从上面案例可以看出，在解题活动中，有些同学首先盲目迷信于教材或参考书上的标准答案，答案对了，就认为行了；若自己的答案与其不相同，就认为自己肯定是错了，不会提出异议（有一部分同学称没有时间）；其次，很少对解题进行回顾、检验和反思，既使做了，也只停留在”结论对错”上，不知道进行解题过程的分析与评估，验算的策略也不太讲究，这样才导致案例中的对解题结论产生不正确的认识。
(2)建议改进的方法和措施
针对这一种情况，笔者认为：教师应该首先选取适当措施和方法，拉近师生关系，消除有些同学对数学的焦虑感；其次教师应该洞悉学生的课业情况，加强备课的针对性，提高课堂效率，促进数学交流；第三，我们应在平常课堂教学活动和课后辅导中，自始至终支持和鼓励学生在解题活动中勇于发表自己的不同看法和见解，敢于并且善于向老师、教材、各类参考书及“权威”提出质疑，培养批判和创新的精神；另外，我们也应在同学当中创设一种平等、和谐的探究气氛；当然，“坚冰并非一夜之间能够打破”，而且这也不是数学一门学科的专职，不仅需要全体老师和同学以及各方面的积极配合和参与，更需要社会大环境的良好氛围。
案例7三角函数图象题的难点
洪学娟
在学习三角函数图象和性质过程中，由于y=Asin(ωx+φ)的图象和性质变化多端，是教学的难点，特别是在求y=Asin(ωx+φ)类型的单调区间过程中，根据我以往的教学经验，学生常常会犯一种常见错误：当自变量的系数为负时，求单调区间出错，为此我在课堂上设计了以下几道例题：
例1求y=3sin(2x-π4)的单调递增区间。
解：令t=2x-π4，则求y=3sint的单调递增区间
即所求区间为：［kπ-π8，kπ+3π8］(k∈Z)
点评：先通过换元，由复杂的复合函数转化为简单的正弦函数求区间。学生听过后，很兴奋，认为y=Asin(ωx+φ)型的区间求法很简单，都跃跃欲试于是我举出第二道例题
例2求y=3sin(π4-2x)的单调递增区间。
我先让学生自己做，很多学生积极动手，并很快得出结论，我先观察学生的不同做法，并让几位同学到黑板上演示他们的做法，发现主要有两种做法：
解法一：令t=π4-2x，则求y=3sint的单调递增区间
即所求区间为：［-kπ-π8，-kπ+3π8］(k∈Z)
解法二：先将函数变为y=-3sin(2x-π4)，再令t=2x-π4，则求y=-3sint的单调递减区间，即所求区间为［kπ+3π8，kπ+7π8］(k∈Z)
面对两种解法，同学们都犹豫了，不知道哪种方法对，大部分同学认为两种方法都对。于是我开始分析解法一的错误原因：t=π4-2x是一个单调减函数，在与y=3sint复合之后y=3sint的减区间才是y=3sin(π4-2x)的递增区间。紧接着我又让学生做例3：
例3求y=2cos(π6-3x)的单调区间。
学生很快吸取了例2的教训，并很快求出解。
总结：上面三道例题是我一节课中的一部分，通过挫折训练，让学生进一步体会复合函数求单调区间的方法，为避免出错，在求这类题型的单调区间过程中，统一将系数变为正数再求解。
高中数学中有很多知识点是学生较难掌握的，如何化简为繁，化难为易，是学生更好、更准确地掌握，需要我们教师多总结，不断积累好的解题思路，从而真正帮助学生减轻学习负担。
案例8能自己发现吗
张谦谦
常听一些老师说：我的学生基础不好，思维不活。能力不强。根源在哪里？是不是可以从老师身上找病因呢？
你能自己发现吗？这样即培养了你探索的能力，又让你体会到了成功的愉悦。
课题利用不等式求最值
