思维方法多种多样，大体上可分为一般思维方法和特殊思维方法。一般思维方法指的是各门学科普遍适用的基本思维方法。如逻辑思维方法、形象思维方法。特殊思维方法则指的是各门学科或各种专业自身所特有的思维方法。比如物理科学中的观察方法、实验方法、模拟方法，等等。
数学思维方法是在数学活动中表现出来的思维方法。例如，数学逻辑思维方法、数学形象思维方法、化归方法、模型方法、公理化方法、无穷小方法，等等。
（第二节 ）数学逻辑思维方法
一、数学逻辑思维方法
数学中的逻辑思维方法是按逻辑规则对概念、判断、推理等言语信息进行加工，并得出新的数学判断和概念的思维方法。这里所说的逻辑，指的是形式逻辑和辩证逻辑。
在形式逻辑方面，要求思维主体理解概念的内涵和外延、概念间的关系、各种判断或命题的结构，掌握基本的逻辑运算、推理规则和形式逻辑的基本规律(同一律、矛盾律、排中律、充足理由律)，也即是说，在推理论证过程中，概念和判断必须保持一致性，判断不自相矛盾，不模棱两可，要有充分的根据。
在辩证逻辑方面，要求主体运用辩证法的基本观点去处理所面临的问题。例如：客观事物是不断地运动、变化、发展着的。事物的发展变化遵循着对立统一规律、质量互变规律和否定之否定规律，等等。
数学逻辑思维方法具有概念性、抽象性和逻辑性的特征。
二、数学逻辑思维方法的形式
数学逻辑思维方法的形式可分为两大类。
一类是形式逻辑思维方法，它主要包括分析、综合、抽象、概括、比较、分类、归纳、演绎、系统化、证明和反驳，等等。
另一类是辩证逻辑思维方法，它是逻辑思维过程中的辩证法。它反映了客观事物相互联系、相互对立、相互转化的关系，其关键是把握对立面的联系与转化。反映在数学思维中，就是抓住数学中各式各样的矛盾(如已知和未知、常量与变量、有限与无限、一般与特殊、直与曲，等等)进行分析转化。在数学中，常用的辩证逻辑思维方法有：化陌生为熟悉、化繁为简、正难则反、顺推与逆推之结合、动与静之转化、数形结合、一般与特殊之互化，此处仅讨论前面五种方法。
1.化陌生为熟悉
人们在学习数学时，总是借助于过去已有的知识和经验去理解新的数学概念和数学命题，新知识能否习得主要取决于学习者认知结构中已有的相关观念。面对一个问题，有人觉得很熟悉，一看就知如何处理；有人觉得似曾相似；有人觉得很陌生。对于后两种情形，需要做的就是设法将似曾相似或陌生的问题转化为熟悉的问题，以便充分利用已有的知识经验或解题模式，从而顺利地解决原问题。
要将陌生问题转化为熟悉的问题，首先，对所学的内容要真正理解，善于将所学的知识内容有机地联系起来，形成一个个的知识组块，并将这些知识组块进行再加工，形成一个有层次有条理的知识结构网络，这样就可大大提高知识的检索与提取效率。这是化陌生为熟悉的基础。其次，要充分运用联想、类比、变更问题、换元法、消元法、参数法、放缩法、构造法等思想方法。
2.化繁为简
数学中各门学科知识都是由简单到复杂逐步演绎而得来的。从知识的发生过程来看，简单与复杂的对立性是相对的。例如，一元二次方程相对于高次方程而言，它是简单的，但相对于一元一次方程而言，它则是复杂的，从知识的内容构成上看，复杂往往由简单构成，一个复杂的问题，或者由几个简单问题组合而成，或者是将一个简单问题的条件或结论作增减变动而成。因此，当我们面临一个复杂问题时，应设法将其转化为简单问题；或从与它相关的简单问题人手。
实现化繁为简的途径多种多样，常见的有分解(即将问题分成若干个小问题，或将图形、图式分离成若干个易于讨论的简单图形、简单图式)、降维、分类、特殊化，等等。
3.正难则反
人们在解决很多数学问题时，多数情况是由已知推出结论。常此以往就形成了这种正面思考的思维定势。但有些问题，从正面人手则很困难。事实上，事物都是辩证的，大与小，多与少。简单与复杂，这些都是相辅相成的。当问题的正面限制条件弱时，其反面的限制条件反而强，当从正面去思考困难时，若能从反面人手去推演，往往就容易得多。
4.顺推与逆推之结合
面对一个数学问题，一方面，我们可以从已知条件出发，一步一步地进行推演，直接推出问题的结论；另一方面，我们也可以由结论开始，去搜寻结论成立的充分条件，直到和已知条件汇合。前者，我们称之为顺推，后者则称为逆推。但是，顺推和逆推有时并不奏效。因此，我们在探索解题思路时，最好的办法是综合使用顺推和逆推的思想方法。一方面，由结论追溯，选择结论成立的充分条件；另一方面，由条件推演，寻求其可以得出的结论。上下紧逼，前后夹攻，一到相会合拢之时，解题思路便豁然贯通。
