在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如Ax+Bx+C=0（其中A、B不同时为0）的二元一次方程。
启发：任何一条直线都有这种形式的方程。你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？
问题2：任何形如Ax+Bx+C=0（其中A、B不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？
不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面。这是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论。那么如何研究呢？
师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：
回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程Ax+Bx+C=0（其中A、B不同时为0）系数B是否为0恰好对应斜率k是否存在，即
（1）当B≠0时，方程可化为y=-ABx-CB
这是表示斜率为-AB、在y轴上的截距为-CB的直线。
（2）当B=0时，由于A、B不同时为0，必有A≠0，方程可化为
x=-CA
这表示一条与x轴垂直的直线。
因此，得到结论：
在平面直角坐标系中，任何形如Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线。
为方便，我们把Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的。
动画演示
演示“直线各参数”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线。
至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系。
（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略
【习题精选】
1．（选择题）直线l的方程为y=xtgα+3，则（）
（A）α一定是倾斜角（B）α一定不是倾斜角
（C）π-α一定是倾斜角（D）α不一定是倾斜角
2．如果直线y=ax+2与直线y=3x+b关于直线对称，则（）。
（A）a=13，b=6（B）a=13，b=-6
（C）a=3，b=-2（D）a=3，b=6
3．直线ax+by-1=0的倾斜角是直线x-3y+4=0的倾斜角的2倍，且它在y轴上的截距是1，则a=，b=。
4．若3x1-4y1=2，3x2-4y2=2，则经过A(x1，y1)和B(x2，y2)的直线l的方程为。
5．直线l过点P（8，6），且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程。
6．已知y1=f(x)代表过点（0，－2）的一条直线，y2=g(x)代表过点（0，0）的一条直线，又f［(x)］=g［(x)］=3x-2。求这两条直线的一般方程。
7．求过点P（1，2）且在两坐标轴上截距和为0的直线的方程。
8．直线l的斜率为14，且与两坐标轴围成的三角形面积是8，求直线l的方程。
9．设x+2y=1，求x2+y2的最小值；若x≥0y≥0，求x2+y2的最大值。
答案：
1．D；2．A；3．a=-34，b＝1；4．3x-4y-2=0；5．x-y-2=0或x+y-14=0；6．3x-y-2=0，x-y=0；7．y=2x或x-y+1=0；8．x-4y+8=0或x-4y-8=0；9．15，1。
【典型例题】
例1直线l过点P（－1，3），倾斜角的正弦是45，求直线l的方程。
分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解。
解：因为倾斜角α的范围是：0≤α＜π
又由题意：sinα=45，
所以：tgα=±43，
直线过点P（－1，3），由直线的点斜式方程得到：y-3=±43（x+1）
即：4x-3y+13=0或4x+3y-5=0。
说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角α的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个。
例2求经过两点A（2，m）和B（n，3）的直线方程。
分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式。在解答中如果选用点斜式，只涉及到n与2的分类；如果选用两点式，还要涉及m与3的分类。
解：法一：利用直线的两点式方程
∵直线过两点A（2，m）和B（n，3）
（1）当m=3时，点A的坐标是A（2，3），与点B（n，3）的纵坐标相等，则直线AB的方程是y=3；
（2）当n=2时，点B的坐标是B（2，3），与点A（2，m）的横坐标相等，则直线AB的方程是x=2；
（3）当m≠3，n≠2时，由直线的两点式方程y-y1y2-y1=x-x1x2-x1得：
y-m3-m=x-2n-2
法二：利用直线的点斜式方程
（1）当n=2时，点A，B的横坐标相同，直线AB垂直与x轴，则直线AB的x=2；
（2）当n≠2时，过点A，B的直线的斜率是k=3-mn-2，
又∵过点A（2，m）
∴由直线的点斜式方程y-y1=k(x-x1)得过点A，B的直线的方程是：
y-m=3-mn-2（x-2）
说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法。
例3把直线方程Ax+By+c=0（ABC≠0）化成斜截式，化成截距式。
分析：因为ABC≠0，即A≠0，B≠0，C≠0，按斜截式、截距式的形式要求变形即可。
解：斜截式为y=-ABx-CB，截距式为x-CA+Y-CB＝1
说明：此题考查的是直线方程的两种特殊形式：斜截式和截距式。
例4过点P（3，0）作直线l，使它被两相交直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段AB恰好被P点平分，求直线l的方程。
解：设A点坐标（x1，y1）
线段AB的中点为P（3，0）
∴由中点公式，可设B点坐标为(6-x1，-y1)
∵A，B两点分别在直线2x-y-2=0和x+y+3=0上
∴2x1-y1-2=0(6-x1)+(-y1)+3=0
解得x1=113，y1=163
由两点式可得直线l的方程为：8x-y-24=0
例5一根铁棒在20°时，长10.4025米，在40°时，长10.4050米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程，求这跟铁棒在25°时的长度。
解：这条直线经过两点（20，10.4025）和（20，10.4050），根据直线的两点式方程，得：l-10.402510.4050-10.4025＝t-2040-20
即l＝0.0025×t20＋10.4000
当t＝25°时l＝0.0025×2520＋10.4000＝0.0031＋10.4000＝10.4031
即当t＝25°时，铁棒长为10.4031米。
说明：直线方程在实际中应用非常广泛。
例6已知3a+2b=5，其中a、b是实常数，求证：直线ax+by-10=0必过一定点。
分析：观察条件与直线方程的相似之处，可把条件变形为6a+4b-10=0，可知x=6，y=4即为方程ax+by-10=0的一组解，所以直线ax+by-10=0过定点（6，4）。此问题属于直线系过定点问题，此类问题的彻底解决宜待学完两直线位置之后较好，当然现在也可以研究，并且也有一般方法。
例7直线l过点M（2，1），且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B。点O是坐标原点，（1）求当△ABO面积最小时直线l的方程；（2）当|MA||MB|最小时，求直线l的方程。
解：（1）设|OA|=a，|OB|=b，△ABO的面积为s，则
s=12ab
并且直线l的截距式方程是
xa＋yb＝1
由直线通过点（2，1），得
2a＋1b＝1
所以：a2＝11-1b＝bb-1
因为A点和B点在x轴、y轴的正半轴上，所以上式右端的分母b-1＞0。由此得：
s=a2×b=b1-b×b
=b2-1+1b-1=b+1+1b-1
=b-1+1b-1+2
≥2+2=4
当且仅当b-1=1b-1，即b=2时，面积s取最小值4，
这时a=4，直线的方程是：x4＋y2＝1
即：x+2y-4=0
（2）设∠BAO=θ，则|MA|＝1sinθ，|MB|＝2cosθ，如图2，
所以|MA||MB|＝1sinθ2cosθ＝4sin2θ
当θ＝45°时|MA||MB|有最小值4，此时k=1，直线l的方程为x+y-3=0。
说明：此题与不等式、三角联系紧密，解法很多，有利于培养学生发散思维，综合能力和灵活处理问题能力。动画素材中有关于此题的几何画板演示。
