千米的高速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少千米？
每辆自行车运动的速度是每小时１０千米，两者将在１小时后相遇于２０千米距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时１５千米，因此在１小时中，它总共飞行了１５千米。
许多人试图用复杂的方法求解这道题目。他们计算苍蝇在两辆自行车车把之间的第一次路程，然后是返回的路程，依此类推，算出那些越来越短的路程。但这将涉及所谓无穷级数求和，这是非常复杂的高等数学。
据说，在一次鸡尾酒会上，有人向约翰·冯·诺伊曼提出这个问题，他思索片刻便给出正确的答案。提问者显得有点沮丧，他解释说，很多数学家总忽略简单方法，而去采用无穷级数求和的复杂方法。
冯·诺伊曼脸上露出惊奇的神色。“可是，我用的正是无穷级数求和的方法”，他解释道。
往返旅行
当我们驾驶汽车旅行的时候，汽车在不同的时刻当然会以不同的速度行驶。如果把全部距离除以驾驶汽车的全部时间，所得到的结果叫做这次旅行的平均速度。
史密斯先生计划驾驶汽车从芝加哥去底特律，然后返回。他希望整个往返旅行的平均速度为每小时６０千米。在抵达底特律的时候，他发现他的平均速度只达到每小时３０千米。
为了把往返旅行的平均速度提高到每小时６０千米，史密斯在返回时的平均速度必须是每小时多少千米呢？
求解这道令人困惑的小小难题，并不需要知道芝加哥与底特律之间的距离。
在抵达底特律的时候，史密斯已经走过了一定的距离，这花去了他一定的时间。如果他要把他的平均速度翻一番，他应该在同样的时间中走过上述距离的两倍。很明显，要做到这一点，他必须不花任何时间便回到芝加哥。这是不可能的，因此史密斯根本没有办法把他的平均速度提高到每小时６０千米。无论他返回时的速度有多快，整个旅行的平均速度肯定要低于每小时６０千米。
如果我们为史密斯的旅行假设一个距离，事情便会容易理解一些。比如说，假设往返旅程各为３０千米。由于他的平均速度为每小时３０千米，他将用１小时的时间完成前一半的旅行。他希望往返旅行的平均速度为每小时６０千米，这意味着他必须在１小时中完成整个６０千米的旅程。可是，他已经把１小时的时间全都用了。无论他返回时速度有多快，他所用的时间全都用了。无论他返回时速度有多快，他所用的时间将多于１小时，因此他必定要用多于１小时的时间完成６０千米的旅程，这使得他的平均速度低于每小时６０千米。
39.升官题
传说唐代尚书杨损，廉洁奉公，任人唯贤。有一次，要在两名小吏中提升一人，主管提升工作的官员感到很难决断，便请示杨损。杨损认为，作为一个官员，不仅要有高尚的品德，还要有一定的文化水平。于是，他说：“一个官员应具备的一大技能是速算。让我出题来考考他们，谁算得快就提升谁。”杨损出了一道题：
“有人在林中散步，无意中听到几个强盗在商讨如何分赃。他们说，如果每人分６匹布，则余５匹；每人分７匹布，则缺少８匹。试问共有几个强盗几匹布？”两个小吏听过题目后，便用筹算解联立一次方程组。后来，先得出正确结果的小吏果真升了官，大家心服口服。
这个故事反映出我国古代人民对于解联立一次方程组的熟练程度。事实上，在２０００多年前的《九章算术》中，已系统地叙述了联立一次方程组的解法，这是中国古代数学的杰出贡献之一。
《九章算术》是我国至今有传本的一部经典数学着作，内容极为丰富，它几乎集中了过去和当时的全部数学知识，将２４６个问题分为九章，所以叫做《九章算术》。
《九章算述》不是出自某一个人的手笔，不是一个时代的作品。它是经过历代名家的修订和增补，才逐渐成为定本的。它成书于何时，目前学术界尚无统一结论，据推测起码在公元１世纪之前。《九章算术》对我国以及一些外国的数学发展有很大影响，直到１６世纪我国的数学着作大都还是受它的体例影响。
