在一个大盒子里，装着许多黑的和白的围棋棋子，怎么才能知道哪种颜色的棋子多一些呢？一种办法是分别数出它们的个数，进行比较；另一种办法是，每次同时取出一黑一白两种棋子，一直取下去，如果最后只剩下某种颜色的棋子，就说明这种颜色的棋子多，如果刚好取完，就说明两种颜色的棋子一样多。
然而，如果那个大盒子里装着无穷多个棋子，那就没有办法把两种颜色的棋子分别数出来比较多少了，因为，至少有一种颜色的棋子是无穷多的。但是后一种办法却仍然可以使用，如果取了若干次之后，盒子里只剩下某一种颜色的棋子，就可知道这种颜色的棋子多，而且是多得多了。如果拿出一个黑的，总能再拿出一个白的；拿出一个白的，也总能再拿出一个黑的，就说明它们是同样多的。
部分小于整体，这是一条古老而又令人感到无可置疑的真理。把一个苹果切成三块，原来的整个苹果当然大于切开后的任何一块，但这仅仅是对数量有限的物品而言的。17世纪的大科学家伽利略发现，当涉及无穷多个物品时，情况可就大不一样了。
假如有人问你这样一个问题，整数和偶数哪一种数多呢？也许你会认为：当然是整数比偶数多，而且是多一倍。如果从1到100，那么就有100个整数，而其中只有50个偶数。那要是无穷多个整数和偶数呢？我们可以用“一一对应”的方法来比较：
……-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6……
……-6，-4，-2，0，2，4，6，8，10，12……
对于每一个整数，我们可以找到一个偶数和它对应，反过来对于每一个偶数我们又一定可以找到一个整数和它对应，这就是说整数和偶数是一一对应的，也就是说整数和偶数是一样多的。
怎么可能得出这样的结论呢？这是因为我们现在讨论的整数和偶数是无限多的，在无限的情况下，整体可能等于部分。
19世纪后期，德国数学家康托尔在这个思想的启发下，创立了集合论。它揭示出：部分可以和整体之间建立一一对应关系，这正是含有无穷多个元素的集合的本质属性之一。它也告诉人们：不要随便地把在有限的情形下得到的定理应用到无限的情形中去。
