（五）总结反思，提高认识
1.用三种数学语言表述等差数列的概念；
2.首项是a1，公差是d的等差数列的通项公式为an＝a1＋（n－1）d（n∈N-），在这a1，an，n，d四个量中可知三求一，体现方程思想；
3.等差数列的通项公式的推导方法。
数学教学的目的不仅仅是向学生传授新知识，它的根本任务是塑造学生良好的认知结构，只有搞清楚新旧知识之间的内在联系，找出新旧知识之间的逻辑联系，才能使学生整体把握知识结构，进而内化为自己头脑里的认知结构，获得融会贯通、灵活应用的效果。
【形成性练习】
1.下列数列中，成等差数列的是（）。
（六）任务后延，自主探究
1.阅读课本第114页至116页，作业：第118 页习题1，2，3。
2.在引入的问题中，要喝到58 罐，需购买几罐？要喝到56罐呢？
要喝到60罐呢？能否得出问题的一般形式？
3.问题：等差数列有哪些性质？
（浙江省黄岩中学 黄瑶）
点评
等差数列是中学数学中的传统题材，以往已有不少教学设计。但作者的教学设计以“问题”为主线，采用“创设情境——提出问题——解决问题——再提出问题”的教学模式，贯彻落实了数学新课程的理念，有不少创新之处。情境创设中的数学问题来自学生生活实际，渗透环保意识，增加人文气息。观察归纳，形成概念的过程中渗透数学的历史与文化，促进学生对数学的理解与对数学价值的确认。讨论研究，深化概念的过程中渗透数学思想方法，这一部分也是整个教学设计中最精彩、最传神的地方，对等差数列函数特征的挖掘，进一步揭示了数列的本质。另外，每一阶段教学设计意图的陈述理论与教学实践结合紧密。
二十六、平面
一、教学设计思路
“行万里路，读万卷书”说明了人们认识世界的两种方式：感性和理性。《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《新课标》）中明确提出，认识和探索几何图形及其性质的主要方法是：直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算，这是非常经典的概括。它把具体与抽象、直观与论理、感性与理性、动手与动脑有机地结合在一起。
二、前期分析
《新课标》对“立体几何”的内容和要求做了重大的调整。
1.几何内容上新增“平行投影、中心投影，三视图”的内容，其他内容是原来“直线、平面、简单几何体”的真子集。新增内容可使学生对空间图形有比较完整的认识，更全面地把握空间几何体。
2.几何内容的结构体系是“从整体到局部”。先介绍“空间几何体”，再介绍“点、线、面的位置关系”。这种安排遵循人类认识世界的过程，符合学生对几何学习的一般认识规律。
3.处理几何内容的方式方法
（1）传统的几何课程常常被置于抽象的楼阁中，缺乏生活气息，使得我们的学生容易产生厌恶感。将几何知识生活化体现出来，有助于培养学生的几何直观能力。
（2）基于对几何教育价值的重新认识，国际数学教育对几何推理的要求变化趋势是：“从纯粹的演绎推理，变为更多地强调从情境出发进行合情推理。”
基于以上认识，我对“平面”这一节课的课堂教学上遵循“直观感知——操作确认——思辨论证”做了如下的情境化设计。
三、教学目标
【知识与技能】
1.利用生活中的实物对平面进行描述。
2.平面的表示法，能作水平放置平面的直观图。
3.描述掌握平面的基本性质及作用。
【过程与方法】
1.通过师生的共同讨论，能用自己的语言对平面的概念进行描述。
2.归纳、整理本节内容。
【情感、态度与价值观】
1.积极发挥空间想象，认识到我们所处的世界是一个三维空间。
2.对平面学习表现出更大的兴趣。
四、教学准备
1.学生在课前阅读教材，并联系身边的实物思考、交流，为课堂上的师生共同讨论做准备。
2.教学用具：课件、正（长）方形模型、三角板、钢丝。
五、教学过程设计
（一）从整体到局部，引出“平面”概念
P P T 展示：欣赏一组世界着名建筑物图片，包括“校园”的照片。
几何画板动画：借助“长方体”模型。
（1）运动长方体，先使其高度逐渐减小到零，变成面；再使其宽度逐渐减小到零，变成线；最后使其长度也逐渐减小到零，变成点。
（2）逐步还原前面的过程，使学生感知“点动成线，线动成面，面动成体”，同时意识到：线是点集，面是点集，空间几何体由点、线、面组成。
