数学概念的诞生，往往伴随着数学思想方法的诞生，如“变数”概念的诞生，促进了数和形结合方法，开创了用代数方法和从运动的观点研究几何图形和数量关系的局面，从而，诞生了解析几何，使数学进入辩证法的领域。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”
由于概念的形成需要积累丰富经验，需要对事物进行反复的观察、试验和理论上的探讨。在对事物的本质属性认识不清的情况下，有时会导致不正确的概念的产生，而且这样的概念会阻碍人类认识的深入和发展，在科学史上，这样的例子是不乏的，例如化学史上的“燃素”概念。它是德国医学家和化学家施塔尔在1703年提出的，他认为，“燃素”是一切可燃物质的根本要素，一切与燃烧有关的化学变化都是物体吸收和释放“燃素”的过程。这个错误的概念，曾将近100年之久阻碍人们对燃烧的本质的认识。在1774年，普利斯特列和舍勒分别析出了氧气，但不知道析出的是什么。他们只发现，当一种物体与这种气体燃烧时，这种气体就消失，后来，他们把这样的发现告诉了拉瓦锡，拉瓦锡根据实验事实重新研究了“燃素”的化学学说，终于发现这种气体是一种新的化学元素——氧。物质燃烧时，不是“燃素”分离，而是一种氧化过程。从而纠正了“燃素”概念的说法，使化学获得新的发展。
在数学史上“万物皆数”的说法是古希腊毕达哥拉斯学派提出的一种说法，他们认为“数”的形式就是nm(其中m，n为正整数)，这个概念一直障碍数学的发展。直至他的门徒希帕索斯发现了无理数2时才冲破了这个障碍，使数学得到发展。
3.数学概念的内涵与外延
概念是反映客观事物的本质属性的思维形式，因此，任一概念都反映着某一对象的本质属性。即反映客观内容的特征。另一方面通过概念反映的属性去称谓具有该属性的对象，即反映所研究的对象，这两个方面分别构成概念的内涵和外延，任一概念都是由概念的内涵和外延组成。
概念的内涵是一个概念所反映的对象的本质属性。它是概念在质方面的反映，说明概念所反映的事物的本质。
概念的外延是一个概念所反映的全部对象，它是概念在量方向的反映，说明概念所反映的事物的范围。
例如：“圆”这个概念的内涵是：“平面内，到定点的距离等于定长的点的集合”，它的外延是“一切由‘圆’组成的图形”。
虽然概念的内涵是指客观事物的本质属性，但是内涵是作为人们主观对客观事物的认识一种反映，是人们认识的结果。而客观事物的特有属性或本质属性是客观存在的，是作为认识的对象。因此，严格地说，两者之间是有区别的，只有当内涵真正地揭示所研究对象的本质属性时，它们才完全一致。
人类对客观事物的认识是不断发展的，概念的内涵也是不断发展的，随着概念的发展，内涵反映本质属性更精确，更深刻，更全面。人们在认识过程建立的错误概念逐步地被正确的概念所纠正。科学不断向前发展。
概念的内涵和外延是相互联系的。概念的内涵严格地确定着概念的外延。反之概念的外延也完全确定着概念的内涵。当概念的内涵发生变化时，概念的外延也随之变化，反过来也是一样。它们两者之间的依赖关系，遵循着反变关系(也称反变律)，即当概念的外延缩小，内涵就增加，反之，外延扩大，内涵就减少。
根据反变关系，我们可以通过增加概念的内涵来缩小概念的外延以实现对新概念的认识。如果平行四边形的内涵增加“有一个角是直角”这个属性，就得到矩形的概念，这种认识概念的逻辑方法称为概念的限定，反之可以通过减少概念的内涵来扩大概念的外延，这种逻辑方法称为概念的概括。
运用概念的限定和概括的逻辑方法可以较好地形成概念系统和比较概念的异同，以及掌握概念属性，它常用于对某知识系统的整理。
4.数学概念间的关系
事物是相互联系的，概念也是相互联系的，逻辑方法上只研究概念间的外延关系，依据两个概念的外延之间是否有公共部分或公共部分的多少，来研究其关系，通常分为同一、从属、交叉、对立、矛盾等关系。前三者属相容关系，后两者属不相容关系。
将概念的外延视为集合，则它们的关系用韦恩图表示如下。
韦恩图
依图可知：
(1)相容关系
两个概念的外延至少有一部分相同，则称这两个概念的关系为相容关系。相容关系中，又分为同一关系、从属关系和交叉关系。
①同一关系：概念A和概念B的外延完全相同，则称这两个概念的关系为同一关系，即A=B。
②从属关系：概念B的外延包含于概念A的外延，且仅为其中一部分，则称这两个概念的关系为从属关系，其中A为B的属概念，B为A的种概念。
③交叉关系：概念A的外延和概念B的外延有且仅有一部分相同，则称这两个概念的关系为交叉关系。
(2)不相容关系
两个概念的外延没有公共部分，则称这两个概念的关系为不相容关系。不相容关系中，又分为对立关系和矛盾关系。
