同理，单摆周期的计算公式为。
例11.7图117所示为斜面提升的简图，滚筒重为FG1，半径为r，对于转轴的回转半径为ρ，斜面的倾角为，被提升的重物为FG2，重物与斜面间的摩擦系数为μ，不计其他重量。若电机传到滚筒上的转矩为M，求重物的加速度。
解由题意可知，作用于重物上的力有重力FG2，绳子的拉力Fr，斜面法向反力FN，摩擦力F，其方向如图117所示。
沿斜面应用动力学基本方程，得。
由于滚筒转动，设顺时针为正，由刚体的定轴转动微分方程得。
滚筒的角加速度和重物的加速度两者数值间的关系为。
由式(1122)~(1124)消去FT、得。
11.4质点的动能定理
11.4.1常力在直线路程中的功
设质点M在大小、方向都不变的常力F的作用下沿直线运动，如图118所示。力F的作用点由1运动到2，路程是s，力F与速度方向间的夹角为。则常力F在速度方向上的投影Fcos与其作用距离s的积，即为力F在直线路程s中的功，以W表示，即。
路程s恒取正值。由于功是代数量，其正负由cos决定。当90°时，力作正功；当90°时，力作负功；当=90°时，力的功等于0。
在国际单位制中，功的单位是焦耳，用J表示，即1焦耳(J)=1牛顿·米(N·m)。
在工程单位制中，功的单位为公斤·米(kg·m)，其换算关系为。
11.4.2变力在曲线路程上的功
在通常情况下，力并不都为常力，例如，在曲线路上运送某一物体，绳子作用在物体上的力，其大小和方向是变化的，此时，力的方向与物体运动位移的方向并不在一条直线上。根据功的定义，在此情况下计算功，就不能直接应用公式(1125)。那么，又如何进行计算呢？
设质点沿曲线运动，如图119所示，求当质点由A点运动到B时，作用于质点上的变力F所作的功。下面利用微分方法加以推导。
在路程上取一微元ds，求出力F在该微元上所作的功，即式中，——力的方向和作用点C处切线的夹角。
然后求出质点由A点运动到B时，变力所作的全部功就是该元功的总和，即。
式(1127)是功的一般表达式，它表明：力沿曲线轨迹所作的功等于力的切向分量沿轨迹曲线的积分。由式(1126)和(1127)可知，当力始终与质点位移垂直时，该力不作功。
设dr为质点的微小位移，式(1126)和(1127)可变为。
若取i、j、k为直角坐标系Oxyz三轴的单位矢量，则将式(1129)和(1130)代入式(1128)，得质点从A点运动到B时作用力在运动过程中所做的功为。
式(1131)称为功的解析式，它与功的定义式一样，用于变力情况下功的计算。
11.4.3合力的功
若质点M同时受到n个力的作用，这些力分别用F1、F2、…、Fn表示，其合力为FR，则质点在合力FR的作用下沿有限曲线所做的功为。
式(1132)表明，作用于质点的合力在任一路程中所作的功，等于各分力在同一路程中所做功的代数和，由于标量加法比矢量加法简单；因此可不先求合力，而直接计算分力的功后再求和。
1.重力的功
设重为FG的质点M由A(x1，y1，z1)处沿曲线移至B(x2，y2，z2)，如图1110所示。将其对应的坐标分别代入式(1132)，得。
这说明，重力的功等于质点的重量与起止位置间的高度差的积，而与质点运动的路径无关。当质点位置降低时，功为正值；反之为负值。
2.弹性力的功
设质点M与弹簧联结，如图1111所示。弹簧的自然长度为l0。当变形较小，弹簧作用于质点的弹性力F的大小与弹簧的变形x(伸长或压缩)成正比，即F=kx。
式中，比例系数k称为刚性系数或弹簧系数，即使弹簧产生单位变形所需的力，其单位是牛顿/米(N/m)。当质点M从弹性变形x1沿直线运动至变形x2时，弹力所做的功为。
这说明，弹性力所体的功也与质点的运动路径无关，只取决于起止位置时弹簧的变形(伸长或压缩)。
3.摩擦力的功
当质点受到摩擦力作用时，因为动摩擦力F的方向恒与质点运动方向相反，根据动摩擦定律，有。
由此可见，动摩擦力的功恒为负值，它不仅取决于质点的起止位置，且与质点的运动路径有关。
在特殊情况下，若FN为常数，则。
