在工程中平面汇交力系的实际例子很多，它是研究复杂力系的基础。本章将从平面力系的合成法则入手，全面学习力的分解和力的投影，并应用平面汇交力系的平衡条件解决具体问题。学习和掌握好平面汇交力系的应用及解决问题的方法，对进一步学习平面任意力系具有重要的意义。
2.1平面力系的合成法则
所谓平面汇交力系，是指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系，是最简单的力系。形如图21所示的力系就是平面汇交力系，其共同特点是：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点。
2.1.1平面汇交力系的合成法则
设一刚体受到平面汇交力系F1、F2、F3、F4的作用，各力作用线汇交于点A，根据刚体内部力的传递性，可将各力沿其作用线移至汇交点A，如图22(a)所示。
求上述4个力的合力，可根据力的平行四边形法则，逐步求两两力的合力，最后求得一个通过汇交于点A的合力FR，还可以用更简单的方法求它们的合力FR的大小和方向。
这就是任取一点a，先作力的三角形求出F1和F2合力FR1的大小和方向，再作力的三角形，得FR1与F3的合力FR2，最后合成FR2与F4，得合力FR，如图22(b)所示。其多边形abcde称为此平面汇交力系的力的多边形，矢量ae称为此力多边形的封闭边。封闭边矢量ae即表示此平面汇交力系FR的大小和方向(即合矢量)，而合力的作用线仍通原汇交点A，如图22所示。
必须注意，此力多边形的矢序规则为：各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接。由此组成的力多边形abcde有一缺口，故称为不封闭的力多边形，而合力矢则应沿相反方向连接此缺口，构成力多边形的封闭边。多边形规则是一般矢量相加(几何和)的几何解释。根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢仍然不变，如图21(c)所示。
因此，合力矢与各分力矢的作图次序无关。
根据一般规律，可以将上述方法推广到由n个力组成的平面汇交力系的情况，得到如下结论：
平面汇交力系的合成结果是一个力，它的作用线通过力系的汇交点，其大小及方向可由力多边形的封闭边来表示，即等于各力矢的矢量和。用矢量表示为。
用几何法求合成与平衡时，可应用图解法或几何关系法。图解的精确度取决于作图的精确度；因此要注意选取适当的比例尺，并要认真规范作图。应用平面汇交力系平衡的几何条件，根据规则和实际情况及自行封闭的特点，可以求出未知量，并决定其未知力的方向。
例2.1图23是绞车的提升装置。其中，d1=42cm，d2=24cm，a=12cm，h=5cm，用作图法求插爪及轴承所受的力的大小和方向。
解取整个提升系统为研究对象，按比例画出简图，如图23(b)所示。
选取适当的比例尺，自a点作自行封闭的力的三角形abc，如图23(c)所示，两反力的指向按矢序规则确定。
量得FRc=bc=680N，FB=310N。
通过例2.1的分析和求解，可总结几何法解题的主要步骤如下。
(1)选取研究对象。根据题意，选取适当的平衡物体作为研究对象，并画出简图。
(2)分析受力，画受力图。在研究对象上，画出它所受的全部已知力和未知力(包括约束反力)。若某个约束反力的作用线不能根据约束特性直接确定(如铰链)，而物体又只受3个力作用，则可根据3力平衡必须汇交的条件确定该力的作用线。
(3)作力的多边形或力三角形。选择适当的比例尺，作出该力系的封闭力多边形或封闭力三角形。必须注意，作图时总是从已知力开始。根据矢序规则和封闭特点，就可以确定未知力的指向。
(4)求出未知量。用比例尺和量角器在图上量出未知量。
2.1.2平面汇交力系平衡的几何条件若对作用于刚体上的平面汇交力系用多边形法合成时，各力矢所构成的折线恰好封闭，即第一个力矢的起点与最末一个力矢的终点恰好重合而构成一个自行封闭的力的多边形，它表示力系的合力FR等于0，即该力系为一平衡力系。反之，要使平面汇交力系成为平衡力系，必须使它的合力为0，即力多边形自行封闭。