①对立关系：属概念C的两个种概念A、B，若A、B的外延没有公共部分，且它们外延之和真包含于C的外延，则称A、B这两个概念为对立关系。
②矛盾关系：属概念C的两个种概念A、B，若A、B的外延没有公共部分，且它的外延之和恰等于C的外延，则称A、B这两个概念的关系为矛盾关系。
在同一体系中，弄清概念间的关系是十分重要的。如：概念A：等腰三角形底边上的高；概念B：等腰三角形底边上的中线。概念A与B的关系是同一关系。故具有A的性质，必具有B的性质，反之亦然。同一关系是实现由概念A性质与概念B性质之间相互转化的理论保证。
5.数学概念的定义
概念是思维的一种形式，要将思维的结果表现出来，进行交流、传递，必须运用词语或符号。在逻辑学上，将这种表现方法称之为给概念下定义，下定义就是用精练的语言、简明的方式，将概念的内涵或外延指出的方法，简言之，定义是揭示概念内涵的逻辑方法。
(1)定义的作用
一般地，揭示概念内涵的定义具有两方面的作用，这就是：每个定义都指出了，第一，具有定义揭示的性质的对象一定属于定义表示概念所反映的对象(判别性)，第二，定义所反映的对象必须具有定义揭示概念的本质属性(性质性)。
如“圆”的定义表示了，平面上到定点等距的点共圆(判断平面上的点共圆)和圆上的点到圆心等距(圆的性质)。
(2)定义的组成
定义由被定义概念、联结项和已定义概念组成。
(3)概念定义的方式
①属加种差定义
方法：由被定义概念最邻近的属与被定义概念在属中区别于其他种的特性联合组成。
公式：属+种差=被定义概念
②发生性定义
方法：由被定义概念最邻近的属与被定义概念的对象形成的特征联合组成。
发生定义是属加种差定义的一种特殊情形。
③关系性定义
方法：由被定义概念最邻近的属与被定义概念在属中与其他对象之间关系联合组成。
关系定义也是属加种差的特殊情形。
④外延性定义
方法：直接指明被定义概念的外延。
⑤归纳定义
方法：对于与自然数有关的被定义概念，用递归的方式给出。
⑥公理化定义
用公理化的形式给出的定义形式。
⑦原始概念不加定义
数学是一个严密的逻辑体系，它必须建立在一些基础性的概念之上，这些概念是不直接加以定义的。其本质属性通过满足某些公理来隐含，或作一种公理性的默认，如几何学中的“点”“直线”“平面”等概念。
在同一体系中，概念与它的定义是不可分的。值得注意的是，概念是一种思维形式，定义是一种词语(名词)或符号的表述，两者之间是有差别的。不是所有的概念都能给出定义。如“集合”“对应”“点”“直线”“平面”等概念是一种理想化抽象思维形式，没有给出定义。
一个概念，从不同角度去揭示其本质属性会产生不同的定义，如自然数的定义有基数理论的定义——任何非空有限集合的基数称为自然数，也有序数理论的Peano给出的公理化定义。如矩形定义为“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”。而“对角线相等的平行四边形是矩形”作为判别定理。
在严格的科学数学体系中，一个概念只能有一个定义，如果给出两个定义，必须证明其等价，但作为教育科目的数学，由于考虑学生的认识水平和年龄生理的特点，在某一个系统中，同一概念可以有两个不同定义，如函数的定义，初中教材与高中教材给出的定义，表达形式不一样，但两者本质是等价的，但也有一些概念的两个定义不等价，如角的定义，在初中平面几何中，定义为：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。另外又给出，由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形也叫做角，显然这两个定义是不等价的，因为前者不包含周角，而后者包含周角。
(4)定义的要求
为使在同一体系中，准确地揭示概念内涵界定概念的外延，下定义必须遵守下列要求：
①定义必须相称；
②定义必须简明；
③定义不能循环：
④定义一般不用否定语形式。
定义必须相称是指，被定义概念外延与使用的已知定义概念外延相同不能过宽或过窄，如“有一组对边平行的四边形是梯形”(定义过宽)；“开不尽的有理数的方根叫做无理数(定义过窄)。
定义必须简明是指下定义的词语必须简明准确，无多余的条件。如“有两条边相等或两个角相等的三角形是等腰三角形”。定义中“或两个角相等”是多余的条件，应删去。
定义不能循环是指不能直接或间接地使用被定义概念来定义被定义概念。如不能将“相互垂直的两条直线所成的角叫做直角”作为定义，因为两条直线相互垂直的定义是“两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直”。