操作交流：借助“手指、钢丝”边演示边提问。
（1）一个点朝两头无限运动，形成什么图形？
（2）一条直线朝一个方向运动，形成什么图形呢？
（3）将钢丝（作为直线）在空中平动了一圈，这样形成什么了呢？
感受交流：针对“平面”概念作全方位的理解。
（1）试举出身体具有“平面”形象的事物。
（2）你对平面的感受是什么？
（3）在自然界中存在真正的平面吗？
（4）无限延展的平面如何表示？
（二）从感知操作到合情推理，体验“三大公理”师生互动：
（1）让学生试着讲出点面的两种位置关系并用图形语言和符号语言进行描述。
（2）让学生试着利用手上的书、笔（分别当作“平面”、“直线”）摆出线面位置关系。
（3）结合模型提问：当一直线与一平面只有一个公共点，能说此直线在平面内吗？
直观操作提问：当此直线上另一个点向平面无限逼近，能说此直线在平面内吗？
当这个点到达平面呢？
（4）让学生用自己的话归纳出如何使一条直线在一个平面内，导出公理1。
F lash片段1：
小A，小B一同去寄信。两人各拿一封信，小A手上的信皱巴巴的，小B手上的信却很平整。小B指着小A的信说：“你这封信呀，皱巴巴的，多不美观，瞧我这封，多么平整！”小A是个数学高手，故意刁难小B：“你怎么说明我这封信不平呢？”
操作交流：我们能帮小B解围吗？
师生互动：（举起弯曲的书面） ——这是平的吗？
（把笔放平在中间） ——这支笔与书面之间也无任何空隙，能说这个面是平的吗？
Flash片段2：
小B在半路上玩杂耍，用一根指头撑起一封信。“哈哈，你瞧，一根指头就能顶住了！”小B高兴地说。小A趁机问：“那你说，一点就能够确定一个平面吗？”
操作交流：几点可以确定平面呢？
Flash片段3：
终于到达邮箱了，小A 开始投信，小B指着投信口，好奇地说：“喔，信封和邮箱面交于一点！”小A又乘机考小B：“信封和邮箱面所在的平面只交于这一点吗？”
提问：同学们，小B如何回答才正确呢？
以上三个故事式情境化设计以学生喜爱的方式呈现，不仅拉近了几何与生活的距离，让学生提高兴趣，而且体现了数学学习离不开情境，学习中的建构过程总是与知识产生的背景及环境相关联的。每个公理的出现基本是由情境创设，老师引导，学生自主探究，经历直观感知、操作确认、思辨归纳等过程而来的。同时，每每表述一个公理时，均要文字语言、图形语言、符号语言加以表示。公理1由老师通过板演加以具体表示；公理2的表述本身比较简单，由学生口头回答，老师代为板演；公理3则由学生自行板演，老师加以指导规范。
（三）从交流到思辨，应用“三大公理”
练习：用符号表示出下面图形中点、直线、平面之间的位置关系。
（四）小结
本节课我们一起经历了从现实的生活中抽象出空间图形，共同探索了它们的一些位置关系，同时归纳、概括出了三大公理。以后大家会体会到它们是立体几何这座大厦的三大基石！
（五）形成性练习
1.选择题
（1）三个互不重合的平面把空间分成六个部分时，它们的交线有（）。
A.1条B.2条C.3条D.1条或2条
（2）两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（）。
A.4个B.5个C.6个D.8 个
（3）四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有（）。
A.4个B.3个C.2个D.1个
2.填空题
（4）用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是。
3.解答题
（6）已知：a炒α，b炒α，a∩b＝A，P∈b，PQ ∥ a，求证：PQ 炒a。
（7）已知ABC 三边所在直线分别与平面α 交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。
（浙江省苍南县灵溪第一高级中学 黄孝长）
点评
“立体几何”教学多年来一直是中学数学教学的难点，《普通高中数学课程标准（实验）》对“立体几何”的内容和要求做了重大调整。作者基于数学新课程理念，就“平面”这一节课的教学设计采用了“直观感知——操作确认——思辨论证”的模式，突出了让学生从生活中感知平面，借助信息技术让学生动态地感知平面，以及让学生从相互交流中感知平面；接着让学生从感知操作到合情推理，体验平面中的“三大公理”；最后从学生交流与思辨，应用“三大公理”。师生共同经历了从现实的生活中抽象出空间图形，共同探索了它们的一些位置关系，同时归纳、概括出了三大公理。