例11.8重2000N的刚体，在已知力F=500N的作用下沿水平面滑动，如图1112所示。如果接触面的摩擦系数μ=0.2，求刚体向右滑动距离s=50m时，作用于刚体的各力所做的功及合力所做的功。
解由题意可知，作用于刚体的力有重力FG、已知力F、法向反力FN和动摩擦力F，如图1112所示。由于刚体在垂直方向上无加速度，因此在垂直方向上刚体受力平衡。由平衡条件得。
由此求得
因此，动摩擦力为。
各力所做的功为。
合力所做的功为。
11.4.4质点的动能定理
设质量为m的质点M在合力F的作用下沿曲线运动，如图1113所示。根据动力学第二定律，有。
将式(1133)投影到切线方向，得。
由于ds=vdt，式(1134)变为。
是由于质点的运动而具有的能量，称为质点的动能，它是表征质点机械运动强度的另一种度量，是动能的微小变化。
由式(1135)可知，质点动能的微小变化，等于作用在质点上的力的元功，这就是微分形式的质点的动能定理。
将式(1135)沿路径弧AB进行积分，得。
式(1136)表明，在任一路程中质点的动能的变化，等于作用在质点上的力的全功，这就是有限形式质点的动能定理。它表明了机械运动中功与动能相互转化的关系。从式(1136)可以看出，力对质点作正功，则质点的动能增加，即接受能量；如力对质点作负功，则质点的动能减小，即输出能量。故可用动能来度量质点因运动而具有的作功的能力。
若作用于质点的力为常力或是质点位置坐标的已知函数，而质点的运动路程已知或求解，解决这类问题宜用有限形式的质点的动能定理。
例11.9列车的质量为m，借惯性沿水平直线轨道运动。开始制动时，列车的速度为v0，若列车与轨道间的摩擦系数为μ，求列车在停止前所走过的路程。
解因为列车的运动是平动；故可看做是一个质点，其末速度v2=0。在其制动过程中，动能的变化为。
由题意知，作用在列车上的力只有摩擦力作功，其他的力对列车均不作功，而摩擦力所作的功为。
由质点的动能定理，得则列车在停止前所走过的路程为。
11.4.5刚体的动能
刚体是工程中常见的质点系，因此刚体动能的计算有着重要的意义。
1.刚体作平动时的动能
当刚体作平动时，刚体内各质点的速度都等于质心C的速度，于是平动的刚体的动能为。
式中，M是刚体的质量。因此，平动刚体的动能等于假想全部质量集中在质心上时其质心的动能。
2.刚体绕定轴转动时的动能
当刚体绕定轴转动时，如图1114所示，刚体内任一点的速度vi=ri，于是绕定轴转动的刚体的动能为。
式中，Iz是刚体对于转动轴z的转动惯量。因此，绕定轴转动的刚体的动能，等于刚体对于转轴的转动惯量与角速度平方积的一半。
11.4.6功率
由于力F在dt时间内所作的功为将式(1139)的两边同除以dt，令单位时间内所作功的快慢程度为功率，则力的功率为dt是作用点的速度。
式(1140)表明力的功率等于力在力的作用点的速度方向上的投影与速度的积。
由于转矩M在dt时间内所作的元功为是物体转动的角速度。
式(1141)表明转矩的功率等于转矩与物体转动的角速度的积。功率的单位是焦耳/秒(J/s)，称为瓦特(W)。
例11.10电机车重为FG，由静止以匀加速度a沿水平轨道行驶，如电机车所受的运动阻力等于kFG，其中k是常数，求电车的功率。
解设电机车行驶距离s时的速度为v，发动机所做的功为W，由动能定理得at代入式(1143)，得。
例11.11胶带运输机如图1115所示。已知胶带的速度v=1.26m/s，运输量Q=455t/h，提升高度h=40m，机器效率η=68%。求运输机所需的电动机的功率。
解取整段胶带上被运输的物料为研究对象，由于速度v为常量；故可研究t秒内动能的变化与功之间的关系。
在t时间内有质量为Q×1000×t/3600(kg)的物料被提升到高度h=40m处，则重力所作的功为。
在t时间内有同样多的物料又被补充到胶带上，并且它们的速度由0变为v；因此系统动能的变化为。
设运输机所需电动机的功率为P，由于机械效率η=68%；所以在t秒内所作的有效功为。
由动能定理得消去时间t后，得。
