然而俄国数学家罗巴切大斯基的非欧几何论文，已经在这之前发表了。
就在波耶论文发表的这一年，俄国数学家罗巴切夫斯基因为车祸，几乎成了一个半残废，第二年从军队退役，回到老家。
在这以后，波耶一直过着穷困潦倒的生活。就是在这样艰难困苦的生活中，他仍然从事非欧几何的研究。
1860年，波耶逝世。他的非欧几何没有得到世人的承认。
就在波耶潜心研究第5公设，并发现非欧几何时，比他大10岁的俄国数学家罗巴切夫斯基也大体同时发现了非欧几何。
罗巴切夫斯基于1792年出生在俄国的下诺夫哥罗德，就是现在的高尔基市。他3岁丧父，由善良的母亲把他一手拉扯长大。
由于家境贫寒，生活都难以维持，母亲无法把儿子送去读书，后来在政府的救济下，罗巴切夫斯基才转为公费上学。
1808年，罗巴切夫斯基进入喀山大学学习。他更加发奋读书，努力学习。
他的思想活跃，具有生动活泼的气质，敢于主持正义，见义勇为，并且关心他人，助人为乐。
罗巴切夫斯基有坚强的意志，惊人的毅力，能勤奋地学习，不断地探索，又有良好的学习方法，因此他的各门功课都是优秀，特别是他的数学才能和独创精神赢得了全校师生的赞扬，为他后来攀登数学高峰奠定了坚实的基础。
1811年，罗巴切夫斯基大学毕业，因成绩突出而留在喀山大学任教。由于他在数学上的成就，22岁时就当了喀山大学的副教授，24岁晋升为教授。
罗巴切夫斯基在1816年出任教授后，也加入了试证第5公设的行列，通过几年的努力，他失败了。但是，在失败中，罗巴切夫斯基对第5公设产生了怀疑，并进一步认识到第5公设是不可证明的。
在第5公设不可证明的思想基础上，罗巴切夫斯基开始探索一种新的几何学体系。1823年，他在一份教学提纲中提出建立新几何体系的可能性，并把它上交给校方。
校长马格尼斯基认为，罗马切夫斯基的设想是狂妄的，彼得堡科学院认为他的学说是邪说。
在困难和挫折面前，罗巴切夫斯基没有像其他数学家那样失败后就放弃了对第5公设的研究，他的最大特点是对于大家难以解决的问题敢于提出新见解，敢于碰硬，敢于创新，勇往直前。
罗巴切夫斯基对新的几何学体系进行不断的理论探索。他提出一个与第5公设相反的假设：过直线外一点至少可以作两条直线和已知道线不相交。
这是一个与第5公设相矛盾的假设，按照这一假设应当推出与欧氏几何相矛盾的结果。但是并没有引出矛盾，而是推出了一个新的几何传统，逻辑严密。罗巴切夫斯基把这种抽象的新的几何系统最初称为“抽象几何学”。
1826年2月11日，罗巴切夫斯基在喀山大学的一次学术会议上，宣读了他的不朽论文——《几何原理的扼要简释及平行线定理的一个严格证明》。
在这篇论文里，罗巴切夫斯基提出了“过直线外一点至少可以作两条直线和已知直线不相交”的“罗氏公设”，与欧氏几何中前四条公设相结合，推出了逻辑上毫无矛盾的非欧几何，或叫双曲几何。
罗巴切夫斯基宣读论文的这一天，后来被定为非欧几何学的诞生日。
但在当时，参加学术会议的委员们根本不相信罗巴切夫斯基的学说，否定它的价值，《喀山大学学报》也拒绝发表。
罗巴切夫斯基认为：“任何科学赖以开始的起初概念是由感觉获得的，而由先天获得的是不应该完全相信的。”他坚信自己的思想是正确的，并不因为受到攻击和谩骂而退让，相反，为了维护真理而不屈不挠地坚持斗争，继续发展自己的思想和学说。
这时候，喀山大学的政治形势发生了变化。1825年老沙皇亚历山大一世死后，惯于献媚的马格尼斯基向王太子康斯坦丁大献殷勤，而贬低尼古拉。
但是他根本没有想到尼古拉继承了王位，于是被撤职，压制和打击罗巴切夫斯基就是他的罪行之一。