由以上分析可知，平面汇交力系几何法平衡的必要与充分条件是：力系中的各力矢构成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于0。以矢量的形式表示为FR=0或ΣF=0。
如力系中各力的作用线都沿同一直线，则称此力系为共线力系，它是平面汇交力系的特殊情况，它的力多边形在同一直线上。若沿直线的某一指向为正，相反为负，则力系合力的大小与方向决定于各力的代数和。
例2.2支架ABC由横杆AB与支撑杆BC组成，如图24所示。A、B、C处均为铰链连接，B端悬挂重物的重量为5N，杆重不计，试求两杆所受的力。
解(1)选择研究对象(B点)。
(2)对所选择的研究对象进行受力分析，如图24(b)所示。
(3)应用平衡条件，求出未知力。
根据平衡条件和几何关系，利用三角形知识，求得。
所求力的方向如图24(c)所示。
根据力系的平衡条件，在利用几何条件求力系中各个力的大小时，应注意以下步骤。
(1)选取研究对象。根据题意，选取适当的平衡物体作为研究对象，并画出简图。画简图时一定要注意立足题意，切忌凭空想像。
(2)分析受力，画受力图。在确定的研究对象上，画出它所受的全部已知力和未知力(包括约束反力)。若某个约束反力的作用线不能根据约束特性直接确定(如铰链)，而物体又只受3个力作用，则可根据3力平衡必须汇交的条件确定该力的作用线，画出力的图示。
(3)用三角公式或其他几何关系公式求出要求力的大小和方向。
2.2力的分解和投影
2.2.1力的分解
由前面分析知道，两个共点力可以合成一个合力，其答案是惟一的；反过来，要把一个已知力分解为两个力，若无足够的条件限制，其解答是否也一定呢？
因为在力的平行四边形法则中，每一个矢量都包含有大小和方向两个要素，两个力的合成中就包含6个要素，也就是说必须已知4个要素，才能确定其中的两个要素。在已知合力大小和方向的条件下，还必须规定另外两个条件。例如，规定两个分力的方向；或两个分力的大小；或一个分力的大小和方向；或一个分力的大小，另一个分力的方向等。所以，要使问题有确定的答案，必须要有足够的附加条件，否则将无法确定。
2.2.2力在轴上的分解
若要求力F在x轴上的投影，可自力矢F的两端A和B向x轴引垂线，得到垂足a和b，则x轴上线段ab即为F在轴上的投影，用Fx表示。如图25所示。
同时规定：图25(a)的投影为正；图25(b)的投影为负。即从a到b的指向与x轴的方向一致的投影为正，反之为负。
由上面的几何关系，也可得到投影的大小为Fx=Fcos。
式中，为从x轴正向逆时针旋转到x的作用方向的角度。
由几何关系不难看出上述投影存在3种特殊的关系：
(1)当=0°时，Fx最大；
(2)当=90°时，Fx为0；
(3)当=180°时，Fx为负最大。
2.2.3力在坐标轴上的投影
定义2.1设力F作用于A点，如图26所示。在力F作用线所在的平面内任意取直角坐标系xOy，从力矢AB的两端向x轴作垂线，垂足a1、b1分别称为点A及B在x轴上的投影，而线段a1b1冠以相应的正负号，称为力F在x轴上的投影，以Fx表示。同理可得，力F在y轴上的投影，也冠以相应的正负号，称为力F在y轴上的投影，以Fy表示。
规定矢量F在轴上的投影的指向与轴的正向相同时为正值，反之为负值。
投影与力的大小及方向有关。设力F与x轴间的夹角为，则由图26可知。
值得注意的是：定义2.1对于投影值为正或负的情况都同样适合，也适合于任何一种矢量在轴上的投影。
反之，若已知力F在坐标轴上的投影Fx和Fy，则该力的大小及方向余弦为。
必须注意的是：力的投影与力的分量是两个不同的概念，力的投影是代数量，由力F可确定投影Fx和Fy；但是由投影只可确定力矢F，确定不出力的作用位置；而合力的分量是力沿该方向的分作用，是矢量，有完全确定的力的三要素。只有在直角坐标系中，力在轴上的投影才和力沿该轴的分量的大小相等，而投影的正负号可表明分量的指向。