11.5小结
(1)牛顿第一定律(惯性定律)：任何质点如不受外力作用，则将保持其原来静止的或匀速直线运动的状态。
(2)牛顿第二定律：质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。
(3)牛顿第三牛顿定律(作用与反作用定律)：对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。
(4)理解牛顿运动定律，应注意以下几点。
①作用于质点上的力与质点的加速度是瞬时关系。
②力与加速度的方向一致。
③质量是物体或质点惯性大小的量度。
④质量和重量是两个截然不同的物理量。重力是地球对物体或质点的作用力，它是引力。同一物体或质点在地球上的不同在点，可以有不同的重力。而质量是物体或质点惯性大小的量度，它不会因地而异。但二者又有必然的联系，即它们之间是通过重力加速度联系在一起的。
⑤质点的动力学基本方程只适用于惯性参考系。
⑥力学单位制与工程单位制之间的关系为1公斤力=9.8牛顿。
(5)直角坐标投影式微分运动方程为式(113)和(114)。
(6)自然坐标投影式微分运动方程为式(115)和(116)。
(7)质点动力学第一类基本问题是已知质点的运动规律，求作用在质点上的力。
(8)质点动力学第二类基本问题是已知作用于质点上的力，求质点的运动情况。
(9)公式(1118)表明，刚体对于转轴的转动惯量与其角速度的积，等于作用在刚体上的所有外力对于转轴之矩的代数和，这就是刚体的定轴转动微分方程。
(10)常力作功的计算公式为式(1125)，路程s恒取正值。由于功是代数量，其正负由cos决定。当90°时，力作正功；当90°时，力作负功；当=90°时，力的功等于0。
(11)变力作功的计算公式为式(1128)，其解析式为式(1131)。
(12)质点在合力作用下沿有限曲线所做的功为式(1132)。
作用于质点的合力在任一路程中所作的功，等于各分力在同一路程中所做功的代数和，由于标量加法比矢量加法简单；因此可不先求合力，而直接计算分力的功后再求和。
(13)公式(1136)表明，在任一路程中质点的动能的变化，等于作用在质点上的力的全功，这就是有限形式质点的动能定理。它表明了机械运动中功与动能相互转化的关系。
(14)刚体作平动时的动能为式(1137)平动刚体的动能等于假想全部质量集中在质心上时其质点的动能。
(15)刚体绕定轴转动时的动能式(1138)。
绕定轴转动的刚体的动能，等于刚体对于转轴的转动惯量与角速度平方积的一半。
(16)单位时间内所作功的快慢程度为功率。功率的计算公式为式(1140)。
思考与习题
111我国在1970年4月24日成功发射了第一颗人造地球卫星，地球中心是椭圆轨道的焦点之一，近地点为439km，远地点为2384km。如卫星在近地点的速度为8.12km/s，地球的半径为6370km，求卫星在远地点的速度。
112重力为FG的物块A置于锥形盘上，如图1116所示。物块A离转轴的距离为r=20cm，物块与锥面间的摩擦系数μ=0.3，=30°。欲使物块A能在圆锥面上保持平衡，求锥形盘作匀速转动的转速范围。
113设有一电车质量m=104kg，当沿直线道路起动时牵引力F随时间t成正比增加，牵引力增加规律为F=1176t牛顿，电车的初速度为0，最大摩擦阻力为1960N。求电车的运动方程。
114如图1117所示，车厢沿坡度为角的倾斜轨道滑下，坡道长为l，车厢运行所受的摩擦阻力与轨道法向反力成正比，即F=kFN，其中k为运动阻力系数。求车厢自A处静止下滑至B处时的速度v及停止后沿水平轨道所行的距离s。
115图1118所示为运输机，物体A重为FG1，带轮B和C各重FG2，半径均为R，可视为均质圆柱。今在轮B上作用一不变转矩M，使系统由静止而运动。若不计传送带和支承物的质量，求重物A移动距离s时的速度和加速度。
116列车质量为m，其功率为常数P，如列车所受的阻力F为常数，则时间与速度的关系为如阻力F与速度成正比，则。