罗巴切夫斯基升任物理数学系主任，1827年又担任喀山大学校长。
罗巴切夫斯基就是在喀山大学这样特定的政治形势下，得以在该校的学术会议上宣读了非欧几何的论文，让世人知晓，而匈牙利的波耶作为一个服役军官，虽经种种努力和斗争，都无力使他的论文尽快问世。
罗巴切夫斯基是一位十分大胆的数学家、管理学家和教育家，对旧的传统势力和封建思想不卑躬屈膝，敢于抵制各种不正之风。
他在担任物理数学系主任和大学校长期间，对上级教育部门下达的指示有时不听，在他看来，教育部门的指示有时违反教育规律，不符合实际情况，不应该盲目执行。对违反客观规律和学校声誉的指示和意见，不管官职多大，一律抵制和反对，不怕丢官，不怕坐牢。
一些不明真相受欺骗的人，对他的正义行为经常进行诬蔑和诽谤，甚至嘲笑和谩骂，但他从不因为这些舆论而放弃自己的观点和理想，从不放弃对科学的真诚，对真理的追求。
罗巴切夫斯基在从事教育行政事务活动之余，继续研究他的新几何体系。1829年，他写成了《论几何学的定理》的论文，终于在1829年底至1830年初的一期《喀山大学学报》上发表了。
罗巴切夫斯基的不朽功绩，在于他向人类几千年来确信不疑的欧氏几何体系进行了挑战，推翻了欧氏几何是唯一可能的空间形式的说法。非欧几何的产生，改变了欧氏几何中的平行公理，是几何学的重要组成部分，对整个数学的发展起了很大的促进作用。
非欧几何是人类空间认识史上的一次质的飞跃，它后来在相对论中得到了论证，并在天体物理学和原子物理学中得到应用。
然而在非欧几何创立之初，它备受冷落，即使在波耶、罗巴切夫斯基和高斯的故乡匈牙利、俄国和德国，同样没有引起人们的重视。
到德国杰出数学家黎曼创立了一种更为广泛的非欧几何时，非欧几何才逐渐为人们所瞩目。
康托尔的集合论
科学的道路是崎岖不平的，创立新思想的人，大多受到传统势力的反对、打击和迫害，康托尔创建的集合论，是又一个典型的例子。
1845年3月3日，康托尔出生在俄国彼得堡一个具有犹太血统的家庭，11岁时，与父母移居德国法兰克福。
康托尔从小就学习勤奋，喜欢独立思考问题，并对数学产生强烈的兴趣，成为一名数学家是他的远大志向。
1863年，康托尔考入德国着名的柏林大学，按照他父亲的主张学习工程学。当时处于科学研究旺盛时期的数学大师魏尔斯特拉斯，正在柏林大学任教，他对康托尔影响很大。
康托尔越来越不喜欢工程学，在征得父亲的同意后，不久转为学习纯数学。
1867年，康托尔获得数学博士学位。他的数学论文没有什么独创性的见解，为此产生了是否授予他博士学位的争论。以严厉着称的克罗内克教授提出反对意见；而魏尔斯特拉斯等教授认为，康托尔的论文写得是很出色的，观点鲜明，证据充分，虽然没有创新，但还是基本符合博士论文的要求的。
为了激励青年人勇攀科学高峰，康托尔最终还是得到了博士学位。
魏尔斯特拉斯把这一情况告诉了康托尔，并勉励他要刻苦钻研，不断进取，多出成果，为母校争光。
康托尔非常激动，决心为数学发展作出贡献，报答母亲的关怀。
1869年，康托尔担任哈勒大学的讲师。
1872年，康托尔在研究高斯的论着时，将其数论中的一个结论，外推到适合无穷集合的情形，开始了他的集合论的研究。
我们知道，数字1的后面是2，2的后面是3，3的后面是4……那么最后边的是什么呢？数学家称之为“无穷”，从1到“无穷”组成的集体，被数学家称为“无穷集合”。
从古希腊以来，人们在讨论集合的时候，有很多问题迷惑不解。