整个教学设计环环紧扣，注意到了具体与抽象、直观与论理、感性与理性、动手与动脑的有机结合。
二十七、数列递推公式
一、教学设计思路
数列的递推公式在教材中所占篇幅不多，介绍比较简单。但用其来解决问题既精巧又简捷，而且在升学和竞赛中的应用也越来越广。在讲授“数列的递推公式”这一小节的内容时可考虑补充一些有名、有趣的数列，利用联想与化归的数学思想，来解决一些着名问题和生活实际问题。
通过课内、课外知识的介绍，可以开阔学生的眼界，同时使学生借助递推思想，有效提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展。
新课程教学提倡用教科书教，而不是教教科书。教师应充分考虑学情，从教科书出发，设计有利于学生发展的教学过程。在本节教学中，教师可以立足课本例题引入一些有趣的经典的问题，引发学生的兴趣。为渗透递推思想，教师可以设计递进式的颇具探究性的问题，诱发学生的探究欲望。可依照初步体会递推关系到主动寻找递推关系到寻找复杂递推关系的顺序逐步递进。通过特殊几项的规律归纳出整个数列共有的递推关系，培养学生从特殊到一般的推理能力，严密的思维习惯，促进其个性品质的良好发展。
反过来，与前面相呼应，递推公式的应用价值也应让学生有所体会。
可以再回到课本，借助书中例题。教师还可以抓住一个拓展的机会，即该例题的数据呈现的俨然是一个斐波那契数列。顺藤摸瓜，让学生直接观察前几项的数字特征，报出后几项的数据。再次训练归纳推理能力，又会从中惊奇地发现一个有趣的数列。教师适当对其相关知识加以介绍，开阔学生视野。
本节课的教学，围绕数列递推公式，立足课本，利用递推思想求出递推关系，解决实际问题。根据这节课的教学内容、教学目标，结合以上分析，本节课建议以教师为主导、以学生为主体，充分引导学生展开思维，从各种角度积极思考，并通过适量的练习加以巩固。
本设计案例旨在理解新课标理念的基础上，立足新教材，充分利用教材资源，整合教材内容，根据学生水平设计有助于开展探究的情境。
二、前期分析
数是刻画静态下物体的量，按一定顺序排列着的一列数称为数列。
在日常生活中，人们经常遇到需要用有关数列知识来解决的问题。在数学中，数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。数列的知识也是学生将来学习高等数学的基础。由于数列这部分知识与以前所学知识具有较强的联系，特别与函数等知识有密切联系，新教材安排数列在函数之后教学，有利于用函数的观点来认识数列本质，也有利于加深巩固对函数概念的理解。
数列的递推公式这一节，是在前面学习了数列的有关概念后，介绍的另一种确定数列的办法。本节的许多教学情境来源于生活实际，体现新课标的应用特点，加强学生对数列概念的感性认识。本节的学习需要学生不断地观察、分析、归纳、猜想，还要综合应用前面知识解决数列中的一些问题，培养学生逻辑思维、抽象思维、归纳思维等能力，有助于学生数学能力的提高。
在本节之前，学生已经对函数知识有了一定程度的理解与掌握。数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系。在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列。函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法。由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法。
教学重点：
利用递推思想求出递推关系。
三、教学目标
【知识与技能】
1.根据数列的递推公式写出数列的前几项。
2.知道递推公式是给出数列的一种方法。
3.利用递推思想解决一些实际问题。
【过程与方法】
1.通过对谢宾斯基三角形的分析，体会递推思想，以及从特殊到一般的归纳方法。
2.通过对材料的分析和解读得出结论，做到论从史出。
3.对系列问题进行讨论、合作、探究。