1．创设情景、布疑激趣【电脑投影】
教师：两例题在天平左右盘上，天平保持平衡，意味着什么？重量相等？最小值相等？方法相等？还是……
评注（这样的情景设置，学生带着一份好奇，一份疑问，愉快地去研究、去探索，心情舒畅，乐于学习。）
2．根据已有知识对问题的原因提出猜想，组织讨论
热身引例：例1：已知a、b、x、y∈R+且ax+by=1，求x+y的最小值。
教师点拨：观察式子的结构特征和数据特征，发现其内在的联系，灵活地探索、创造应用条件，使之符合重要不等式的基本形式。
学生1：略解：x+y=(x+y)·1=(x+y)(ax+by)=a+b+ayx+bxy≥a+b+2ayx·bxy=(a+b)2
学生（众）：激烈地讨论，仔细地分析，天平平衡是否意味着方法相等？两例比较，例2缺某某＋某某＝1的条件，是否可以创造条件呢？发现分母相加正好为1。
教师：大家讨论得很激烈，那么谁能提出思考方案呢？
学生积极举手。
学生2：思考方法一：令y=1-x则x+y=1（创造条件）
那么a2x+b21-x=a2x+b2y=1·(a2x+b2y)
=(x+y)·(a2x+b2y)=a2+xb2y+ya2x+b2
≥a2+b2+2a2b2=(a+b)2
教师：好！是否还有其他思路？
学生3：思考方法二：解：∵x+(1-x)=1（创造条件）
∴y=a2x+b21-x
=\[x+(1-x)\]·(a2x+b21-x)
=a2+b2+a2(1-x)x+b2x1-x
≥a2+b2+a2(1-x)x·b2x1-x
=a2+b2+2ab=(a+b)2
当且仅当a2(1-x)x=b2x1-x即x=aa+b时取等号。
3．交流合作，变式递进【电脑投影】
学生（众）：展开讨论，方法一样吗？两题比较，已知与所求类似，但形式又有些不同。
教师点拨：例3所求分母相加为多少？
学生(几乎是异口同声地)：“1”！
4．让学生去发现、探讨上式的规律，寻找解法
学生3（循律渐进）：
略解：令x=1-a，y=1-b即x+y=1
则11-a+11-b=1x+1y=(x+y)(1x+1y)
=1+xy+yx+1
≥2+2xy·yx=4
教师：你自己能否总结解题规律呢？
学生3：此题对条件的运用有独到之处，通过配凑使之符合基本不等式的外部结构，进而可以顺利的解决问题。
5．让学生在猜想中交流
学生4（猜想1）：那么既然a+b=1，所求式子中又有“1”，是否可以把“1”用a+b=1代呢？
学生5（猜想2）：那么既然a+b=1，sin2α+cos2α也等于“1”，是否可以用三角代换呢？
教师：同学们是否能把猜想变为现实呢？使得柳暗花明又一村！
评注（教师在精心呵护着正确思维火花）
学生（众）：讨论激烈，寻求答案，争先恐后，要求板演。
评注（交流过程无疑是开放的，它要求学生体验“发现”、“处理信息能力”、“小心论证”的数学思想方法，帮助学生认知到位）
6．标新立异，自圆其说，掌握规律。
教师：我们学了规律就要用规律，你们能否根据规律自拟新题呢？
学生4：已知a，b∈R+，且1a+9b=1，求a+b的最小值。
教师：非常好！
教师图示：xa+yb与1a+9b=1之间有什么关系？学生4题目是否可以和解析几何巧妙结合来解答？
评注：（给学生制造疑问，培养创新视角。在教师的指引下鼓励学生积极地发现问题，提出问题，思考问题。）
教师从知识的权威者变为学生知识学习的参与者，引导者和指导者。将学习的重心从过分强调知识的传承和积累向知识的探究寻找规律转化。能自己发现吗？使学生由被动接受知识变为主动获取知识。