伟大的科学家伽利略也与无穷集合打过交道，提出过一个悖论：一方面，整数和偶数可以一一对位，从而认为它们同样大；另一方面，偶数又是整数的一部分，这样一来就得出了部分可以等于整体的结论。
伽利略最终以“不可理解”而放弃了对这个问题的研究。
在19世纪以前的科学家，对无穷集合这个无底的深渊，绝大多数都是绕着走、躲开它。而康托尔勇敢地对这个深渊进行探秘。
康托尔废寝忘食地进行研究，首先熟悉一下这一领域的历史发展状况，看前人的思路是怎样的，研究不下去的问题是什么，为什么研究不下去。然后，根据自己的研究，解决这些问题，并进一步发现新问题，解决新问题。
康托尔的数学思想是有创造性的，提出了一一对应的概念，从而得出了比较无穷集合大小的方法：
比如，是整数集合大还是偶数集合大？对这个问题，康托尔采取配对的方法，把每一个整数和每一个偶数配成一一对应：
1，2，3，4，5，2，4，6，8，10……这样的排列和配对将永远进行下去，以至无穷。
康托尔的配对方法不是随意的，而是要所有的元素都恰好配对，如果能找到这种配对，那么这两个集合就有相同的“势”，或称这两个集合是等势的。
从上面的排列和配对来看，整数集合的每一个元素正好对应偶数集合的另一个元素，因此，整数集合和偶数集合是等势的。两者一样大。
于是，康托尔得出结论：如果在两个集合的元素之间可以建立某种一对一的对应关系，则这两个集合就定义为等势的，也就是大小一样的。
这是测量有穷集合和无穷集合大小的一把“尺子”。
无穷集合都是等势的吗？不一定。康托尔证明了，一个正方形面上的点的集合，并不比正方形一边上的点的集合有更高的势；一条线段上的点的集合，比自然数集合有更高的势。
康托尔研究的结果，是非常有趣和怪异的。这使他感到困惑，他说：“我得到了它的结论，但我不敢相信它。”
难道是这个结论错了吗？
康托尔检查了每一步骤，反复运算，无论是研究过程还是研究方法，都是正确的。
摩托尔深信不疑。
1874年，康托尔发表了无穷集合理论的第一篇论文，标志了集合论的诞生。
对这一篇论文，康托尔是忐忑不安的，自己怪异的结论能使数学界接受吗？同时，他也认为新生事物的产生不是一帆风顺的，过一段时间，自然会得到人们的承认，阿贝尔和伽罗华的理论就是一个例证。
然而，论文发表后，并没有引起普遍的斥责和打击。
康托尔信心倍增，1878年，又发表了第二篇关于集合论的论文，数学界仍然风平浪静。
紧接着，康托尔发表了一系列论文。
在论文中，他引进了“可列”一词，把凡能与正整数构成一一对应的任何集合都叫可列集合。他还证明了有理数集合是可列的，所有代数数全体构成的集合也是可列的，而实数集合则是不可列的。
康托尔还提出了“超穷基数”和“超穷序数”的概念，关于它们的理论，更是一大创举。
随着康托尔发表的集合论的论文不断增多，他立即遭到了一些人的攻击，有人说他“信口开河”，有人说他“无病呻吟”。渐渐地讽刺、嘲笑、围攻接踵而来，几乎压得康托尔透不过气来。
当时的权威克罗内克，对康托尔进行了严厉的批评和打击，更带动了一大批人向康托尔射去了讨伐之箭。
在巨大的压力和打击下，1884年，康托尔得了精神分裂症，并发展到精神崩溃，成了一个疯子，每天都自言自语地说：“我是对的！”“你们是错的。”
康托尔被送进了医院。
真理毕竟是真理。康托尔的集合论得到了一些数学家的支持，着名的希尔伯特说过：“没有人能把我们从康托尔为我们创建的乐园中赶出去！”
1897年，康托尔的集合论在第一次国际数学家会议上，最终得到了承认。
康托尔的集合论对现代数学的结构产生了重大影响，它在数学的不少分支得到了应用。
一代数学巨人康托尔于1918年1月6日逝世。
