◎时宪一
明之大统术，本于元之授时。成化以后，交食往往不验。万历末，徐光启、李之藻等译西人之书为新法，推交食、凌犯皆密合，然未及施用。世祖定鼎以后，始绌明之旧历，依新法推算，即承用二百六十馀年之时宪术也。光启等龂龂辨论，当时格而不行，乃为新朝改宪之资，岂非天意哉！圣祖邃于历学，定用均轮法以齐七政，以康熙甲子为元。雍正中，从监臣之请，推步改檈圆法，以雍正癸卯为元。道光中，监臣以交食分秒不合，据实测之数损益原用数，以道光甲午为元。自康熙至于道光，推步之术凡三改，而道光甲午元历仅有恒星表。至于推日月交食、步五星，均未及成书云。西人汤若望，与徐光启共译新法者也，以四十二事证西人之密、中术之疏，畴人子弟翕然信之。宣城人梅文鼎研精天算，由授时以溯三统、四分以来诸家之术，又博考九执、回回术，而折衷于新法，皆洞其原本，究其异同，卒以绩学受知圣祖，于是为推步之学者，始知中、西之学之一贯，不至眩晃于新法矣。与汤若望同时入中国者为穆尼阁，传其学于淄川薛凤祚，而吴江人王锡阐自创新法，用以推日月食，不爽秒忽，两家之学，皆不列于台官，然其精密，或为台臣所不及焉。今为时宪志，详考其推步、七政、四馀、根理、法数著于篇，诸家论说有裨数理者，亦撮其大要载之。明大统术、回回术，康熙初用之，以详于明史，不具论。
推步因革
顺治元年六月，汤若望言：“臣于明崇祯二年来京，曾依西洋新法釐订旧历，今将新法所推本年八月初一日日食，京师及各省所见食限分秒，并起复方位，图象进呈，乞届期遣官测验。”从之。七月，若望又推天象进呈。是月礼部言：“钦天监改用新法，推注已成，请易新名，颁行天下。”睿亲王言：“宜名‘时宪’，以称朝廷宪天乿民至意。”从之。八月丙辰朔午时，日食二分四十八秒，大学士冯铨，同若望赴观象台测验覆奏，惟新法一一菂合，大统、回回二历俱差时刻，敕：“旧法岁久自差，非官生推算之误，新法既密合天行，监局宜学习勿怠玩。”十月，颁顺治二年时宪书。若望又言：“敬授人时，全以节气交宫与太阳出入昼刻为重。今节气之日时刻分与太阳出入昼夜时刻，俱照道里远近推算，请刊入时宪书。”从之。十一月，以若望掌钦天监事。若望等言：“臣等按新法推算月食时刻分秒，复定每年进呈书目，删其複重，以免混淆。”二年六月，若望等言：“旧法推算本年十二月己卯朔辰时日食三分强，回回科算见食一分弱。依新法推之，止应食半分强，且在日出之前，地平上不见，请临期遣官测验。”从之。至期天阴雨，推验事遂辍。十一月，若望以明大学士徐光启所译崇祯历书改名新法历书进呈，上命发监局官生肄习，仍宣付史馆，加若望太常寺卿衔。十年，赐若望通玄教师，以奖其勤劳。
若望之法，以天聪戊辰为元。分周天为三百六十度。太阳一日平行五十九分八秒十九微四十九纤三十六芒，最高一年行四十五秒，戊辰年平行距冬至五十三分三十五秒三十九微，最高距冬至五度五十九分五十九秒。太阴一日平行一十三度一十分三十五秒一微，自行一十三度三分五十三秒五十六微，正交行三分一十秒，月孛行六分四十一秒，戊辰年平行距冬至六宫一度五十分五十四秒四十六微，自行距冬至六宫二十五度三十二分一十五秒三十四微，正交行距冬至一宫一十四秒，月孛行距冬至十一宫六度一十九分。土星诸行应平行距冬至为十一宫十八度五十一分五十一秒，本年最高行距冬至为九宫八度五十七分五十九秒，平行距最高即引数，为二宫九度五十三分五十二秒，正交行距冬至为六宫七度九分八秒。一平年平行为十二度十三分三十一秒，最高行一分二十秒十二微，以最高行减平行，得十二度十二分十五秒，乃一年之引数也。一闰年平行为十二度十五分三十五秒，引数为十二度十四分十五秒。正交行一年为四十二秒。