定义一般不用否定语是指在能够确切揭示概念内涵的对象，不用否定语来下定义。这样更有利于研究和建立数学系统，如使用“无理数不是有理数”作为定义，则不能较好的揭示无理数的本质属性。有些概念，其本质属性难以揭示，也只好用否定语来定义，如“平面内不相交的两条直线叫做平行线”。
6.数学概念的划分
概念的内涵借助于定义来揭示，那么概念的外延借助于哪种方法来揭示呢？前面讲述的概念间的关系是揭示外延的一种方法，此外还有借助于概念的划分来揭示概念外延的方法。
概念的划分是把一个属概念，按一定标准分为若干个不相容的种概念的逻辑方法。
划分是一种科学的分类，与通常将某一事物分成若干种情况的说法，在意义上有较大差别。
如学校在职人员分为干部、职员、工人、教师、技术员、教学辅助员、实验员、医生等等，这种分法不是划分。
逻辑学上的划分是一种专有名词。划分必须按一定标准进行的。任何划分包含三部分，它们是划分的母项(属概念)、划分的子项(各个种概念)以及划分的标准。
划分必须遵守一定的原则(要求)：①划分必须按照同一标准(定义所规定)；②划分的各子项间必须是不相容关系(定义所规定)；③划分必须相称，即划分的子项的外延之和必须等于被划分的属概念的外延；④划分不能越级，而被划分的属概念必须是划分的各子概念的最邻近的属概念。
这些要求有着不同的作用，要求①是保证划分的一致性。不能混乱；要求②和③是保证划分“不漏”“不重”；要求④是保证划分层次分明、清晰、合理。
例如，划分：
函数单调函数；奇函数；连续函数。
不符合要求①和②，划分中没有同一标准，且各子项关系不是不相容关系。
又如划分：
三角形等边三角形；不等边三角形。
不符合要求③，其中只有两边相等的三角形被漏掉。
又如划分：
整式单项式；多项式。
是不正确的，整式也就是多项式，这划分不符合要求②，多项式包含了单项式。即多项式与单项式有重复部分。
值得注意的是，在计算问题或讨论问题分单项式和多项式来运算和讨论只是一种方便于学生接受的做法。
又如划分：
四边形平行四边形；直角梯形；非直角梯形；没有一组对边平行的四边形。
不符合要求④，直角梯形最邻近的属是梯形，而不是四边形，按划分的要求，四边形应划分为：
四边形平行四边形；梯形；没有一组对边平行的四边形。
这样的划分是按照标准“四边形的每组对边的平行关系”，其中没有一组对边平行为一类，只有一组对边平行为一类，有两组对边平行为一类，共三类，故划分为3个子项。
科学的划分具有两方面的作用。
(1)运用划分(分类)对各类进行讨论，达到解决问题的简化和深入的目的。
在数学中，分类讨论是一种常用的方法，它的理论基础是划分。只有正确划分，分类讨论才有保证，否则讨论会产生混乱。分类讨论，可以把解决问题的难点分散，各个击破，或者化无限为有限，实现问题的转化。
(2)运用概念分类，能清晰地构成概念系统，纲举目张，便于理解和复习整理。
如将数系划分为：
复数实数有理数整数正整数（自然数）；0；负整数。分数。无理数正无理数；负无理数。虚数纯虚数；实数不为0的虚数。
二、数学的判断
1.判断和命题
判断同概念一样也是思维的一种形式，它反映了概念与概念间的联系。判断表达人们对思维对象具有某种属性或不具有某种属性的断定。
判断是对思维对象有所断定的思维形式。
判断必须通过语言或符号来表达与用词语表达概念不同，判断的表达形式是语句。我们将表达判断的语句叫做命题。
命题是对思维对象作出肯定或否定的语句。数学命题是表达关于数学对象的判断的语句。
例如：
①两底角相等的三角形是等腰三角形；
②一个公式不是代数数；
③3≥2。
这3个语句都是判断，它们都表达了对思维对象的性质或关系作出了肯定或否定。
命题是一种特殊表达形式的语句，“有所断定”是判断的基本特征，无所断定的语句不是判断。如“4是素数吗？”不是判断，即不是命题，因为它既没有肯定什么，也没有否定什么。
命题具有真、假意义。如“凡直角都相等”是真的，“正三角形是中心对称图形”是假的，因此可知，命题是具有真假意义的语句，具有真意义的命题称为真命题，反之为假命题。
如同概念与定义一样，判断与命题是有差别的，判断是思维形式，命题是表达的语句，但当判断用语句表达时，判断也就是命题了，因此，研究判断问题与研究命题相同，两者不作区别。
2.判断的种类
在逻辑学中，判断可按不同的标准进行分类。
按判断的量分类，有全称判断，特称判断。
按判断的质分类，有肯定判断，否定判断。
按判断的关系分类，有直言判断，假言判断，选言判断。
按质与量来分，共有4类，见下图：
判断的分类
图中阴影部分表示判定部分。