案例9几个交点
沈恒
直线与圆锥曲线相交的问题一直是高考的热点之一，有关直线和圆锥曲线一个公共点的问题与直线和圆锥曲线相切的问题常常令学生难以捉摸。为此，我觉得在课堂教学的时候，应该在这一问题上讲透、讲明，把这个问题的规律进行条理化的点拨。
【问题一】：直线与圆一个公共点的问题
例1：x+y+m=0与x2+y2=4相交仅有一个公共点，求m
解：由圆心到直线的距离等于半径，得：d=|m|2=2，所以m=±22
【点拨】：直线与圆相交仅有一个公共点，则就是直线与圆的相切问题。抓住圆心到直线的距离等于半径是解题的关键。
【问题二】：直线与椭圆一个公共点的问题
例2：求通过点(2，2)与椭圆x24+y2=1有一个公共点的直线方程
解：设直线斜率为k，则直线方程为：y-2=k(x-2)，联立椭圆方程，得：
x24+y2=1y-2=k(x-2)，得：(4k2+1)x2+16k(1-k)x+(16k2-32k+12)=0，
令△=0，得k=38，结合图像，可知不存在也符合
所以直线l方程为：y=38x+54或x=2
【点拨】：直线与椭圆仅有一个公共点的问题，也即是相切的问题。抓住直线方程与椭圆方程联立△=0这个关键。
【问题三】：直线与双曲线一个公共点的问题
例3：以双曲线x2-y2=1为例，把平面内的点分为以下几类：
①A类点（只有一个，即原点O），此时过点与双曲线交于一个公共点的直线为0条。
由y=kx
x2-y2=1，得：x2(1-k2)=1
当k=±1时，显然没有这样的直线成立；当k≠±1时，则x必有两解。
所以，过(0，0)点没有与双曲线交于一个公共点的直线。
②B类点（渐近线上的点），由于点的特殊性，位于其中一条渐近线上，此时过此点与双曲线交于一个公共点的直线有两条。一条恰平行与另一条渐近线，还有一条是过该点与双曲线相切的切线。以(1，1)点为例，
由y-1=k(x-1)
x2-y2=1，得：x2(1-k2)+(2k2-2k)x+(-k2+2k-2)=0
当k=±1时，检验得：k=-1；当k≠±1，令△=0，得：
△=(2k2-2k)2-4(1-k2)(-k2+2k-2)=0，解得，故k不存在
所以，过(1，1)点有两条直线与双曲线交于一个公共点。
③C类点（双曲线上的点），若点位于双曲线上时，过该点与双曲线交于一个公共点的直线有三条。其中两条分别平行于两条渐进线，另有一条恰为过该点的切线。以双曲线上说明，过点显然可以作两条与渐近线平行的直线。当k≠±1时，得：y=k(x-1)
x2-y2=1，化简得：x2(1-k2)+2kx+(-k2-1)=0，令△=0，得k无解，结合图形可知k不存在时，有切线与双曲线有一个公共点。
④D类点（包含在双曲线内部的点），这个时候，过此类点显然是不可能做双曲线的切线的，故此时仅可以做两条与渐近线平行的直线，所以过该点与双曲线交于一个公共点的直线有两条。
⑤E类点（在双曲线的外部，且不同于原点和渐近线上的点），过此类点作与双曲线交于一个公共点的直线有四条。其中两条分别平行于两条渐进线，另可以做两条切线。证明同上。
【点拨】：过定点的直线与双曲线相交仅有一个公共点问题是此类型问题中最繁琐的，因为双曲线渐近线的存在，故考虑要更加全面，从这里同学可以清楚知道相切并不完全同于有且仅有一个交点。合理判别点的位置，抓住△=0和斜率等于渐近线斜率这两个关键。
【问题四】：直线与抛物线一个公共点的问题
例4：以抛物线y=x2为例，同样，把点分为以下三类：