木星诸行应平行距冬至为八宫二十八度八分三十一秒，本天最高行为十一宫二十七度十一分十五秒，平行距最高即引数，为九宫初度五十七分十六秒，正交行为六宫二十四度四十一分五十二秒。一平年距冬至平行为一宫零二十分三十二秒，最高行为五十七秒五十二微，两数相减，得一宫零十九分三十四秒，乃一平年之引数也。一闰年距冬至平行为一宫零二十五分三十一秒，引数为一宫零二十四分三十三秒。正交行一年为一十四秒。火星诸行应平行距冬至为五宫四度五十四分三十秒，本天最高在七宫二十九度三十分四十秒，平行距最高即引数，为九宫五度二十三分五十秒，正交行为三宫十七度二分二十九秒。一平年距冬至平行为六宫十一度十七分一十秒，最高行一分十四秒，两数相减，得六宫十一度十五分五十五秒。一闰年距冬至平行为六宫十一度四十八分三十六秒，引数为六宫十一度四十七分二十一秒。正交行一年为五十三秒。金星诸行应平行距冬至与太阳同度，为初宫初度五十三分三十五秒三十九微，平行距最高即引数，为六宫零五十六分五十五秒，伏见行从极远处起，为初宫九度十一分七秒，最高行在六宫零十六分六秒。一平年距冬至为十一宫二十九度四十五分四十秒三十八微，自行引数为十一宫二十九度四十四分十七秒，伏见行为七宫十五度一分五十秒，最高行为一分二十一秒。一闰年距冬至及自行加五十九分八秒，伏见行加三度六分二十四秒，乃一日之行也。金星正交在最高前十六度，即五宫十四度十六分，其行极微，故未定其率，然于最高行无大差。水星诸行应平行距冬至与太阳同度，平行距最高即引数，为二十九度二十分二秒，伏见行从极远处起，为三宫二十九度五十四分一十六秒，最高在十一宫零五十二分四十二秒。一平年距冬至亦与太阳同度，自行引数为十一宫二十九度四十三分五十一秒，伏见行满三周外有一宫二十三度五十七分二十六秒。一闰年引数为十二宫零四十二分五十九秒，伏见行全周外为一宫二十七度三分五十二秒，正交行或曰与最高同度难测，故不敢定云。
若望论新法大要凡四十二事：曰天地经纬，天有经纬，地亦有之，以二百五十里当天之一度，经纬皆然。曰诸曜异天，诸曜高卑相距远甚，驳旧历认为同心之误。曰圆心不同，太阳本圈与地不同心，二心相距，古今不等。曰蒙气差，地有蒙气，非先定蒙气差不能密合。曰测算异古法，测天以弧三角形，算以割圜八线表。曰测算皆以黄道，测天用赤道仪，所得经度不合，新法就黄道经度，通以黄赤通率表，乃与天行密合。曰改定诸应，从天聪二年戊辰前冬至后己卯日子正为始。曰求真节气，旧法平节气，非真节气，今改定。曰盈缩真限，用授时消分为平岁，更以最高最卑差加减之，为定岁。曰表测二分，旧法以圭表测冬至，非法之善者，今用春秋二分，较二至为密。曰太阳出入及晨昏限，从京师起算，各处有加减。曰昼夜不等，其差较一刻有奇，一缘黄道夏迟冬疾，一缘黄赤二道广狭不同距，则率度不同分。曰改定时刻，定昼夜为九十六刻。曰置闰不同，旧法用平节气置闰，非也，改用太阳所躔天度以定节气。曰太阴加减，朔望止一加减，馀日另有二三，均数多寡不等。曰月行高卑迟疾，月行转周之最高极迟，最卑极疾，五星准此。曰朔后月见迟疾，一因自行度迟疾，一因黄道升降斜正，一因白道在纬南纬北。曰交行加减，月在交上，以平求之必不合，因设一加减为交行均数。曰月纬距度，旧法黄白二道相距五度，不知朔望外尚有损益，其至大之距，五度三分之一。曰交食有无，月食以距黄道纬度较月与地景两半径并，日食则以距度较日月两半径并，距度为小则食，大则不食。曰日月食限不同，月食则太阴与地景两周相切，以其两视半径较白道距黄道度，又以距度推交周度定食限，日食必加入视差而后得距度。曰日月食分异同，距度在月食为太阴心实距地景之心，在日食为日月两心之距，但日食不据实距而据视距。曰实食中食，以地心之直线上至黄道者为主，日月五星两居此线之上，则实食也；月与五星各居本轮之周，地心直线上至黄道，而两本轮之心俱当线上，则中食也。