5.动与静之转化
事物的状态可分为运动和静止两种状态。运动与静止虽然是对立的，但它们之间是有联系的。因为某一静止状态其实是它之前的某一运动状态的结果。而一个运动变化的状态最终会处于一个相对静止的状态。因此，我们在研究问题时，既可用运动的观点来处理静止的数量和形态，即以动求静，也可用相对静止的方法来处理运动变化的事物，即以静制动。
常量和变量是事物的动与静在数量方面的反映。数学公式中的字母，既可看成常量，也可看成变量，数学中的局部固定法、待定系数法、几何变换法、几何作图中的交轨法等等，都是动静转化之例证。
（第三节 ）数学形象思维方法
一、数学形象思维的心理元素
认识一种思维，首先必须认识清楚它的心理元素。数学逻辑思维的基本元素是数学概念。那么数学形象思维的心理元素是什么呢？
数学形象思维的心理元素不是数学物象，数学物象仅仅是数学形象思维的物质基础之一，是外部的根源。法国著名数学家阿达码说：“我觉得自己在真正想一个数学问题时，语言是完全不会出现的……即只有在读完或听完一个问题以后，我才开始想这是什么意思，并且在我完成这件事或放弃这件事之前，语言不再出现”“不仅是语言，甚至连代数符号对于我来说，也是同样的情况，只有在进行极容易的演算时，我才使用代数符号，一旦问题很复杂，这些符号对我就几乎成为沉重的负担了，此时我就用完全不同的方式来表达思想了。”
数学形象思维是主体内部发生的心理过程，数学物象只有转化成主体的观念性形象才有可能进入思维过程。在数学活动中，数学物象首先通过人的感官转化成人的知觉形象，它是在主体受到数学物象刺激的条件下产生的，是对数学物象的反映。知觉形象受制于直接呈现的数学物象，当数学物象呈现在主体面前时，主体内部产生相应的知觉形象，一旦离开了数学物象，主体内部的知觉形象就随之消失。对于相距很近或相连的事物，在知觉中也只能是相距很近或相连的。对于相距较远的事物在知觉中则无法同时呈现。因此，知觉形象也不是数学形象思维的心理元素。
数学形象思维的心理元素不是具体的语言符号图形，而是脑中一些模糊的而又活生生的东西。爱因斯坦在回复数学家阿达码所准备的一组问题时写到：“无论是在写作的时候，还是在论述的时候，所使用的单词或语言对于我正在进行的思维活动几乎不起丝毫作用。作为思维元素的心理实体只是某些符号，以及时而清楚时而模糊的意象……”阿达码说：“在我所从事的全部数学研究中，我都会构作这样的图象，它一定是一幅模糊的东西，有了这个图，我才不致误人歧途。”此处，爱因斯埋所说的“意象”，阿达码所说的“图象”，以及“模糊的而又活生生的东西”实际上都是心象。我们把数学活动中主体的心象叫做数学表象。这里的“表象”也就是很多心理学文献中所说的“意象”。
数学表象是人脑对数学物象进行形式结构的特征概括而得到的观念性形象，尽管它也具有形象性，但这种形象不同于数学物象，也不同于知觉形象，它是通过逻辑思维的渗透和数学语言作物质外壳，运用典型化的手段概括了的理想化形象。数学表象摆脱了数学物象的限制，使主体能够对数学表象进行自由的比较、分解、选择、整合、加工、改造。
由以上分析看出，数学表象是数学形象思维的心理元素。
按材料内容的不同，数学表象可分为图形表象和图式表象。图形表象是人脑对几何图形感知而形成的表象，图式表象则是对数学式子、结构、模型、关系等感知而形成的表象。
从创造性的角度来看，数学表象有记忆表象和创造表象之分，记忆表象是指客体的一种主观经验(视觉的、听觉的等等)。这个客体对于经受这种经验来说，曾经作为一种刺激存在过，但现在并不存在于知觉领域之中。创造表象则是对一个客体的主观经验，而这个客体对于经受这种经验的人来说，从没有作为一刺激实物存在过，它是一种想象出来的客体。创造表象是以记忆表象为基础，与想象力相联系的、在解题中往往起决定性作用的心理形象。它是由数学物象信息组成的且与一定的数学物象“同构”的心理形象。因此，从非常具体的、形象的记忆表象开始，到具有一定抽象性和概括性的创造表象之间，存在着一个从具体到抽象的表象的层次结构，这种表象的层次结构，依据抽象程度的不同具有不同的心理操作的意义。
从数学表象的构成这方面来看，数学表象有单象和复合象。所谓单象，就是单个的表象，它也是最简单的表象。单象具有单个事物的形、质等属性。例如，点、线、面在人脑中的反应的表象就是单象。复合象则是两个或两个以上的单象的组合。复合象的组合有两种方式，一种是线性描述性的组合。例如，当我们看到以语言符号链式的方式呈现的对象“一个圆内切于一三角形中”时，就会产生由圆的表象和三角形的表象组合成的复合象，这个复合象可物化为下图。