曰视食，日食有天上之实食，有人所见之视食，视食依人目与地面为准。曰黄道九十度为东西差之中限，论天顶则高卑差为正下，南北差为斜下，而东西差独中限之一线为正下，以外皆斜下。论其道则南北差为股，东西差恒为勾，高卑差恒为弦。至中限则股弦为一线，无勾矣。曰三视差，以地半径为一边，以太阳太阴各距地之远为一边，以二曜高度为一边，成三角形，用以得高卑差，又偏南而变纬度得南北差；以黄道九十度限偏左偏右而变纬度，得东西差。曰外三差，东西、南北、高卑之差，皆生于地径，外三差不生于地径而生于气。一，清蒙气差；二，清蒙径差；三，本轮径差。曰亏复不一，非二时折半之说，新法以视行推变时刻，则了然于亏复时刻不一之故。曰交食异算，诸方各以地径推算交食时刻及日食分。曰日食变差，据法应食而实不见食，必此日此地之南北差变为东西差，此千百年偶遇一二次，非无有者。曰推前验后，新法诸表，上溯下沿，开卷了然，不费功力。曰五星准日，旧法于合伏日数，时多时寡，徒以段目定之，不免有差，今改正。曰伏见密合，旧法五星伏见惟用黄道距度，非也，今改正。曰五星纬度，太阴本道斜交黄道，因生距度与阴、阳二历，五星亦然，新法一一详求，旧未能也。曰金水伏见，金星或合太阳而不伏，水星离太阳而不见，用浑仪一测便知，非旧法所能。曰五星测法，测五星须用恒星为准。曰恒星东移，恒星以黄道极为极，各宿距星时近赤极，亦或时远赤极，由黄赤二道各极不同，非距星有异行或易位。曰定恒星大小有六等之别，前此未闻。曰天汉释疑，新法测以远镜，天汉乃无算小星攒聚而成。曰四馀删改，罗瞭即白道之正交，计都即中交，月孛乃月行极高之点。至紫一馀，无数可定，明史附会，今俱改删。曰测器，新法增置者，曰象限仪、百游仪、地平仪、弩仪、天环天球纪限仪、浑盖简平仪、黄赤全仪，而新制之远镜，尤为测星要器。曰日晷，为地平晷、三晷、百游晷、通光晷。此外更有星晷、月晷，以备夜测之用。若望所言，大抵据新法以诋旧术之疏，然新法之精蕴，亦尽于此矣。
十四年四月，前回回科秋官正吴明炫言：“臣祖默河亦里等十八姓，本西域人，自隋开皇己未抱其学重译来朝，授为日官。一千五十九年，专司星宿行度吉凶，每年推算太阴五星凌犯，天象占验，日月交食，即以臣科白本进呈为定例。顺治三年，本监掌印汤若望令臣科凡日月交食及太阴五星凌犯、天象占验俱不必奏进。臣查若望所推七政，水星二、八月皆伏不见，今水星二月二十九日仍见东方，又八月二十四日夕见，关系象占，不敢不据实上闻。乞复立回回科，以存绝学。”奏下所司。时新安卫官生杨光先叩阍进摘谬论，纠汤若望新法之谬，且言：“时宪书有‘依西洋新法’五字尤不合。”又进选择议，纠若望选荣亲王葬期用洪范五行，山向、日月俱犯忌杀。
康熙三年十二月，礼部议“时宪书面‘依西洋新法’五字拟改‘奏准’二字”，从之。四年，议政王等言：每日百刻，新法改为九十六刻；二十八宿次序，汤若望将觜、参二宿改易前后；又将四馀删去紫炁，俱不合。其选择不用正五行，用洪范五行，以致山向、日月俱犯忌杀，事犯重大，将汤若望及科官等分别拟凌迟斩决。敕汤若望从宽免死，时宪科李祖白等五人俱处斩。于是复用大统旧术，以杨光先掌监务，光先抗疏屡辞，不允。光先于推步之学本不深，唐熙七年，谓明年当闰十二月，寻知其误，自行检举，而时宪书已颁行，乃谕天下停止闰月云。是年监副吴明烜言：“古法差谬，五官正暨回回科所进各不同，立加校正。”下礼部议。礼部覆奏：“五官正戈继文等所算七政金水二星差错太甚，主簿陈聿新所推七政未经测验，亦有差错，监副吴明烜所推七政与天象相近，理应颁行，仍令监臣同四科官，每日昼测晷景以定节气，夜测月五星以定行度。”从之。