圆和三角形组合成的复合象
另外一种是抽象性的组合。例如，“数学变换”就是由一些象“恒等变换”“分割变换”“映射变换”“幂级数变换”“拉普拉斯变换”“傅里叶变换”“拓扑变换”等单象经抽象性的组合而形成的复合象。不过，单象和复合象的划分也只是相对而言，从整体上看，复合象也可被视为单象，而单象有时还可以看成是由另外的单象组合而成。数学表象的这种可分性和整合性，使数学形象思维的进行成为了可能。
依照数学表象的层次结构，数学表象可相对地分为低级表象和高级表象。例如，变换的思想、化归的观念、方程的观点和追求简单化的心理倾向等数学观念就是最高级的数学表象。
二、数学表象的特征
数学表象的主要特征是：形象性、主观灵活性、抽象概括性、创造性。
1.形象性
数学表象是人脑对数学物象的反映，是主体在数学活动中的心象。它是一种理想化了的形象，因而具有形象性的特征。数学表象不如具体形象那样明晰，它是模糊的数学表象的形象性表现出多样性，不管是数学概念、数学命题还是数学推理论证，不仅都有其宏观的整体(或综合)形象，而且还存在着许多从不同的角度观察所产生的不同形象。
2.主观灵活性
数学表象源于对数学对象的知觉，因而它是以个人以往的主观经验为基础的。除了那些可以物化为数学语言、图形或实物模型的表象外，它是私人的，易变的，模糊的，是不容易进行交流的。数学表象作为主体内在的“图画”，是一个高度发达的动力系统，它能灵活而迅速地进行组合转化。
3.抽象概括性
首先，数学表象是数学物象在人脑中的反映，因而数学的抽象概括性决定了数学表象必然具有抽象概括性的特征。
其次，数学表象主要源于视知觉。视知觉具备了认知能力和理解能力。认知，无非是指积极地探索、选择、对本质的把握，而这一切又都涉及着对外物之形态的简化和组织(抽象、分析、综合、补足、纠正、比较、结合、分离、在背景中突出某物)，换言之，视知觉具有抽象概括的功能。所以，数学表象具有抽象性的特征。
第三，承认数学表象存在着从具体的记忆表象到抽象的创造表象的层次结构，就意味着承认数学表象具有抽象概括的功能。这种抽象概括的功能不同于数学语言的抽象概括功能。形象的抽象是一个心理表象的形成过程，它把层次不同或相互分离的“抽象物”整合成一个表象，能在更高的层次上整体地来体现事物的结构和关系。而数学语言的抽象则是在形象抽象之上的再抽象，具体表现为数学表象同主体的分离，即将数学表象物化为数学语言。
4.创造性
数学表象是建立在先前知觉的基础之上，是以往大量形象信息在大脑中的储存，它具有灵活易变的特点，能为主体对其进行自由的比较、选择、分解、整合加工，从而将我们从死板的真实中解决出来，引发新的结构、新的概念和新的关系。许多实例表明，如果过分依赖语言符号，思维就会陷入呆板的泥坑，趋向于保守。因为语言概念是人类已知的认知成果的结晶，一般地说，它不容易带来思想上新的突破。当语言符号的推理链条无法逾越已知和未知之间的鸿沟时，数学表象就会活跃起来，诱发有助于解题的新的格式的产生。所以，数学表象具有创造性的特征，它是实现创造的关键。
三、数学形象思维方法的形式
数学形象思维方法是人脑对表象信息进行加工，并得出新的数学表象的思维方法，其形式有数学表象的形成、数学表象的分解与组合、联想和想象。
1.数学表象的形成
面对具体的客观事物，在感知觉和经验的作用下，人们在脑中可形成单个的表象，在此基础上，从不同的单象中通过形式结构特征的概括而形成观念性的数学表象。这就是数学表象的形成过程。它是数学形象思维最基本的形式。
例如，茶杯口、圆盘、自行车轮、铁环、钢管截面这些具体事物在我们脑中形成的是不同的单个表象，而由这些单个的表象中概括出来的共同形式特征——“圆形”则是圆形类物体的数学表象。脑中的“圆形”这个数学表象可外化为通常所指的圆的几何图形。
又如一个初中生通过对画圆的学习，也即是说通过动作表征和映象表征学习，发现圆是平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹，于是便形成了“轨迹之圆”的数学表象。而在高一，学生学习了集合之后，则会形成“点集之圆”的数学表象。
一般地，几何学中的各种基本图形，如点、线、面，实质上是人们对客观事物认识后形成的数学表象的外化形式。一个几何图形的表象实为由基本图形表象构成的复合象。
2.数学表象的分解与组合
